复合函数定义域问题

.第一讲复合函数的定义域一、复合函数的构成;.设ug( x) 是 a 到b 的函数，yf (u) 是b 到c 上的函数，且 bb ，当 u 取遍 b 中的元素时，y 取遍 c ，那么yf ( g( x) 就是 a 到c 上的函数。此函数称为由外函数yf ( x) 和内函数 ug( x) 复合而成的复合函数。说明：复合函数的定义域，就是复合函数yf (g( x) 中 x 的取值范围。 x 称为直接变量， u 称为中间变量， u 的取值范围即为 g(x) 的值域。 f (g( x)与g ( f( x)表示不同的复合函数。例 1设函数f ( x)2 x3, g (x)3x5 ，求f ( g( x), g ( f( x) 若 f( x) 的定义域为m ，则复合函数f ( g( x) 中，g(x)m 注意：g(x) 的值域 mm 例 2：若函数f (x) 的定义域是 0 ，1 ，求f (12 x) 的定义域；若 f(2 x1) 的定义域是 -1 ，1 ，求函数f (x) 的定义域；已知f ( x3) 定义域是4,5 ，求f (2 x3) 定义域要点 1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的解答：函数f (12x) 是由 a 到 b 上的函数 u12x 与 b 到 c上的函数 yf (u) 复合而成的函数函数 f (x) 的定义域是 0 ，1 ，b=0,1，即函数 u12x 的值域为 0 ， 1 012x12x1 ，0 ，即 0x1 ，2函数f (12 x) 的定义域 0 ，1 2函数f (2 x1) 是由 a 到 b 上的函数 u2x1 与 b 到 c上的函数 yf (u) 复合而成的函数f (2 x1) 的定义域是 -1 ，1 ，a=-1,1，即-1x1，32x11 , 即u2x1 的值域是 -3 ， 1 ， yf ( x) 的定义域是 -3 ，1 要点 2：若已知f ( x) 的定义域为 a ，则f g(x) 的定义域就是不等式g(x)a 的 x的集合；若已知f g( x) 的定义域为a，则f ( x) 的定义域就是函数g(x)( xa) 的值域。函数f (x3) 是由 a到 b 上的函数 ux3 与b 到 c上的函数 yf (u) 复合而成的函数f (x3) 的定义域是 -4 ， 5),a=-4,5)即4x5，1x38即ux3 的值域 b=-1 ，8）又 f (2 x3) 是由a 到b 上的函数 u2 x3 与 b 到 c 上的函数yf (u)复合 而成的 函数，而bb, 从而 u2x3 的值 域b1,8)12x38 22 x 1x11,112 f (2 x3) 的定义域是 1 ， 11）2例 3：已知函数f (x)定义域是（ a,b ），求 f ( x)f (3x1)f (3 x1)的定义域解：由题，a3x1b，a3x1ba1xb133，a1xb133a1b1当33，即 b aba b2 时，f (x) 不表示函数；a1b1当33，即 a abb 2 时，f (x) 表示函数，其定义域为说明：a1 b1(,) 33已知f (x) 的定义域为 (a,b)，求f ( g( x)的定义域的方法：已知 f(x) 的定义域为(a， b)，求f ( g( x)的定义域。实际上 是 已 知 中间 变 量 的 u 的 取 值 范围 ， 即 u(a， b) ，g( x)(a，b) 。通过解不等式 ag( x)b 求得 x的范围， 即为 f (g( x) 的定义域。已知f (g(x)的定义域为 (a,b)，求f (x)的定义域的方法：若已知f ( g( x)的定义域为(a， b) ，求f ( x) 的定义域。实际上是已知复合函数f ( g(x)直接变量 x 的取值范围，即x(a， b) 。先利用 axb 求得g( x) 的范围， 则g(x) 的范围即是f ( x) 的定义域 , 即使函数f (x) 的解析式形式所要求定义域真包含g( x)的值域，也应以g( x) 的值域做为所求f (x) 的定义域，因为要确保所求外含数f (x) 与已知条件下所要求的外含数是同一函数， 否则所求外含数f ( x) 将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数f ( g(x) 的外函数 f(x) ，如果外函数f ( x) 的定义域不等于内函数g( x) 的值域，那么f ( x) 就确定不了f ( g( x)的最值或值域。例 4：已知函数f (x)x1x , ( x1)求 f ( x) 的值域。分析：令u( x)x1 ， ( x1) ；则有 g(u)u 2u1 ， (u0)复合函数f (x) 是由u( x)x1 与g(u)u 2u1 复合而成， 而g(u)u 2u1，(u0) 的值域即f (x) 的值域，但g(u)u 2u1的本身定义域为r , 其值域则不等于复合函数f ( x) 的值域了。例 5：已知函数f ( x 23)x 2lg x 2，求函数6f ( x) 的解析式， 定义域及奇偶性。分析：因为f ( x23)x 2lg x 2定义域为 6x | x6 或x6 令ux23 ， u3；则f (u)lg uu3 ，且 u33所以f ( x)lg x x3 , x33 ，定义域不关于原点对称，故 f ( x) 是非奇非偶函数。然而只就f ( x)lg x x3 解析式而言，定义域是关于原点3对称的， 且 f (x)f ( x) ，所以是奇函数。 就本题而言f (u) 就是外函数其定义域决定于内函数ux 23 ， u3 的值域，而不是外函数f (u)其解析式本身决定的定义域了。2求有关复合函数的解析式，例 6已知f (x)x 21, 求f ( x1) ；已知f ( x1)(x1)21，求f (x) 例 7已知f ( x1)x1，求xf (x) ；已知要点 3：f (x1) xx21 ，求x 2f ( x1) 已知 f(x) 求复合函数f g( x) 的解析式，直接把f ( x) 中的 x换成已知g( x) 即可。f g( x) 求 f(x) 的常用方法有： 配凑法和换元法。配凑法 就是在 f g(x) 中把关于变量x 的表达式先凑成g( x) 整体的表达式，再直接把g( x) 换成 x而得f (x) 。换元法就是先设g( x)t ，从中解出 x（即用 t 表示 x ），再把 x（关于 t 的式子） 直接代入f g(x) 中消去 x得到f (t)，最后把f (t) 中的 t 直接换成 x即得f ( x) ， 这种代换遵循了同一函数的原则。例 8已知f ( x) 是一次函数，满足 3 f ( x1)2 f (x1)2 x17 ，求 f (x)；已知3 f ( x)12 f ()x4x，求f ( x) 要点 4： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式， 则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。 已知 f ( x) 满足某个等式， 这个等式除 f ( x) 是未知量外， 还出现其他未知量， 如f (x) 、f ( 1) 等，x必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f (x) 。二、练习：已知f (2 x1)x 22 x ，求f ( 221) 和f (223) 解：令 2 x1221 ，设 x2 ，f (221)(2 ) 222222 ,令 2 x1223 ，设 x21 ，f (223)(21)22(21)3222221 已知f (x)x21, g( x)x1, x2x, x0，求 f0(g(x) 分析：f g(x) 是用g(x) 替换 yf ( x) 中的 x 而得到的，问题是用g( x) 中的 x1替换呢，还是用2x 替换呢？所以要按 x0 、 x0 分类；注： g f( x) 是用f ( x) 替换 yg(x) 中的 x 而得到的，问题是用 f(x) 替换g( x) 中的 x1呢，还是替换 2x 呢？所以要看 x 210还是 x 210 ，故按 x210 、x 210 分类。key:f g( x)x22xx0，；x24xx 223，x0， x1注： gf ( x)3x2， 1x1。x 22， x1三 、 总 结 ： 复合函数的构成；设函数 yf (u) ，ug( x)，则我们称 yf ( g( x) 是由外函数 yf (u) 和内函数 ug( x) 复合而成的复合函数。其中x被称为直接变量，u 被称为中间变量。复合函数中直接变量 x 的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u 的取值范围，即是g( x) 的值域，是外函数yf (u) 的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由ag( x)b 解 x）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由 axb 求g( x) 的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（ 3）反映明显。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： 当 f ( x) 为整式或奇次根式时，xr； 当 f ( x) 为偶次根式时，被开方数不小于0（即 0）； 当 f ( x) 为分式时， 分母不为 0；当分母是偶次根式时， 被开方数大于 0； 当 f ( x) 为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为 0（如f (x)x0 ，f (x)21xx2 中 x0）。 当 f ( x) 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是