导数的基本概念及性质应用

.导数的基本概念及性质应用考点： 1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、知识点总结：导数的基本概念与运算公式、导数的概念;.函数 y =f (x) 的导数f( x) ，就是当 x0 时，函数的增量 y 与自变量的增量 x 的比y 的极限，即f ( x) limx0ylimxx0xf ( x x) -f(x)x说明：分子和分母中间的变量必须保持一致、导函数函数 y =f (x)在区间 ( a, b ) 内每一点的导数都存在，就说在区f ( x)间( a, b ) 内可导，其导数也是(a ,b ) 内的函数，叫做f ( x)的导函数，记作f ( x) 或yx ，函数 f ( x) 的导函数f ( x) 在 xx0 时的函数值f (x 0 ) ，就是f ( x) 在x0 处的导数。、导数的几何意义设函数 y =f ( x) 在点x0 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点m ( x0 ,y0 )处的切线斜 率 。 、求导数的方法（）基本求导公式c0( x m )mxm1 (mq)(sin x)cos x(cos x)sin x( ex )ex(a x )ax ln ax(ln x)1(log x )1x ln aa（）导数的四则运算( uv)( u )uvu v uv(uv)u vuvvv2(v0)（）复合函数的导数设 ug( x) 在点 x 处可导， y = 在点f ( x)处可导，则复合函数f g( x) 在点 x 处可导，xf (导数性质：( x)f (u) ( x)1、函数的单调性设函数yf ( x)在某个区间内可导，若f (x) 0，则f ( x)为增函数；若f (x) 0 则为减函数。求可导函数单调区间的一般步聚和方法。确定函数f (x) 的定义区间求 f(x) ，令f ( x) 0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。把函数f (x) 的间断点（即f ( x)的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f ( x)的定义区间分成若干个小区间。确定f ( x) 在各小开区间内的符号，根据f (x) 的符号判定函数f ( x)在各个相应小开区间内的增减性。说明： 原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2. 可导函数的极值极值的概念设函数f ( x) 在点x0 附近有定义， 且对x0 附近的所有点都有f ( x) f ( x0 )（或f ( x) f ( x0 ) ），则称 f ( x0 ) 为函数的一个极大（小）值点。称x0 为极大（小）值点。求可导函数极值的步骤。求导数f ( x)求方程f ( x) 0 的根检验f (x) 在方程f ( x) 0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y f ( x) 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y f ( x) 在这个根处取得极小值。说明： 极值点的导数为0，导数为 0 的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个f ( x)0 的方程3. 函数的最大值与最小值设 yf ( x)是定义在区间 a ,b 上的函数， yf ( x) 在 (a ,b )内有导数， 求函数 yf ( x)在a ,b 上的最大值与最小值，可分两步进行。求 yf ( x)在(a ,b ) 内的极值。将yf (x) 在各极值点的极值与f ( a) 、f ( b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。若函数yf ( x)在a ,b 上单调增加，则f (a)为函数的最小值，f (b) 为函数的最大值；若函数y f ( x) 在a ,b 上单调减少，则f (a)为函数的最大值，f (b) 为函数的最小值。说明： 极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、例题讲解题型一导数的概念【例 1】设 f(x)在点 x0 处可导，a 为常数，则limf ( x 0ax)f ( x 0ax)等于()x0x/a.f(x 0)b.2af(x 0)c.af(x 0)d.0【变式】 设f (x) 在x0 处可导limx0f ( x0x)f ( x0 ) x题型二导数的几何意义、物理意义【例 2】（ 1）求曲线y2 x2在点（ 1， 1）处的切线方程；x 1（ 2）运动曲线方程为st12t 2 ，求 t=3 时的速度。t 2分析： 根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在x0 处的导数就是曲线y=f(x)在点 p( x0 , y0 ) 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数s(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例 3】求下列函数单调区间312（ 1） yf (x)xx2x52（ 2） yx21 x2（ 3） yk xx(k0)（ 4） y2x 2ln3题型四：利用导数求函数的最（极）值【例 4】求函数f ( x)x3x1在闭区间 -3 ， 0 上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例 5】 1、设 f (x) 是函数 f ( x) 的导函数， y=f (x) 的图象yo12x.如右图所示，则y=f ( x) 的图象最有可能的是yyyy( a)o 12xo12x21xo 12x(b)(c)(d)2、函数f ( x)的定义域为开区间(a, b) ，导函数f( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数f ( x)在开区间(a,b) 内有极小值点（）a 1 个b 2 个c 3 个d 4 个a题型六：利用极值的本质及单调性求解析式yyfo( x)bx【例 6】已知函数f ( x)ax 3bx 23x 在 x1 处取得极值。(i) 讨论f (1) 和 f (1) 是函数f ( x) 的极大值还是极小值；(ii) 过点a(0,16) 作曲线 yf ( x) 的切线，求此切线方程。【例 7】已知函数fxax3bx2cx在点x0 处取得极大值5，其导函数yfx的图象经过点 （ 1，0），（ 2， 0）如图所示 .求：（ 1） x0 的值；（ 2）a、b、c 的值 .;.【例 8】已知函数f（ x） =x3+ax2+bx+c，当 x= 1 时，取得极大值7；当 x=3 时，取得极小值求这个极小值及a、b、c 的值;.【例 9】 已知f (x)ax 4bx 2c 的图象经过点(0,1) ，且在 x1 处的切线方程是yx2 （ 1）求 yf(x) 的解析式；（ 2）求 yf (x) 的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例 10】（ 1）如果函数f(x)=x3+ax 的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a 的取值范围是()a.(0,+)b.0,+)c.(3,+)d.3,+)（ 2 ）如果函数f( x)=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线，则实数a 的取值范围是【例 11】已知函数fxax3x2bx2a, b, cr且a0 在区间,0上都是增函数， 在（ 0，4）上是减函数.（ 1）求 b 的值；（ 2）求 a 的取值范围题型八：综合应用【例 12】平面向量 a(3,1),b( 1 ,3 ) ，若存在不同时为0 的实数 k 和 t ，使22xa(t 23)b , ykatb ,且 xy ，试确定函数kf (t ) 的单调区间例题答案：【例 1】 解：limf (x0ax)f (x0ax)x0limf ( x0xax)f (x0 )f ( x0 )f ( x0ax)x0a limf ( x0ax)xf (x0 )alimf ( x0ax)f ( x0 )a x0axa x0ax2af/ ( x )0故选(c)【变式】： -1【例 2】（ 1） y2(x1)2( x22x2x 1) 22(x 22 x21) 2 ，22y|x 140 ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线y2 xx 21在（ 1，1）处的切线方程为y=1（ 2） ss|tt1 t 2139(2t 2 )21227t 22t (t1)t 44t2611。2712t 2t 34t【例 3】（ 1） y3x2x2(3x2)( x1)x(,2 )3(1 ,) 时 y0x(23, 1)y0(,2 ) ， (1 ,)3(2 , 1)3（ 2） yx 21x2(, 0)， (0 ,)（ 3） yk 21x 2x(,k )(k ,)y0x(k, 0)(0 , k)y0(,k ) ， (k ,)(k , 0) ， (0 , k)（ 4） yx4 x1 x(0 , 1 )24 x21xy 0定义域为x(0 ,( 1 ,2)y0【例 4】略，注意强调学生的步骤完整性【例 5】 1、c2 、 a【例 6】分析：（ 1）分析 x= 1 处的极值情况，关键是分析x= 1 左右 f（ x）的符号 .（ 2）要分清点a（ 0，16）是否在曲线上.解：（ 1） f（ x） =3ax2 +2bx 3，依题意，f（ 1） = f（ 1） =0，即3a2b30,3a2b30.解得 a=1，b=0. f（x） =x3 3x， f（x） =3x2 3=3 （x+1）（ x 1） .令 f（ x） =0，得 x= 1， x=1.若 x（，1）（ 1，+），则f（ x） 0，故 f（x）在（，1）上是增函数，f（ x）在（ 1， +）上是增函数.若 x（ 1， 1），则f（ x） 0，故 f（ x）在（ 1， 1）上是减函数.所以 f（ 1）=2 是极大值， f（ 1） = 2 是极小值 .0（ 2）曲线 y=x3 3x，点 a（ 0， 16）不在曲线上，设切点m（ x0， y0），则 y0=x 3 3x.0 f（ x0） =3 x 2 3，切线方程为y y0=3（ x02 1）（ x x0） .代入 a（0， 16）得 16 x0302 1）（ 0 x0） .+3x =3（ x0解得 x0= 2， m（ 2， 2），切线方程为9x y+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例 7】解：函数fx 的增减变化如下表：x,111,222, fx+0-0+fx极极大小（ 1） fx在 x=1 处由增变减，故f1 为极大值，即x0 =1.（ 2）由于fx3ax22bxc ，f103af2012a2bc0a24bc0b9f15abc5c12【例 8】解： f（ x） =3x2+2 ax+b据题意，1， 3 是方程 3x2 +2ax+b=0 的两个根，由韦达定理得132a a= 3，b= 933213b f（x） =x 3x 9x+c3 f（ 1） =7， c=2极小值 f（ 3） =33 332 93+2= 25极小值为25， a=3， b= 9，c=2【例 9】 解：（ 1）f ( x)ax 4bx 2c 的图象经过点(0,1) ，则 c1 ，f ( x)4ax32bx,kf (1)4a2b1,切点为 (1,1) ，则f ( x)ax 4bx 2c 的图象经过点(1,1)得 abc1,得a5 , b9f ( x)225 x49 x2122（ 2）f (x)10 x39 x0,310x0, 或x3101010单调递增区间为310310(,0),(,) 1010【例 10】（ 1）a（ 2） (-， 0【例 11】解：由条件知x0 是函数 yfx 的极值点 .2 fx3ax22xb ，令 f00 ，得 b0 .已求 b0 ， fx3ax2x .令 fx0 ，得 x0, 23a.由条件知x0为极大值点，则x2应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数. 3a 24 ，6a1 0 ，得 a0, 13a3a6【例 12】解：由 a(3,1),b( 1 ,3 ) 得 a b0, a2, b122a(t 23)b (katb )0,ka2ta bk(t 23) a bt(t 23)b 204kt 33t0, k1 (t 33t ), f (t)1 (t 33t )44f (t)3 t230, 得t1,或t1 3 t 230, 得1t1；4444所以增区间为(,1),(1,) ；减区间为(1,1) 。三、课堂演练：1. 若曲线 y=f（ x）在点（ x0， f（ x0）处的切线方程为2x y1=0 ，则 a f（ x0）0b f（ x0） 0b a0c a=1d a=37. 与直线 2x 6y+1=0 垂直，且与曲线y=x3+3x2 1 相切的直线方程是 8. 已知 a 为实数，f ( x)(x 24)( xa) 。求导数f ( x) ；若 f(1)0 ，求f ( x)在 2，2上的最大值和最小值；若 f (x) 在( ， 2)和 2 ， +上都是递增的，求a 的取值范围1-6aaadaa， 7.3x+y+2=08. 解：由原式得f ( x)x 3ax 24 x4a, f(x)3 x 22ax4.由 f(1)0得 a1,此时有2f ( x)(x 24)( x1 ), f2( x)3 x 2x4 .由 f(1)0 得 x4或 x=-1 ,3又 f ( 4 )350 , f (1)279 , f2(2)90, f(2)0,50所以 f(x) 在 2,2 上的最大值为, 最小值为.227解法一 : f( x)3 x22ax4 的图象为开口向上且过点(0,4) 的抛物线 ,由条件得f(2)0, f(2)0,即4a80 2 a 2.84a0所以 a 的取值