函数的单调性和奇偶性典型例题

函数的单调性和奇偶性例 1（ 1）画出函数y -x2+2 x +3 的图像，并指出函数的单调区间解：函数图像如下图所示，当 x0 时，y -x 2 +2x+3 （-x-1 ）2+4 ；当 x 0 时，y -x 2 -2x+3-（ x+1 ）2+4 在（ -，-1 和 0，1 上，函数是增函数：在-1 ，0和 1，+）上， 函数是减函数评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上（ 2）已知函数f（ x） x2 +2（ a-1 ）x+2 在区间（ -， 4上是减函数，求实数a 的 取值范围分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征解： f（ x） x 2+2 （ a-1） x+2 x+（a-1 ） -（ a-1 ） 2+2 ，此二次函数的对称轴是x1-a 因为在区间（-， 1-a 上 f（ x）是单调递减的，若使f（ x）在（ -， 4 上单调递减，对称轴x 1-a 必须在 x=4 的右侧或与其重合，即1-a 4， a -3 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合-可编辑修改 -例 2判断下列函数的奇偶性：（ 1） f（ x）-（ 2） f（ x）（ x-1 ） 解： （1 ） f（ x）的定义域为r因为f（ -x ） -x+1 - -x-1 x-1 - x+1 -f （ x） 所以 f（ x）为奇函数（ 2） f（ x）的定义域为x -1 x1 ，不关于原点对称所以f（x）既不是奇函数， 也不是偶函数评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（ 1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称（ 2）计算 f（ -x ），并与f（x）比较，判断f（ -x ） f（ x）或 f（ -x ） -f（ x）之一是否成立 f（ -x ）与 -f（ x）的关系并不明确时，可考查f（ -x ）f（x） 0 是否成立，从而判断函数的奇偶性例 3已知函数f（ x）（ 1）判断 f（ x）的奇偶性（ 2）确定 f（ x）在（ -，0 ）上是增函数还是减函数? 在区间（ 0 ， +）上呢 ?证明你的结论解： 因为 f（x）的定义域为r，又f（ -x ） f（ x）， 所以 f（ x）为偶函数（ 2） f（ x）在（ -， 0 ）上是增函数，由于f（ x）为偶函数，所以f（ x）在（ 0，+） 上为减函数其证明：取x1 x2 0 ，f（ x 1） -f（ x 2）- 因为 x 1 x 2 0，所以x2 -x 1 0， x 1+x 2 0， x2 1+1 0， x 22+1 0 ，得f（ x 1） -f （ x 2） 0 ，即 f（x 1） f（ x2） 所以 f（ x）在（ -， 0 ）上为增函数评析奇函数在（ a,b ）上的单调性与在（-b,-a ）上的单调性相同，偶函数在（a,b ）与（-b,-a ）的单调性相反例 4已知 y=f （x）是奇函数，它在（0，+）上是增函数，且f（x） 0 ，试问 f（ x）在（ -， 0 ）上是增函数还是减函数? 证明你的结论分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1 x 2 0 ，进而判定f（ x1）-f（ x2 ）-的正负为此，需分别判定f（ x 1）、f（ x2 ）与 f（ x 2）的正负， 而这可以从已条件中推出解： 任取 x1 、x2 （ -， 0 ）且 x1 x2 ，则有 -x 1 -x 2 0 y f（ x）在（ 0 ，+ ）上是增函数，且f（ x） 0 ， f（ -x 2 ） f（ -x 1 ） 0 又 f（ x）是奇函数， f（ -x 2 ） -f（ x2 ）， f（ -x1 ） -f（ x 1）由 、 得f（ x2 ） f（x 1） 0于是f（ x1） -f （ x 2） 0，即 f（ x1 ） f（ x 2），所 以 f（ x）在（ -， 0 ）上是减函数评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+）内任取x1x 2 ，展开证明这样就不能保证-x 1 ， -x 2，在（ -， 0 ）内的任意性而导致错误 避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动例 5讨论函数f（ x）（ a 0 ）在区间（ -1 ， 1 ）内的单调性分析根据函数的单调性定义求解解： 设-1 x 1 x 2，则f（ x 1） -f（ x 2）- x1 ，x 2 （ -1 ，1 ），且 x1 x ， x1 -x 20 ， 1+x 1x2 0，（ 1-x 2 1）（ 1-x 2 2） 0于是，当a 0 时， f（ x 1） f（ x2 ）；当 a 0 时， f（ x 1） f（ x2）故当 a 0 时，函数在（-1， 1 ）上是增函数；当a0 时，函数在（-1 ，1）上为减函数评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（ 1）设 x 1、x 2 是给定区间内任意两个值，且x1 x2 ；（ 2）作差 f（ x1 ） -f（ x2 ），并将此差式变形；（ 3）判断 f（ x1 ） -f（ x2 ）的正负，从而确定函数的单调性例 6求证： f（ x） x+（ k0 ）在区间（ 0 ， k上单调递减 解： 设 0 x 1x 2k ，则f（ x 1） -f（ x 2） x 1+-x 2- 0 x1 x2 k ， x1 -x 20 ， 0 x1 x2 k 2， f（ x 1） -f（ x 2） 0 f（ x 1） f（x 2）， f（ x） x+中（ 0 ， k上是减函数评析函数 f（ x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势， 是函数在区间上的整体性质因此，若要证明f（ x）在 a,b 上是增函数（减函数），就必须证明对于区间 a,b 上任意两点 x 1， x2 ，当 x 1 x 2 时，都有不等式 f（ x 1） f（ x 2）（f（ x 1） f（ x2 ） 类似可以证明：函数 f（ x） x+（ k 0）在区间 k， +上是增函数例 7判断函数f（ x）的奇偶性 分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号解： 由得函数的定义域为-1 ， 1 这时，x-2 2-x f（ x）， f（ -x ）f（ x）且注意到 f（x）不恒为零，从而可知， f（ x）是偶函数，不是奇函数 评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不