线性代数16方阵的行列式.ppt

第一章矩阵 1 6方阵的行列式 1 6方阵的行列式 历史上 行列式因线性方程组的求解而被发明 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 a11a22 a12a21 x1 b1a22 a12b2 a11a22 a12a21 x2 a11b2 b1a21 当a11a22 a12a21 0时 a11x1 a12x2 b1a21x1 a22x2 b2 消元法 由方程组的四个系数确定 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排称列 的数表 定义 即 一 行列式 determinant 的定义 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 则当D a11a22 a12a21 0时 a11x1 a12x2 b1a21x1 a22x2 b2 x1 b1a22 a12b2 a11a22 a12a21 有唯一确定的解 x2 a11a22 a12a21 a11b2 b1a21 例1 解 二 三阶行列式 定义 记 6 式称为数表 5 所确定的三阶行列式 1 沙路法 三阶行列式的计算 2 对角线法则 注意红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号 说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 例2 14 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 一般地 在n阶行列式中 把元素aij所在的第i行和第j列划去 留下来的n 1阶行列式叫做元素aij的余子式 minor 记作Mij 令Aij 1 i jMij 并称之为aij的代数余子式 cofactor 例如 四阶阶行列式 中a32的余子式为 代数余子式A32 1 3 2M32 M32 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 a11的余子式 M11 代数余子式 A11 1 1 1M11 a12的余子式 M12 代数余子式 A12 1 1 2M12 a13的余子式 M13 代数余子式 A13 1 1 3M13 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 3阶方阵A 的行列式 A 定义为 a11a12a13a21a22a23a31a32a33 A a11A11 a12A12 a13A13 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 补充 数学归纳法 Principleofmathematicalinduction 1 第一数学归纳法原理 则P对于任意的自然数n n0成立 设P是一个关于自然数n的命题 若 P对于n n0成立 当n n0时 由 n k时P成立 可推出 n k 1时P成立 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 2 第二数学归纳法原理 设P为一个关于自然数n的命题 若 P对于n n0成立 由 n0 n k时P成立 可推出 n k 1时P成立 则P对于任意的自然数n n0成立 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 a11A11 a12A12 a1nA1n 假设n 1阶行列式已经定义 a11 1 1 1M11 a12 1 1 2M12 a1n 1 1 nM1n n 1阶行列式 LaplaceExpansionofDeterminants 则定义n阶行列式 说明 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 2 阶行列式是项的代数和 3 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列个元素的乘积 4 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 5 的符号为 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 例2 14 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 例3 下三角形 lowertriangular 行列式 a11a22 ann 例4 上三角形 uppertriangular 行列式 a11a22 ann 第一章 determinant 教学目的和要求 1 理解行列式的性质 2 掌握行列式的计算方法 3 理解伴随矩阵的定义及性质 4 了解行列式的应用 本节重难点 重点是掌握行列式的计算方法 伴随矩阵的定义及性质 难点是伴随矩阵的性质 第六节行列式 2 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 二 行列式的性质 性质1 互换行列式中的两列 行列式变号 推论 若行列式D中有两列完全相同 则D 0 例如 a11a22 a12a21 a12a21 a11a22 D D 0 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 性质2 线性性质 1 det 1 k j n kdet 1 j n 2 det 1 j j n det 1 j n det 1 j n 现学现用 1 设A为n阶方阵 则det A det A 1 n 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 推论 若行列式D中有两列元素成比例 则D 0 a11 a1i ka1i a1na21 a2i ka2i a2n an1 ani kani ann k0 0 例 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 性质3 把行列式的某一列的k倍加到另一列上去 行列式的值不变 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 例1 14 注 本题也可以用定义或对角线法则计算 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 性质4 设A B为同阶方阵 则 AB A B 性质5 AT A 注 根据方阵的性质5 前面几条关于列的性质可以翻译到行的情形 例如 性质1 互换行列式中的两行 行列式变号 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 定理1 7 n阶行列式D等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 D a11A11 a12A12 a1nA1n a21A21 a22A22 a2nA2n an1An1 an2An2 annAnn a11A11 a21A21 an1An1 a12A12 a22A22 an2An2 a1nA1n a2nA2n annAnn 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 性质6 ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j a1iA1j a2iA2j aniAnj 0 i j 定理1 8 设D aij 则 注 克罗内克记号 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 三 行列式的计算 1 二 三阶行列式 对角线法则 例2 解 按对角线法则 有 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 2 按某一行 列 展开 降阶 例2 例3计算 解 评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行 列 化成只含有一个非零元素 然后按此行 列 展开 每展开一次 行列式的阶数可降低1阶 如此继续进行 直到行列式能直接计算出来为止 一般展开成二阶行列式 这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用 练习计算 见P5225 3 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 其中n 2 x a 例4 计算n阶行列式 3 利用初等变换化为三角形 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 解 x n 1 a x a n 1 练习计算 解法一 解法二 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 4 递推 归纳 未写出的元素都是0 例5 计算2n阶行列式 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 解 D2n a 1 2n 1b 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 adD2 n 1 bcD2 n 1 ad bc D2 n 1 ad bc 2D2 n 2 ad bc 3D2 n 3 ad bc n 1D2 ad bc n 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 例6 证明n阶级 n 2 范德蒙行列式 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 四 行列式的应用 设A aij n n为方阵 元素aij的代数余子式为Aij 则称如下矩阵 为方阵A的伴随矩阵 adjoint 1 伴随矩阵与逆矩阵 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 解 A11 d A21 b A12 c A22 a 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 例8 设A为方阵 A 为其伴随矩阵 证明 AA A A A E 证明 AA 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 定理1 9 方阵A可逆的充分必要条件是 A 0 当 A 0时 有 推论 设A B为方阵 若AB E 或BA E 则B A 1 事实上 AB E A 0 A可逆 B EB A 1A B A 1 AB A 1E A 1 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 例9 求下列方阵的逆矩阵 解 1 2 B 2 0 B21 6 B31 4 B12 3 B22 6 B32 5 B13 2 B23 2 B33 2 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 例10 设方阵A满足A2 3A E 0 证明 A及A 2E可逆 并求它们的逆矩阵 定理1 10 分块对角矩阵A diag A1 A2 As 可逆的充分必要条件是 A1 A2 As都可逆 当A1 A2 As都可逆时 A 1 diag A1 1 A2 1 As 1 类似题P5434 例10 P474 已知 求A 1 2 克拉默法则 Cramer sRule 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 可以表示为Ax b 则线性方程组 下面讨论A为n阶方阵的情形 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 对于n元线性方程组 第一章矩阵 1 6方阵的行列式 定理1 11 设A为n阶方阵 A 0 则方程组 有唯一解 Ax b 证