圆幂定理及其证明_第1页
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文档简介

,.圆幂的定义假设平面上有一 圆 o，其半径为 r，有一点 p 在圆 o外，则 op2-r2即为 p 点到圆 o的幂；若 p 点在圆内，则圆幂为r2-op2； 综上所述，圆幂为 |op2-r2| 。圆幂恒大于或等于零。圆幂的由来过任意在圆 o外的一点 p引一条直线 l1 与一条过圆心的直线l2，l1 与圆交于 a、b（可重合，即切线）， l2 与圆交于 c、d。则 papb=pcpd。若圆半径为r ，则 pcpd=(po- r) (po+r)=po2-r2=|po2-r2|（要加绝对值，原因见下） 为定值。这个值称为点p到圆 o的幂。（事实上所有的过p 点与圆相交的直线都满足这个值）若点 p 在圆内，类似可得定值为r2-po2=|po2-r2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于a、b，那么 papb等于圆幂的绝对值。圆幂定理定理内容过任意不在圆上的一点p 引两条直线l1 、l2 ， l1 与圆交于 a、b（可重合，即切线） ， l2 与圆交于 c、d（可重合），则有。1圆幂定理的所有情况考虑经过 p 点与圆心 o 的直线，设 po 交 o 与 m 、n，r 为圆的半径，则有;.圆幂定理的证明图： 相交弦定理。如图， ab 、cd为圆 o 的两条任意弦。相交于点 p，连接 ab 、bd，由于 b 与 d 同为弧 ac 所对的圆周角，因此由 圆周角定理 知： b= d，同理 a= c，所以。所以有：，即：图： 割线定理 。如图，连接 ad 、bc。可知 b= d，又因为p 为公共角，所以有，同上证得图： 切割线定理 。如图，连接 ac 、ad 。 pac 为切线 pa 与弦 ac 组成的弦切角， 因此有 pac= d，又因为 p 为公共角， 所以有易证图： pa、pc 均为切线，则 pao=pco=直角，在直角三角形中： oc=oa
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