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文档简介

1 向量组的秩 第四节 2 一个向量组的一个部分组称为一个极大 线性 无关组 如果它是线性无关的 但再任意添一个向量 如果还有的话 所得向量组线性相关 定义 一个线性无关的向量组 它的极大无关组就是它本身 任何一个向量组 只要它含有非零向量 就一定有极大无关组 3 例如 设有向量组 4 一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价 定理 证明 首先 是 的部分组 当然可以被 线性表出 其余的向量 从而 可由 线性表出 因此 与 等价 5 由等价的传递性可知 一个向量组的任两个极大无关组彼此等价 由前面性质6可知 向量组任意两个极大无关组所包含的向量个数相同 定义 向量组的任一极大无关组所包含的向量的个数称为向量组的秩 6 两个线性无关且彼此等价的向量组 必含有相同个数的向量 规定 只含零向量的向量组的秩为零 性质 1 若向量组 能被向量组 线性表出 则秩 秩 2 等价的向量组必有相同的秩 6 定义 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩 矩阵的 列向量组的秩称为矩阵的列秩 定理 矩阵的行秩 矩阵的列秩 矩阵的秩 证略 将向量组的秩的计算 转化为矩阵的秩的计算 基本问题 给定一个向量组 求它的一个极大无关组 并将其余向量用这个极大无关组线性表示 7 例1 解 设向量组 求一个极大无关组 并将其余向量用这个极大无关组线性表示 只做行变换 化为阶梯形 8 9 10 11 求下面向量组的秩和一个极大线性无关组 并将其余向量用此极大线性无关组线性表示 例2 解 12 秩为2 13 定理 设矩阵A B可以相乘 则有 证 即AB的每个列向量是A的列向量组的线性组合 同时 14 推论 若P Q为可逆矩阵 则有 证 或用 初等变换不改变矩阵的秩 来证明 15 例3 证 其
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