考研数3之差分方程.doc

考研数3之差分方程（7）一阶差分 对任何数列，称数列为原数列的一阶差分（8）阶差分 阶差分的差分称为数列的阶差分，记为二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分（9）差分方程 含有自变量，未知函数或求知函数的差分的方程称为差分方程（10）差分方程的阶 差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶（11）差分方程的解 满足差分方程的函数，称为差分方程的解（12）差分方程的通解 若解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同，则这个解称为此差分方程的通解（13）差分方程的特解 确定了任意常数的解，称为此差分方程的特解（14）差分方程的初始条件 用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件例13 求的一阶差分.解 = = = = 例14 设有一笔投资(本金) ，若利率每年按 r 的复利计算，年后的本利和为多少？解 设年后的本利和为，根据题意有且满足条件： 易得年后的本利和为：注：如果每年投资，那么年后的本利和为此时也满足条件：解得：例15 求差分方程 的解解 方程可改写为 可得特征方程为 3 l - 2=0特征根为，于是方程的通解为把初始条件代入通解，得C = 5. 于是方程的解为例16 求差分方程 的通解解 差分方程对应的齐次方程的通解为（为任意常数）由于方程中 b = 1 ( 即1是特征根 )，为二次多项式，故中 s=1设特解为代入非齐次方程得 所以，非齐次差分方程的通解为 ，为任意常数例17 求 在初始条件下的解解方程可改写为其对应的齐次方程通解为（为任意常数）显然5不是特征根，故可设特解为 代入非齐次方程得 所以，非齐次差分方程的通解为 ，为任意常数把初始条件代入通解，得，所以原差分方程满足初始条件的解为五、部分习题选解1、（习题62，3（6）求方程的通解解原方程可化为故这是以为自变量的一阶线性非齐次方程其通解为即2、（习题63，1（3）求方程的通解解此题虽然不是书中所提三种类型之一，但显然可通过令来降阶，此时原方程变为，其通解为即两端积分得再对上式两端积分即得原方程的通解为3、（习题64,1（9）求方程的通解解原方程可化为，其特征方程的两个根为故对应的齐次方程的通解为下面求的一个特解，可设为，代入方程中可得，从而再求的一个特解，可设为，代入方程得，从而因此原方程的一个特解为从而原方程的通解为4、（复习题六，5）借助变量代换，（），求微分方程满足初始条件，的特解解令，则，代入原方程得，即对其两端连续积分两次得从而所以又，代入上式得而，故由得因此所求特解为5、（复习题六，7）设可微，且满足试求解原方程可改写为两边求导得两边再求一次导得，且由上式还可知易知的通解为，再由知所求函数为6、（复习题六，11）设有微分方程，其中试求在（）内的连续函数，使之在（）和（）内都满足所给方程，且满足条件解时，方程为其通解为由知，故其特解为时，方程为其通解为要使所求函数在上连续，必须满足从而再补充定义，即得所求函数为7、（复习题六，13）设方程有两个特解且，求，并求出方程的通解解由知又由是方程的特解知从而所以进一步地，我们有由此可得而方程的通解为即因此又，所以即，解得取其中一个特解为再由知综上所述，我们可取，；，；而方程的通解为，（为任意常数）8、（复习题六，15）已知差分方程，其中均为正数，试证：通过变换，可将非齐次方程变换为的齐次方程，并由此求出的通解解把代入原方程得（*）易知对应齐次方程的通解为，为任意