高数公式大全

高等数学公式精品资料(tanx)sec2 x2(arcsin x)11x2(cot x)csc(secx)secxxtanx(arccos x)11x2(cscx)cscxcot x1(ax)ax ln a(arctan x)21x(loga x)1x ln a(arccot x)11x2导数公式： 基本积分表：kdxkxc （ k 为常数）xu dxxu 1cu11dx xln xc11x2 dxarctan xc1dx 1x2arcsin xccosxdxsin xcsin xdxcosxc1cos2 xdxsec2 xdxtan xc12dxsinx2cscxdxcot xcsecx tan xdxsecxccscxcot xdxcscxcex dxexca xax dxcln a两个重要极限：limsin x1x0x)lim(11 xexx三角函数公式：sin 22sincoscos 22cos 2112sin 2cos2sin222sincos122sec1tan零点定理：设函数fx 在闭区间a, b 上连续， 且fafb0 ，那么在开区间a, b 上至少一点，使 f0 。（考点：利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性）罗尔定理： 如果函数fx 满足三个条件：（ 1 ）在闭区间a, b 上连续；（ 2 ）在开区间a, b 内可导；（ 3 ）在区间端点处的函数值相等，即fafb ，那么在a, b 内至少有一点ab ，使得f0 。（选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题）拉格朗日中值定理：如果函数fx满足（ 1 ）在闭区间a,b 上连续；（ 2 ）在开区间a,b 内可导，那么在a, b 内至少有一点ab ，使等式fbfafba 成立。（证明题）定积分应用相关公式1b函数的平均值yfx dxbaa空间解析几何和向量代数：空间两点的距离dm 1 m 22x2x12y1y22z1z2向量 b 在向量 a 方向上的投影pr j abbcosa,b设 aax ,ay , az， bbx ,by , bz，则两向量的数量积a babcosaxbxay byazbz 是一个数，为 a与 b 的夹角；a 与 b 的夹角cosax bxa 2a 2aybya2azbz。b2b 2b 2xyzxyzijk两向量的向量积abaxaybxbyaz ，bzababsin。（考点：利用向量积求三角形的面积）平面的方程：1、点 法 式 方 程 ：a xx0b yy0c zz00 ， 其 中na, b, c为 平 面 的 法 线 向 量 ，m 0x0 , y0 , z0为平面上的一点。2、一般式方程：axbyczdxyz0 ，其中平面的一个法线向量na, b, c。3、截距式方程：1 ， a, b,c 为平面在abcx, y, z 轴上的截距。平面外任意一点到该平面的距离：ax0dby0cz0d。、a2b2c 2空间直线的方程：1、直线的点向式方程（对称式方程）x x0 my 0 nz 0 pt ，其中直线的一方向向量s m, n, p ；2、直线的参数方程：x x0mty y0ntz z0pt多元函数微分法及应用全微分： dzz dx xz dy yduu dx xu dy yu dz z全微分的近似计算： 多元复合函数的求导法zdz：f x ( x, y)xf y (x, y)yzf u(t ), v(t)dz dtzf u(x, y), v( x, y)zuzvutvtzzuzvxuxvx当uu( x, y)， vv( x, y)时，duu dx xu dy ydvv dx xv dy y隐函数的求导公式：dyfd 2 yffdy隐函数f( x, y)0，dxx ，2fydx(x )(xfyyx )fydx隐函数f( x, y, z)0，z xfx ，fzzfyyfz微分法在几何上的应用：x空间曲线y z(t )(t )在点 m (x0 (t), y0, z0)处的切线方程：xx0 (t 0 )y y0(t0 )z z0 (t0 )在点m 处的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( zz0 )0若空间曲线方程为：f ( x,y, z)0,则切向量 t fyfzfz,fxfxfy,g( x, y, z)0gyg zgzg xgxg y曲面f ( x, y, z)0上一点m ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量：n fx (x0 , y0 , z0 ), fy ( x0 , y0 , z0 ), fz ( x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )03、过此点的法线方程：x x0y y0z z0fx ( x0 , y0 , z0 )fy ( x0 , y0 , z0 )fz (x0 , y0 , z0 )方向导数与梯度：函数z其中f ( x, y)在一点p( x, y)沿任一方向为x轴到方向 l的转角。l的方向导数为： flf cos xf sin y函数zf ( x, y)在一点p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)f ifjxyf它与方向导数的关系是：l单位向量。grad f (x, y)e，其中ecosisinj ，为l方向上的f 是gradf (x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )0，令：f xx (x0 , y0 )a,f xy (x0 , y0 )b,f yy (x0 , y0 )cacb 2a0时，a0,( x0 , y0 )为极大值0,( x0 , y0 )为极小值则： acb 20时，无极值acb 20时,不确定曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f (x, y)在l上连续，l的参数方程为：y,(t(t), 则：f (x, y)dslf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt(x)特殊情况：yt (t )第二类曲线积分（对坐x设l的参数方程为y标的曲线积分）：(t)，则：(t )p( x, y)dxlq( x, y)dy p(t ),(t )(t )q(t ),(t)(t) ) dt两类曲线积分之间的关系：pdxqdy(pcosqcos) ds，其中和 分别为l上积分起止点处切向量ll的方向角。格林公式： (qdxp)dxdy ypdxlqdy格林公式： (qdxp)dxdy ypdxlqdy三当个p常用的y,正q项级x数，：即： qxp2时，得到 d的面积： a ydxdyd1xdy 2 lydx平面上曲线积分与路径无关的条件：精品资料1、g是一个单连通区域；2、p( x, y)， q( x, y)在g内具有一阶连续偏导数 ，且q p。注意奇点，如xy(0,0)，应精品资料1、等比级数aqn 1n 1当 q1 时，该级数收敛于a；1q当 q1 时，该级数发散。np2、 p 级数1n 1当 p1 时，该级数收敛；当 p1 时，该级数发散。特别地，当p1 时，1n 1 n称为调和级数。级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判1时，级数收敛别法）：设：lim n nun，则1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limnu n 1 ，则u n1时，级数发散1时，不确定3、定义法：snu1u2un ; limnsn 存在，则收敛；否则发 散。交错级数 u1u2u3u4 un(或un 1u1u2u3,un0)的审敛法 莱布尼兹定理：如果交错级数满足lim unn，那么级数收敛且其和 s 0u1 ,其余项rn的绝对值 rnun 1 。绝对收敛与条件收敛：(1) u1u 2un(2) u1u 2u3，其中unun 为任意实数；如果( 2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果( 2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：1 发散，而n(1)nn收敛；级数：1 收敛；n 2p级数：1 n p 时发散p1时收敛幂级数：1xx 2x3x nx1时，收敛于11x2x1时，发散对于级数(3) a0a1xa x 2a x nnx，如果它不是仅在原点r时收敛收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在r，使x xr时发散r时不定，其中r称为收敛半径。0时， r1求收敛半径的方法：设limnan 1an，其中a n， an1是(3)的系数，则0时， r时， r0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f (x)f ( x0)( xx0 )f( x0 ) ( x 2!0x )2f ( n) ( x )0( xn!x )n余项： rf ( n1) () ( xx )n1 , f( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： lim r0n0(n1)!f(0)nnf (n ) (0)x00时即为麦克劳林公式：f (x)f (0)f(0)xx2xn2!n!一些函数展开成幂级数：(1x) m1mxm( m2!1) x2m(m1)(m n!n1) xn(1x1)035sin xxxx3!5!(1)n2 nx1(2n11)!(x)微分方程的相关概念：一阶微分方程： yf ( x, y)或p(x, y) dxq(x, y) dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g( y)dyf ( x)dx的形式，解法：g( y)dyf ( x) dx得： g( y)f ( x)c称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成 dydxf ( x, y)( x, y)，即写成y的函数，解法： x设uy，则 dyxdxux du ，ududxdx(u) ， dxxdu (u)分离变量，积分后将uy 代替u， x即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dydxp( x) yq(x)当q( x)0时,为齐次方程，yp ( x) dxce当q( x)0时，为非齐次方程，y(q( x)ep( x)dxdxc)ep( x)dx2、贝努力方程： dydxp( x) yq(x) yn，(n0,1)全微分方程：如果p( x, y)dxq( x, y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：du( x, y)p( x, y) dxq( x, y)dy0，其中： uxp( x, y)， uyq( x, y)u(x, y)c应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：d 2 ydx2p( x) dydxq(x) yf ( x)，ff(x)(x)0时为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) ypyqy0，其中 p, q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：() r 2prq0，其中 r2，r 的系数及常数项恰好是(*) 式中y, y , y的系数；2、求出()式的两个根r1 , r23、根据r1 , r2的不同情况，按下表写出(*) 式的通解：2r1， r2的形