刘金旺 5特征值与二次型

第一节向量的内积 第五章特征值与二次型 第二节方阵的特征值和特征向量 第三节相似矩阵 第四节化二次型为标准型 第五节正定二次型 5 1向量的内积 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 上述从线性无关向量组导出的经过称为施密特正交化过程 它不仅满足与等价 还满足 对于任何 向量组与等价 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 5 2方阵的特征值和特征向量 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 5 3相似矩阵 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 定理8设A为实对称矩阵 则必存在正交矩阵T 使 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 解显然A A 故一定存在正交矩阵T 使T 1AT为对角矩阵 先求A的特征值 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 求得一基础解系为 正交化 令 再单位化 令 返回 上一页 下一页 求得一基础解系为 只有一个向量 只要单位化 得 返回 上一页 下一页 以正交单位向量组为列向量的矩阵T就是所求的正交矩阵 有 返回 上一页 下一页 5 4化二次型为标准型 二次型写成对称形式 返回 上一页 下一页 对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换 2 使二次型只含平方项 也就是用 3 代入 1 能使 返回 上一页 下一页 这种只含平方项的二次型 称为二次型的标准形 由 2 式 利用矩阵二次型可表为 返回 上一页 下一页 记 返回 上一页 下一页 其中A为实对称矩阵 任给一个二次型 就惟一地确定一个对称矩阵 反之任给一个对称矩阵 也可以惟一地确定一个二次型 这样二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 则二次型可记为 返回 上一页 下一页 因此 我们把对称矩阵A叫做二次型 的矩阵 也把 叫做对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩叫做二次型的秩 返回 上一页 下一页 说明经可逆变换x Cy后 二次型f的矩阵A变为对称矩阵C AC 且二次型的秩不变 矩阵的合同关系与相似关系一样 都满足反身性 对称性 传递性 即这种合同变换既不改变矩阵的秩 也不改变矩阵的对称性 证因A A 故B C AC C A C C AC B即B为对称矩阵 又因为B C AC 而C 与C均为可逆矩阵 故A与B等价 于是R B R A 返回 上一页 下一页 要使二次型f经可逆变换x Cy变成标准形 这就是要使 也就是要使C AC成为对角矩阵 因此 我们的主要问题就是 对于对称矩阵A 寻求可逆矩阵C 使C AC为对角阵 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 5 5正定二次型 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 判别一个二次型是否正 负 定 可以从其标准形中正 负 平方项的个数来判别 也可以判别其对应的矩阵是否正 负 定 从而判别所讨论的二次型是否正 负