大一上学期高数复习要点

;.大一上学期高数复习要点同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点；1. 主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。2. 掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。3. 复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！一. 函数与极限二. 导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四. 不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。一函数与极限熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算 了解间断点的分类零点定理本章公式：两个重要极限：二. 导数与微分熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数;.洛必达法则：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括情形） ，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限.洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.曲线的凹凸性与拐点：注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间求极值和最值利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解原函数与不定积分1基本积分表基本积分表（共 24个基本积分公式） 不定积分的性质最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！;.高数高频易错点1. 求极限请注意自变量趋向什么。我们知道： lim(x 趋向 0)sinx/x=1 ，但是当 x 趋向无穷limsinx/x=0 ，原因：无穷小量有界函数 =无穷小量。这里： |sinx|0或(a0，当 x 取 x0的 去心x-x0邻域时 ,f(x)0(或 f(x)0，然而并不满足f(x)0(在 x=0 处) 。介绍这个定理的作用：解一类题。 请看： 已知 f(x)可导，且当x 趋向 0， limf(x)/|x|=1，判断f(x)是否存在极值点。因为 f(x)可导，那么 f(x)必连续，因为lim(x趋向 0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1，那么我们得到结 论： lim(x趋向 0)f(x)=0，否则不会存在极限的，又因为f(x)连续，那么f(0)=0，令f(x)/|x|=g(x)，根据保号性，因为limg(x)=10，那么： g(x)0 ，那么由于 |x| 在 x 趋向 0 时0，所以 f(x)0，而 0=f(0)，所以 f(x)f(0)，根据极小值的定义，x=0为 f(x) 的极小值点。 综上：已知 limg(x)=a ， a 的正负已知，可以使用保号性。3. 请注意当题目说： x 趋向无穷时， 那么题目包含两个意思：x 趋向正无穷和x 趋向负无穷。在含有 ex ， arctanx ，等等类的题目时，请看清楚x 趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。补充：在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x 趋向无穷，那么在去| 时，必须考虑 |x| 中 x 是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以(x2) 出现。4. 关于和差化积积化和差公式的记忆。8字口诀：同c 异 s，s 异 c 同。前者用来记住积化和差，后者用来记住和差化积。举例：sinacosb= ？因为它们的三角函数名异名，那么使用s， sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)，说明： 1，纯粹个人记忆方法，接受不了也正常； 2，这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓， 比如所有的积化和差，右边是 1/2() ( 或者-)()； 3，实在不会，死记硬背吧，或者请教别的大神。5. 关于极值点的3种判别法： 法一： 定义法； 法二： 若 f(x)可导，f(xo)=0， 且 f (x) 不为 0，则 f(x)在 xo 处取得极值， 若二阶导 0，极小，反之，极大；若n 为奇数， n 阶导不等于 0，则 (xo ，f(xo)为拐点， xo 不是极值点。证明：略6. 参数方程二阶导问题( 无数不懂事的孩子搞不清楚) ，我们说一般地，y表示对 x 的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。 y=d2y/dx2=d(dy/dx)/dx，对于求dy/dx ，我们采用求关于t 的 y(t) ，和关于t 的 x(t)，因为 dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=y(t)/x(t) 。举例：已知 y=cost ，x=t2 ，那么求 dy/dx ，d2y/dx2 。标准解答： 1：y(t)=-sint，x(t)=2t， 所 以dy/dx=-sint/2t； 2 ： d2y/dx2=d(dy/dx)/dx= d(-sint)/2t /dt* (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t3)综上：二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。7. 等价无穷小只能使用于乘除( 题外：其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆 ) 。比如： 初学者可能会认为这个极限为0 ， lim(x趋向 0)(tanx-sinx)/x3=0计算 思路： (x-x)/x3=0，事实上它等于1/2. 原因：提取tanx 后等价无穷小。等价无穷小必须自己去;.;.背的，没有人可以帮你。8. 对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。错误一：把变量当做常量。比如：y=xx ，标准解答 lny=xlnx，两边对x 求导， y/y=1+lnx，所以 y=(xx)(1+lnx)。错误做法：y=xx ， y=x(x(x-1)=xx。( 但愿你们找到了错误在哪) ，错误二： 搞不清楚对x 求导是什么意思。当然： y=x2 求导大家都会吧，y=2x ，当出现对y2=x2 ，很多同学就迷茫了，我们说y 是x 的函数，所以最后必须乘y ，对 y2=x2 求导，得到： 2yy=2x.再则：对隐函数求导我们 把其中一个看成常量，比如y=yx+x2 ，那么求导： y=y+yx+2x。综上：对隐函数求导， 若是单独y，求导为 y ，一切关于y 的函数 ( 比如 y2 ，lny ，ay 等) ，先对这个函数求导再乘 y.9. 函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可导，在中心点的去心邻域内的点未必可导。比如函数f(x)=0当 x 是有理数。f(x)=x2当 x 是无理数。只在 x=0 处点连续，并可导。按定义可验证在x=0处导数为 0.10. 无穷小有界=无穷小，但是：无穷大有界未必等于无穷大。正确结论：无穷大有界=未知，比如：当x 趋向正无穷，x， x2始终为无穷大，而1/x ， 1/x2 为有界量。注意到：x*(1/x2)=1/x就是一个无穷小, 而 x2*(1/x)=x却是无穷大 , 而 x*(1/x)=1却是有限的。11. 可导与连续是完全不一样的。有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo 连续，特别开心，他说易得：左导=右导=f(xo)，你太天真了。其实：连续是说左极限=右极限 =f(xo)，可导是： lim(x-xo)f(x)=f(xo)，且左导 =右导。请搞清楚你要处理的问题。不要学了一个学期都是云里雾里，当然一学期没上过一节课的同学，除外。补充：在一元函数微分学中，可 导必然连续，连续未必可导( 这个显然嘛， y=|x| 在 x=0 处连续但是不可导) 。12. 很多初学者认为：(a 到 x)f(t)dt中，变量是 t ，这是错的， 你忽略了变限积分的来历， 自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。记住：这里x 是变量，它求导=f(x)。13. 还有人问为什么高等数学中分母可以为0，他说比如 0/0 不是以 0为分母， 他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0，它表示极限 0，由于极限等于0，我们习惯称为 0/0 形式。也就是说：若没有lim这个符号， 0/0 没有意义。事实上：再比如：货真价实的数字 1，1 无穷 =1 ，若是 ( 极限 1) 无穷，则结果待定。高等数学中由于极限的 四则运算包括幂指数运算无法解决形如：0/0 ， 1 无穷，无穷 / 无穷，等等 7类运算。为此， 产生了 7种特殊的式子：不定式。由于结果不确定，所以称之为不定式。综上：我们现在学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论，但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论，并且注意区分。14. 求数列极限不可直接使用洛必达，数列是整标函数，每个孤立点不连续，不可导，故不符合洛必达的条件1，为此：正确做法：先令n 为 x，再使用洛必达，最后换为n.15. 无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大 但是请注意：这里的无穷小除去了0。16.x 趋向 0，limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明，原因： (sinx)=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1，所以犯了循环论证的错误17. 关于洛必达法则的运用条件绝非0/0 ，无穷 / 无穷那么简单。洛必达的3个条件： xa 时， lim f(x)=0,lim f(x)=0;在点 a 的某去心邻域内 f(x ）与 f(x ）都可导，且f(x ）的导数不等于 0; x a时， lim( f(x)/f(x)）存在或为无穷大则 xa时， lim( f(x) / f(x)=lim( f(x)/f(x) )，请注意：1，第三点很容易被忽略，一般地：含有lim(x趋向无穷 )sinx，或者cosx ，是不会采用洛必达的；2，在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点，在求最后一步导时我们使用的是导数定义，也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来，因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所;.;.以每次做含有抽象函数的题使用洛必达最后一步使用导数定义！3，单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。( 如果你不注意以上这些，虽然在平常考试时有些老师不在意，但是如果你考研的话是会扣一半分以上的)18. 一般地： 我们有以下结论： lim(x趋向 xo)f(x)=a，则必然有lim(x趋向 xo)|f(x)|=|a|。注意：若a 不为 0，上述结论的逆命题未必成立 大多是不成立的 ，若 a=0，上述结论逆命题仍然成立！19. 并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解 尽管极坐标是一个好方法 。在使用极坐标时， 应该同时注意到： 和 的任意性。 比如： (x ，y) 趋向 (0 ，0) ，求 lim(xy)/(xy) ， 容易证明该极限不存在( 一条路径：y=x ，另一条：y=x2-x)，倘若使用极坐标，则得：lim (cos sin )/(cos sin ) ，此时有分母出现 0的可能 ( 取 =45度) ，因此不确定该极限是否存在，本法失效，或者说：你无法证明 (cos sin )/(cos sin ) 有界。综上：倘若使用极坐标，须同时考虑 ， 的任意性，不可盲目使用。20. 注意仅当 y=f(x) 时有： y=f(x) 。若 y=f( ) ，不等于 x 时， y 不等于 f( ) 。比如：y=f(x2) ，y=f(x2)2x ，而不是等于 f(x2) 。下面说明 f( ) 和f( ) 的区别： f( ) 表示已知 f(x) 的表达式， 并且把当做 x 代入，这个过程是代值过程； 而f( ) 的意思是求导，至于对谁求导，则根据确定。注意：仅当 =x 时， f( )=f( ) ，即： f(x)=f(x) ，其他情况没有这个式子。综上： f( ) =f ( ) 。21. 一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导，“连续可导”意思是说f(x)的导函数连续。ps：f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续，反之不然。22. 还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式： asinx+bcosx= (a2+b2)sin(x+u) ， 其中 u=arctan(b/a) ， 强 制 要 求 a0 ； asinx+bcosx= (a2+b2)cos(x+u) ， 其 中u=arctan(-a/b)，强制要求b0。 ps： 为什么要强制要求？ 以第一个为例，第二个同理 原因在于：我们既然采用了用u=arctanb/a来确定 u 的值，好处在于 u 在- 派/2 ，派/2 上是一一对应的( 因为 y=tanx在该范围内单调) ，事实上， u 的范围就是 - 派/2 ，派 /2 ，由此我们再来看给出的公式：asinx+bcosx= (a2+b2)sin(x+u)， 将右边展开得： (a2+b2)cosusin