TKU91B国小高年级教师访谈记录小组汇整.doc

TKU91B國小高年級教師訪談記錄小組彙整不易掌握之概念(常見迷思概念)教學者之對策整數的概念1.小朋友不了解基準量和比較量時，小朋友不會畫圖。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 必須讓小朋友分別清楚它們之間的關係，是如何累積、建立起來的，必須要有統整的概念，老師認為可用圖解化的方式讓小朋友了解。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】因數、倍數的概念1.求某數的所有因數時，經常會漏寫因數。例如：求28的所有因數，有1、2、4、7、14、28，共6個。學生可能因粗心，只找到4個或5個因數。【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】l 28 1、2、4、7、4、7、14、28。28= 1 28 = 2 14 = 4 7 = 7 4從最小的因數1開始，利用一個對一個的方式聯想，直到有重複的數字出現 ( 4 7 = 7 4 重複)即停止，這樣就不會有遺漏因數情況出現了。【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】2.因數與倍數。【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】l 倍數的觀念學生尚易理解，然因數部分與生活較無直接關連，須多演練，增加印象。【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】3.因倍數。【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】l 加強九九乘法【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】4. 短除法雖然課本不教，卻很實用，但經常有學生弄不清楚短除法的用法，怎麼除是最小公倍數？怎麼除是最大公因數？【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】l 將題目遊戲化、生活化、口語化。【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】例如：求15、18、20的最大公因數？最小公倍數？3 15 18 205 5 6 20 求最大公因數，5、6、20除不就算了2 1 6 4 1 3 2聯想法 - 最大公因數 大人物 不貪心只要左邊相乘，而且有除不盡的就算了。 最大公因數 = 3聯想法 - 最小公倍數 小人 很貪心要左邊和下面一起相乘，而且有兩個數可除的就要除下去。最小公倍數 = 3521325.因數倍數的概念較抽象，學生常不能理解。尤其是做應用題時，學生容易誤解題意而將因數和倍數混淆。【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】l 老師在教學時會用一些實際的教具，例如：小花片、小積木，讓學生自己去實際操作，老師在黑板出題，讓學生去排出正確的答案。利用活動加深他們對因數和倍數的概念。l 在應用題的理解上，老師在課堂會要求學生解釋題意給全班小朋友聽，並且有時會請小朋友自己出題考自己，老師會從中挑選不錯的題目，拿來出成一張數學考卷，讓學生考試。學生都很有興趣出題考自己，有時甚至會出一些超水準的題目出來。老師說這樣的方法也是為了激發學生對數學的興趣。【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】6.倍數方面比較不會出錯，若找出某數的因數則會少掉一兩個因數，無法寫齊全。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】例如找出20的因數，則只寫出1、2、4、5、20，而少寫了10這個因數。l 因倍數不會，大多是九九乘法不會，所以老師常常利用”反問”的方法讓他熟悉，唯有不斷的練習，加強九九乘法的基礎之後，然後再慢慢引導因數倍數的觀念。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】l 要求學生一定要照順序的寫出因數，才不會漏了其中的一兩個。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】此為界線(之後會重複)此為估算得來例如 45=1 * 45 3 * 15 5 * 9 9 * 5 3 * 15 1 * 45 7. 公因數方面，也會有像找出因數一樣，會有漏寫其中一兩個的狀況。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】l 依照上面的例子，老師會先要學生估算45的因數有哪些，1是一定會有的，然後45不是偶數，所以2不會有，至於3就可以估算看看是不是它的因數，然後有秩序的估算下去，等到5*9和9*5是重複的時候，此時就可以反寫過來，所以這樣有順序的依照順序寫下去才不會漏寫。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】l 要能找出公因數一定要非常熟悉”會找出因數”，然後才能夠快速的找出兩者的公因數。大多是偶數個此5有重複，才會是單數個首先，先用下面的方式寫出因數。20的因數 = 1 . 2. 4. 5. 10. 2025的因數 = 1 . 5. 25再者，先搞清楚哪個時候會有單數個因數，哪個時候會有偶數個因數，才不會漏寫。也可以此來讓學生自己”洞察關係”去知道何時有單數、偶數個因數。最後，找出20和30相同的因數圈出來，這樣就不會漏掉了。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】20的因數= 1.2. 4. 5. 10. 20 30的因數= 1.2. 3. 5. 6. 10. 15. 30分數的概念1.將母數（基準量）及子數（單位量）搞錯。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 老師解決策略是請小朋友全班重新念一次題目，請小朋友去思考題目中所指的單位量是什麼？題目要問的是什麼？重新整理小朋友的思考，作一個價值澄清。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】2. 等值分數學生很難去理解，常會算錯。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】例如：= 的概念，學生很難理解，也易錯。l 老師讓為所有的數學題目都可以用”圖解”來解題，所以非常鼓勵學生出題目來考驗老師畫出圖案，當然也鼓勵小朋友把文字轉換為圖形，這樣視覺化的感官比較容易領悟。此題也一樣，老師畫兩個一樣的東西，要他們了解等值的概念。這是這是讓學生洞察其中的關係，看是否一樣大，然後有些聰明的學生會回答分母分子同乘以3就會變成右邊的了。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】整數的計算480412048800048012488012480448801. 學生在練習三位數除以一位數的題目（特別是整除且個位數為零）時，學生容易把除去十位數整除後個位的捨去。【陳奇勛老師受訪，陳姿伊訪談】例如：l 陳老師會加強學生對於位值的認識，並多讓學生有練習的機會。陳老師說通常學生看到是整除的題目時，很容易忽略運算時位值意義。陳老師常用的方法就是在課堂上讓學生實作練習。【陳奇勛老師受訪，陳姿伊訪談】2. 加強九九乘法的計算：很多學生因學習建構數學，缺乏練習題目，所以計算能力很差，九九乘法也會背錯。【陳芳姿訪談】l 加強九九乘法的背誦，在計算過程中要用乘法直接算出，不能一個加一個的加出答案來。【陳芳姿訪談】3. 加強直式計算的訓練：學生之前學習建構數學時，都是分步驟來解題的，所以計算過程很長，式子很多。【陳芳姿訪談】 EX:352+279=? 學生解題：300+200=500 50+70=120 2+9=11500+120+11=631l 因為之前課本並沒有要求學生用直式的計算方法，但我上課的時候還是會用直式算法來教學生。【陳芳姿訪談】EX:352+279=?直接用：352 +279 6314. 植樹問題；學生不懂如果前後皆有種樹則樹木的總數等於間隔數1；如果前面種，後面不種，則樹木的總數等於間隔數。【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】l 對於植樹問題，老師會先以手指頭來作為解釋的教材（前後皆有種則五指全開；後面沒種則將拇指收下來。）讓學生自己能自己的手指來思考問題，比較能帶入植樹中的概念。【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】分數的計算1.分數的除法方面，小朋友的困難蠻多的。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 老師實作教如何切，使小朋友了解觀念，也就是由具體的實物到抽象的概念。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】2.課本在分數的部分教得非常基本，老師也就額外多補充分數計算方面的題目，如不同分母分數的加減。但小朋友在計算這類題型的時候常會不知該如何下手。【李中莉老師受訪，陳秀蓮訪談】Ex: l 遇到此題型得先找出7和9的最小公倍數，數字小的話如2和3的公倍數，小朋友很容易找出，但如果數字比較大的話，如7和9，他們就得花較多的時間。老師說，除了是因為在五上時候的因數與倍數學的不夠紮實之外，還有一點是他們的九九乘法背的不夠熟，不能立即反應出兩數相成的答案。【李中莉老師受訪，陳秀蓮訪談】3. 見到題目數字就計算：學生在看題目時，最先的反應大多是找數字，一些學生常看到數字或重要詞就不加思索的開始算。【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】例：(1)一盒雞蛋有12個。小明家每星期吃掉2盒的雞蛋，4個星期一共吃掉多少盒雞蛋？學生算法：2121226426441056.()(2)一籠小籠包有10個，籠小籠包平分給3人，每人得幾籠？109 933.()l 學生會看到數字就算，通常是不了解題意或被題目太多數字所混淆，老師教學時將題目抄在黑板上，用不同顏色粉筆標示關鍵字詞及數字，尤其是釐清題目問的問題，以圖示法把題目分步驟解析，培養學生詳讀題目與分析題意的習慣。【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】4. 最簡分數的約分：學生很容易忘記要將答案約分到最簡分數，要提醒很多次。【陳芳姿訪談】l 這都是同學粗心的表現，所以一開始就講清楚：沒有約分的答案就是錯。老師改到沒有約分的就畫個大叉，分數就沒了。多個幾次之後，他就會去注意到了。【陳芳姿訪談】5. 1 51/5？或5/1？被除數 除數【張雅芳訪談】l 15告訴孩子犯人（被除數）當然”被”放在前面，押犯人的士兵（除數）會站在後面，1/5犯人”被”宰的人當然放在上面，士兵就在下面看，亦可連結直式除法，犯人被關所以在裡面，士兵看著所以在外面。【張雅芳訪談】5. 分數不了解【江宜貞訪談】 整數分數 分數分數 整數分數l 先問學生，三角形面積的算法，長寬2面積，但現在有題目如下：122/3？告訴學生 ？2/312看成面積公式來計算 1232 1223l 分數分數 先確定學生已經會乘法，在告知，要算小數位，再三提醒。【江宜貞訪談】6. 整數分數【江宜貞訪談】l 講完整數分數、分數分數，馬上乘勝追擊，利用上述的基礎，將整數分數講完。【江宜貞訪談】8. 分數。【賈永喆訪問，楊婉貞整理】l 學生在分數上，比較無法去感覺幾分之幾的觀念，所以在運算上，就會有所困難。例如：我有5 公斤的糖果，每 公斤裝一包，可以裝幾包？剩下幾公斤？(5)()= 3，答案是裝3包，還剩公斤學生會有除法的觀念，但是再加上分數，他們就比較無法瞭解原因。老師除了反覆多講解，讓學生多練習題目，還會請已瞭解的同學解說給大家聽，還有一種我覺得蠻特別的，就是寫數學日記，這是老師要讓學生回家自己去回想思考，今天講的內容他自己是否有弄清楚，藉此老師也可以知道學生的問題在哪。【賈永喆訪問，楊婉貞整理】小數的計算1. 比較有問題的是怕小朋友將小數點的位置放錯了，計算出來的答案就會不一樣。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 如果能理清小朋友在整數及小數、分數之間的觀念，小朋友就比較沒問題。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】2當學生以直式進行小數除法運算時，不易發生太大的錯誤，但請學生於運算後報讀餘數時，他們容易忽略或錯放該餘數的小數點位置。【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】例：誤認該題餘數為1.1。0.779.358 412958411l 先澄清學生除數與被除數其位值所代表的意涵，例如9.3代表有93個0.1，由此提高學生對於數的位值的敏感度，則當學生在處理完小數除法運算後，亦能自然的加入位值觀念去報讀出正確的餘數。【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】3.小數的乘除，小數點的對位。【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】l 藉由數線的分割等，使學生更了解小數的意義，進而提醒小數點的位置。【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】4.小數除法。餘數的小數點常會忘記加上去或亂點小數點。【盧燕萍老師受訪，王麗琴訪談】l 告訴學生小數除法商要對齊被除數移位後的新小數點，而餘數仍舊對齊原來的小數點。另外，老師會先看過所有教材以了解國小階段會運用到哪些知識，將相關概念連結起來一起教，讓學生能接收到完整知識並應用。【盧燕萍老師受訪，王麗琴訪談】5.除數中商及餘的小數位置。【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】l 商數及餘數的小數點用特殊顏色標記。【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】6.小數小數【江宜貞訪談】l 例如：老師將各種難題畫在黑板上，全班一起來挑戰，每一組先討論，之後請有概念的孩子說一說、算一算，接著老師統整學生的方法（先同儕，後老師），兩次加強孩子的概念，再全班一起練習相似的類題。【江宜貞訪談】7.小數小數【江宜貞訪談】l 同學不懂1.位數2.小數小數的位數不知如何去點，解決方法是慢慢說，不斷的練習。【江宜貞訪談】8.小數乘以小數：學生有時候會不清楚小數點到底要點在哪裡。【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】例 0.70.80.56l 老師會以施以小惠的口氣告訴他們小撇步；要他們先將前面乘數的小數點後面的數相加（答案是2個），答案的小數就是從數字後面向左數推兩位。或是帶入：小數點向右移代表數字越大；向左移代表數字越小。的概念。【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】0 . 5 61 2 19.小數除小數的餘數問題；小數乘小數的積小數點位置。【賈永喆訪問，楊婉貞整理】l 老師覺得在這小數這部分，學生最容易有一些迷失的。例如：42.33.811.0.5 此算式的餘數是0.5，但是六年級的學生有的會認為是5，他們會分不清楚是0.5還是5，這是對小數點的觀念不熟悉。l 老師會先強調小數點的觀念，並請學生在做小數的題目時，要注意這位小數點朋友，讓他們以朋友的角度，來使學生不要隨便的遺忘它-小數點的存在。在小數相乘的部分，會以數數的方式，來確定全部有幾位數。【賈永喆訪問，楊婉貞整理】量的概念及測量（角度）1.在測量角度時運用量角器，會比較不知道它的起始點為何？【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 老師解決的方法是：現在從零開始看，從這裡走一圈到最後還是會回原點，我可以在這裡停，也可以在這裡停，但是我又從同一個點出發，所以等一下從這邊看，當然答案就不一樣了。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】（時間）1. 小朋友有時會忘記時間是二十四小時制的，就用十二小時來當成一天的單位量。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 老師教學策略是再提醒一下小朋友就可以了。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】2.時間的轉換：一小時有60分鐘，60進位，並非十進位。【張雅芳訪談】l 將十進位的歷史簡單講給孩子聽，接著舉例不一樣的進位方式，如長度、時間。【張雅芳訪談】3. 速率、距離、時間的應用問題，學生無法理解題意與三者乘除之間的關係。【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】l 例如：從台北到嘉義約300公里，爸爸開車花了5個小時才到，請問時速是多少？ 300公里 台北 嘉義 1小時 1小時 1小時 1小時 1小時l 利用圖解的方式讓學生了解速率、距離、時間的乘除關係，因為共花5小時，依圖示分成5等份所以用300 5。l 先換簡單的數字，簡化問題，待釐清觀念之後再回到原問題。【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】4.速率是每小時幾公里或是每分鐘幾公里.等的單位換算容易出錯。【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】l 粗心答錯一定要有所懲戒，下次才不會再犯。l 一定要用嘴巴念題目 ( 不發出聲音 ) ，並將單位圈起來，題目有多少個問號，就要有多少個答案。【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】5.時間的算法是採六十進位，但一般計算的進位都是採十進位，也因此常使學生混淆。【李中莉老師受訪，陳秀蓮訪談】Ex: 20.2時 （ ）時（ ）分學生：（20）時（0.2）分 不知道時化分 要乘60 l 老師說這類型題目會寫錯的，第一無非是學生粗心，想都沒想就填答案。第二就是還未完全建立起時化分、分化秒等的概念。因此她採用了一策略來加深學生的印象：如此讓學生心中熟記此方式，以便即時做出反應。【李中莉老師受訪，陳秀蓮訪談】 24 60 60日 時 分 秒 24 60 606.速率的問題對學生來說比較難瞭解，因為牽涉到時間、距離單位的換算。【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】l 老師在教這單元時，會先複習時間的單位換算、距離單位換算，經過多次的操作與解說，讓學生能比較熟悉之後。再讓學生做此類的題型。【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】7.速度和速率是不一樣的，學生常將兩者混唯一談。【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】l 老師教學時強調速度是具有方向的，而速率則是沒有方向限制的。老師會進行一個活動，規劃一個路線，讓學生分組派一位學生實地走完，其他的人測量時間，之後在小組一齊討論出來速度和速率各是多少？學生經由活動的進行可以知道速度和速率的不同。【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】（長度）1.小朋友會搞錯題目求的是秒速，但是小朋友粗心就用分速來回答。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 老師會再提醒小朋友，並且作一個延伸，如：行程問題方面1.相向而行2.相背而行3.同向而行（追逐問題），而且老師還會利用一些思考性問題給小朋友在知識上的加深、加廣。題目：A、B兩地相距28Km，今甲以時速3 Km從A地出發，乙同時以時速4Km從B地出發，請問幾小時後兩人相遇？若兩人至A、B兩地再返回，那第二次相遇在哪裡？l 問題如上，但老師會把題目作轉換：假設現在的追逐問題是變成圓圈的追逐，會繞幾圈？【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】形體的概念及測量（平面圖形）1.多邊形概念不清楚：學生在學習多邊形單元，常會需要找出所包含的圖形有哪些或各有幾個，但解題時，無論由幾個三角形拼成或哪些圖形構成，多邊形對他們而言都很抽象，以致於答案的個數、圖形種類，易少算或重覆算。例：下列圖片中有哪些正多邊形？【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】l 用信封、色紙做成各種多邊形的教具，在教學時輔助解說，並讓學生自己帶色紙實際操作，剪成幾個三角形，使學生分組討論，共同玩玩看、拼拼看，他們能發現各種多邊形的組成結構，經將抽象具體化的實作後，便可進一步讓學生觀察生活中具有多邊形圖形的物品與設備。【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】2. 對於面積的定義易與周長相混淆。【陳奇勛老師受訪，陳姿伊訪談】l 陳老師會讓學生再次釐清面積的概念面積是指某一封閉二維區域的大小，也可以表示對此一特定區域被數個單位量所覆蓋的程度。讓學生對於表現於平面的面積概念及意義都能掌握清楚。如此一來，學生對於周長的概念也能一併釐清。老師也會在課堂上提供學生練習的機會。【陳奇勛老師受訪，陳姿伊訪談】3. 四邊形面積的計算不能舉一反三：計算四邊形面積部分，學生無法體會平方公分、平方公尺的差異，對面積的認識也很籠統模糊，多只會死背公式計算，一旦忘記公式，不知如何變通求出答案。【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】l 將學生帶至校園，利用可供教學的環境，讓學生選定定點分組練習先預估後再實測，使他們能實地體會大小、關係。在長方形、平行四邊形、梯形等四邊形的面積計算，則由學生自己利用同面積大小的三角形圖卡拼湊，了解彼此間相互關係，知道圖形可區分成數個三角形，接著，老師再帶入公式教學，學生較容易理解公式緣由及推理出面積算法。【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】4. 圓面積的計算缺乏保留概念：在計算圓面積時，學生能算出全圓、半圓的面積，但只要將圓略作變化，分作幾等分後組成圖形，學生一見由圓切割而成的複雜圖就不會算了，完全不知如何著手。例：學生能算出左邊的答案，但遇到變化的右邊圖形時，通常都束手無策。【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】l 當學生具有全圓、半圓、圓的圓面積計算基礎後，老師可特別設計一堂課，讓學生現場畫圓剪下，組合各種形狀，再藉由小組討論、全班分享中，發現這些是全圓、半圓拆開的圖，結合起來就是全圓、半圓，學生能具有形狀變、面積不變的保留概念後，就能分析題型了。【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】5. 三角形與四邊形畫高。【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】l 90度直角的概念學生大致能釐清，但對圖形的高較不易理解，需藉由直尺及三角板輔助之。【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】6. 不了解三角形公式原因。【盧燕萍老師受訪，陳啟 煜訪談】l 證明清楚。【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】7. 扇形：周界都只算到圓弧的部分，忘了加上兩邊的半徑長。或是在計算圓心角的時候，常會忘記乘上扇形的比例，EX:1/8圓的扇形，求圓心角？學生會忘記去乘上1/8。【陳芳姿訪談】l 請學生細心閱讀題目的要求。並訓練學生在看題目時，將題目的重點畫線或圈起來。【陳芳姿訪談】8. 面積單位的換算：平方公尺、公頃、公畝之間的換算還是有同學會算錯。老師在解說的時候都聽的懂，但是只要放在一起作比較性的練習題時會寫錯。EX:比一比，填上 或 或 = 。50.5公畝( )5050平方公尺。3公畝( )0.003公頃。【陳芳姿訪談】面積、體積、容積、長度、重量等單位常弄錯。【葉詠琪訪談】l 這點應該是學生不用心才會算錯。要要求學生仔細看清楚，分辨誰大誰小，而不是只想趕快寫完。【陳芳姿訪談】l 注意學生粗心的毛病，多次的練習的機會。【葉詠琪訪談】9. 圓面積的變化題。（圖題）【張雅芳訪談】l 例如： ，老師將各種難題畫在黑板上，全班一起來挑戰，每一組先討論，之後請有概念的孩子說一說、算一算，接著老師統整學生的方法（先同儕，後老師），兩次加強孩子的概念，再全班一起練習相似的類題。【張雅芳訪談】10.較複雜的面積計算對學生來說是容易出錯的。【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】l 老師在教複雜的面積時，如果學生無法明白，老師會利用紙去剪貼的方式讓學生實際去操作。學生親自去體驗過後，對於同樣的面積計算也會變的興趣大增。【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】11. 五下圓面積單元，屬半格的格子，不滿一格的算半格，學生很容易忘記算出來不滿一格的要除以二，而且也不知道為什麼要算半格的原理。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】l 學生沒有先看課本內容以及老師也沒有看教學指引之下，老師以及學生用科學求證的精神來算半徑10公分的大約面積。方法:1. 在方格紙上畫上半徑為10公分的圓。2. 要小組利用各種方法來算出此圓的面積。結果:各組學生利用不同的方法算出來，老師主要的用意是讓學生知道兩個半格可以湊出一個全格的原理。學生的估計方法之一如下圖學生不用老師教就知道某兩個可以湊成一格的”關係洞察”。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】12.學生很難理解圓面積公式的原理中的排成的長方形為什麼是周長的一半，如右圖所示。學生很難去理解此部分，會以為那長應該是圓周長才是。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】l 老師會以軟性磁鐵剪成這樣的形狀，將圓切成32塊，然後實際要學生上去貼，然後讓學生發現他的邊長只有用16塊組成的，用這樣讓小朋友親自去體會比較容易理解。【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】（立體圖形）1. 認識立方公分與立方公尺的關係：學生雖了解公分與公尺間的關係，但將其引導至體積時，無法直接理解當初長度間的100倍關係為何變成1000000倍。【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】l 老師會先詳加解釋1立方公尺1公尺1公尺1公尺100公分100公分100公分1000000立方公分。若有些學生還是不易理解時，則可以藉由問學生1公尺的邊可以排幾個1立方公尺的正方體？可排成幾排？有幾層？等問題以澄清學生的觀念。【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】2. 複合圖形對小朋友比較難，有些小朋友可能空間概念比較差，用分割或填補的方法，有時轉不過來。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 老師解決方式是先分開成小朋友易於了解的，老師覺得一些基本的圖形了解後，如果平時操作一下或是有小朋友小時玩過七巧板，這些問題比較不會碰到。或是玩一些圖形板，讓小朋友去了解原來圖形的分割概念，會對圖形比較清楚一點。（習作上都有附件，讓小朋友實際去剪下來操作組合起來，會比較了解。）【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】3. 立體圖形畫成平面比較困難【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 延續舊經驗進入新觀念以前教過平面、現在教立體，都要有具體實物操作來讓小朋友理解，以實物幫助小朋友學習。（老師讓小朋友利用廢紙、牙膏盒等，作實際展開圖的介紹及製作）【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】4. 空間、體積方面：像小朋友如果遇到用一個個方形的小立方體A，求一個水槽的容積時。本應該水槽的長、寬、高分別除以小立方體A的長、寬、高，應該是沒有問題，但是小朋友如果除不盡時，就會直接進位。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 其實這是很嚴重的認知錯誤，因為除不盡的長、寬、高是無法拼成一個小立方體A的體積的。老師的解決策略是畫圖形講解或是實際拿立體圖形來說明。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】5. 無法立即區辨角柱與角錐。【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】l 老師利用各式角柱、角錐教具，反覆詢問學生這是什麼？是角柱（錐）？是幾角的角柱（錐）？，讓學生經此反覆的動作，去熟練並歸納出角柱與角錐的定義與異同。【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】6. 對於立體的圖形沒有空間感。【葉詠琪訪談】l 學生對於立體圖形，就感到很難很陌生，較難辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題，可利用生活中可拿到 的紙盒，讓孩子們實際觸摸，而後將之展開從而了解盒子從何而來，是如何由點、線、面構成。【葉詠琪訪談】7. 柱體和椎體的判定，學 生容易混淆。【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】l 老師會利用利用生活中的實物，例如：各式各樣建築物的圖片，來show給學生看。或者是讓學生分組去收集個式各樣在生活中會出現的柱體和椎體，讓學生建立概念。除此之外，老師表示摺紙也是一個不錯的方法。學生也可以透過摺紙來加強概念。【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】（圖形變換）1. 高年級最困難的就是題目看不懂，這方面可能是語文能力不足，再者可能是題目較深入較活，而且現在的小朋友比較不習慣去學太複雜性的問題，因為他已經局限在基本的圖形裏頭，不知道如何運用他們就是比較不會轉換圖形。【盧燕萍老師受訪，陳慧珍訪談】l 例如：求三角形正方形的面積他們會求，但如果要在正方形裏扣除一個三角形的面積，求非重疊的面積，他們可能就會楞住，不知道怎麼去求。我會加強學生對公式的記憶，利用教室佈置製造情境教學。題目看不懂時，我會先用導引的動作，我不會當場寫那題，我會透過類似的題型，但簡單化。有時會請懂的小朋友上台來解題，有時小孩子對小孩子會比較容懂，我在後面再引導。【盧燕萍老師受訪，陳慧珍訪談】2. 線對稱圖形，學生容易因線條的區塊而誤識有線對稱。例：（國旗中的線段是學生所畫的）。【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】（英國國旗）（瑞典國旗）l 事實上，英國國旗沒有線對稱圖形，所以不會有對稱的線。（如果有線對稱：則圖中的A所在的紅色線條對過去，B所在的區塊應是紅色而非白色。）而瑞典的國旗也只有一條，及黑色的那條（A）才是。老師說：其實線對稱就像照鏡子，鏡中完全是與實物相對稱的。【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】3. 比例問題。學生對於放大或縮小的比例長度會搞混。【盧燕萍老師受訪，王麗琴訪談】l 直接利用線段的放大或縮小來做比例圖的問題，較不易混淆，例如一個三角形要做放大，為避免學生會用方格子的倍數做放大，應直接將底長和高的比例放大來畫。【盧燕萍老師受訪，王麗琴訪談】4. 擴大圖。【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】l 建議由垂直線做擴大幾倍的延伸不要由斜線延伸，如三角形底和高的延伸，圓形半徑的延伸，菱形對角線的延伸。【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】（空間）1. 空間這方面對小朋友比較難，因為五年級在上y斜線，不用把名詞給小朋友，但是由於他們已經做出一個立體的東西了，在找互相平行對應的情形時，小朋友會不清楚，不了解其中的關係。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 老師解決策略是請小朋友各拿一隻筆，一隻尺，去把它延伸出來就知道了，尺是面、筆是線。（可以解釋直角、平面的概念）如果有兩個人的尺便可以形成面的擴大，小朋友不會想到延伸來想，如果小朋友手上已經有東西，那東西是自己做的，會更有印象。也可以把附件全部組合起來成為立體圖形。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】2. 垂直與平行。【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】l 高年級對空間概念不足，因此對垂直與平行的概念容易分不清，需以實體輔助之。【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】數量關係（統計）1.小朋友容易錯誤的地方是間格：有時會忽略這是代表3這是代表4、或是代表5。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 提醒學生注意要歸零開始計算。那半格又是多少？一格代表5格等比較容易錯，要提醒小朋友不要粗心。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】2. 加權平均數和平均數。【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】l 解釋清楚。【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】（正反比）1.小朋友正反比的概念比較模糊。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 就用遊戲來帶，如：買東西、購物，先作統計、再做表格，讓小朋友可以實際體會正、反比。正、反比是用故事帶進來的：有一個國家，他們的人民不會算術，可是明明兩種東西價錢不一樣，假設其中一個是專門種蘋果的，另一個專門種香蕉的，但是兩個人都不想一直吃蘋果和香蕉，可是蘋果一個一個長，香蕉一串一串長，那怎麼辦？沒關係我用三個香蕉跟你換兩個蘋果，如果我拿六個蘋果可以換幾個香蕉？那個關係是一定的，所以小朋友就記得比值的關係是不變的。所以要把某些東西變成數列時，小朋友會記得蘋果比香蕉不會等於香蕉比蘋果。所以把文字變成數字也會記得，公尺比段會等於公尺比段。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】2.小朋友覺得正、反比的方法運算起來很容易，所以很多時候不應該用正、反比的時候，還是用正、反比來解題，例如：150公克濃度20%的糖水要稀釋成為15%的糖水應該水要加多少？小朋友解題就變成150：20=：15，=？【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】l 乍看之下沒有問題，其實犯了嚴重的問題是基準量的錯誤，因為150公克是糖加水而不是題目所說還要加多少水？1應該是畫數線給小朋友看，使小朋友一目了然較好。（橘色部分是在濃度20%下的糖，全單位糖加水為1，綠色部分是濃度20%下的水。所以可以先求出綠色部分的重量就可知全部的單位基準量1的重量，再用15%的濃度帶入算式即可，此可出成形成性評量。例如：甲說用150：20=：15，=答案，請問對不對？）【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】其他（題意不理解）1. 應用題的題意搞不清，以致不知該求的東西為何。【李中莉老師受訪，陳秀蓮訪談】、【李淑貞老師受訪，黃宗偉訪談】l Ex:小瑜想要用粉紅色緞帶裝飾圓形的餅乾盒，她只知道餅乾盒的半徑是15公分，如果她想要用緞帶繞盒子兩圈，請問將用掉多長的緞帶呢？ 不知道是要求周長還是面積？老師的對策就是帶著學生再從頭把題目看一遍，並告知如何去找其中的關鍵字。很多時候並不是學生不會做，而是語文能力的不足，導致