大一数学分析复习题

;.1.limn2. limn3. limn3 n2 n n3 n (332n1 2n5)5)n3n2 n1n4.lim34nn23 n3n25.lim124.n11(2n1 )2 n n16.limn12(42).n(2)n1 7.lim(nn 2 n 13n3219111n ) 8.limn127.(1 )n113 n 29.limnan10.(1 ) 若nlim(nb0, 则a ,b 2 x ) n 存 在, 则实数(2)已知无穷等比数列的各项和是11.x 范围4,3 b n 则首项a 1 的取值范围是已知lim(2na n1n ( nb n )5,limn( a n)1 , 求lim(na nb n ) 的值1n312.若a n1 )s n 为数列a n的前n 项和, 求321n1n4( 1 )limna n(2)limns n13.求数列limnan为等比数列, a 1a 29,a 1 a 2 a 327,前n 项和为s n14.数列an为等比数列, a 11 , 前n 项和为s 10s n ,s 531,32求limn15.limn已知3 n3 na 范围s na1r2 a, 且n2 an4limn11319127.(1 )n131n1,求16.数列 a n ,b n 都是公差不为0 的等差数列, limna nb n2,aa.a求limn12nbn2 n17.数列 a n 为无穷等比数列, a 11 , ank ( an1a n2.)求实数k 的范围18.数列 a n 是公比为q ( q0)前n 项和为s的无穷等比数列s n, a 1a ,n, 求limns ns, limnn1a21a22.a2n19.无穷等比数列 a n 公 比为q , 前n 项和为s n ,limna ns n1q1 , 求q 范围20.求limn1aaa23aa42 n5.aa2 n121.等比数列 a n 公比为q , lim(na1n1qq)12数列极限练习题 s n ,求a 1 取值范围;.22.数列 a 前n 项和为s, 且s12a, 求3nnnn( 1 ) lims n(2) lim(a 1 s 1a 2 s 2.a n s n )23.nn设正数等比数列 a n ,a 24,a 416,求limnlga n1lga n2n 2.lga 2 n24.数列 a n 前n 项和为s n , a n5 s n3, 求lim(n25.a 1a 3已知函数.f(a 2 n1 )x )x22 x2(x2 )( 1 ) 求反函数f1 ( x )(2)若正数数列 a n 前n 项和s n 对所有大于1的自然数n 都有s naf1 ( sn2a21 ) 且a 12,求 a n 通项公式(3) 设cn1n又设数列 c 前n 项和为t,nnn2 a n1 a n求lim(t nnn ) 的值方法一：应用数列极限的定义(证明题 )用定义求数列极限有几种模式：（ 1）0 ，作差 ana ，解方程 ana，解出 nf，则取 nf或 nf1,（ 2）将 ana 适当放大，解出nf；（ 3）作适当变形，找出所需n 的要求。方法二：常用方法：约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子(母)有理化求极限方法三（迫敛性）设收敛数列an , bn 都以 a 为极限，数列cn 满足：存在正整数n0,当nn0时有：ancnbn则数列cn 收敛，且lim cna 。n方法四：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。方法五： 两个重要极限是limsin x1 和 lim (11 ) xlim (11) ) nlim (11x) xex0xxxnnx0方法六：（柯西收敛准则）数列an 收敛的充要条件是：对任给的0 ，存在正整数n，使得当n， mn 时，有anam方法七： stolz 定理：设nn 时， yn（ l 为有限数或无穷大） ，则yn 1且 lim yn，若 limxnnynxn 1lyn 1nnnylimxn nlimxn nxn 1lyyn 1方法八：形如xn 1f () 数列极限xn方法九：用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式），常见等价无穷小有：当x0 时, x sin x tan x arcsinx arctanx ln(1x) ex1,1cos x 1 x2 , 1ax b21 abx ；方法十：用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求limf (x) g (x ) 极限，数列极限转化成函数极限求解。算术几何调和平均不等式：对a1, a2 , anr,记a1a2an1nm (ai )nn i 1ai ,(算术平均值 )g(ai )n a1 a2an1nnai,i 1(几何平均值 )nh (a i )11111n1n.(调和平均值 )n1a1a 2anni 1 a ii 1 a i有均值不等式:h (ai )g(ai )m (ai ), 等号当且仅当a1a2an 时成立 .（3） bernoulli不等式 :(在中学已用数学归纳法证明过)对x0,由二项展开式(1x) n1nxn(n1) x2n(n1)(n2) x3xn ,2!3!(1x)n1nx ,( n1)（） cauchy schwarz 不等式 :ak ,bk ( k1,2, n ),有n2ak bkk1n2ak bkk1nnab22kkk 1k 1（）nn ，1 n111ln(1)nn1231nn(n 21) ；1222321n 2n(n 61)( 2n1)132333n31 n2 (n 41) 2 ；142434n41 n(n301)(2n1)(3n23n1)152535n5112n2 (n1) 2 (2n22n1) ；162636n6142n( n1)( 2n1)(3n46n33n1)172737n7124n2 ( n1) 2 (3n46n3n24n2)2461232522nn(n(2n1)1) 21 n(4n231351)1333(2n 531)n 2(2n1) 3n2 (2n 21)判断 :导数微分及应用习题1、若f (x) 可微，且为 l , l 上的偶函数，则f( x) 必为l ,l 上的偶函数；（）2若fx是l ,l上的奇函数，则f(x) 必为l , l上的偶函数；（）3、如果函数 yf x在 x0 点 的左、右 极限都存在，则函数在x0 点的极限存在（）4、若函数f ( x) 在点 xx0 连续，则f ( x) 在 x0 点可导；（）5、若函数f ( x) 在点 xx0 连续，则f ( x) 在 x0 点的极限一定存在； （）6、若函数f ( x) 在点 xx0 可微，则f ( x) 在 x0 点可导；（）7、如果函数 yf x在x0 点 的左、右 极限都存在，则f ( x) 在x0 点可导；（）8、若函数f ( x) 在点 xx0 连续，则函数 yfx在x0点 的左、右 极限都存在且相等；（）9、若f ( x) 在 x0 点不可导，则函数f ( x) 在点 xx0 一定不连续；（）10、若函数f ( x) 在点 xx0 不可微，则f ( x) 在 x0 点不可导；（）11、若函数f (x) 在点 xx0 不可微，则f ( x) 的左、右极限一定不存在；（）12、设函数f ( x) 在 x点可导，导数为f( x) ，则limf (x0)f (x0x)f (x )（）000x 0x13、设函数f ( x) 在 x点可导，导数为f( x) ，则 limf(x0x)f(x0x)f (x ) （）00x 02 x014、设函数f ( x) 在 x点可导，导数为f( x) ，则 lim f(x02 x)f(x0)f (x ) （）00x 0x015、函数 yx1 在x1 处不可导；（）16、函数 yx1 在x1 处不连续；（）17.若 f(x0) 存在，且f(x0 )0 ，则limx0f ( x0fx) (x0 )f ( x0 ) x1（）18、若f ( x) 在 a, b 上可导，则f ( x) 在 a, b 上有界；（）19、若f ( x) 在 x0 点导数不存在， 则曲线 yf (x) 在(x0,f (x0)点处没有切线；（）20、曲线ycosx 上点, 1处的法线的斜率为322；（）321. 设 yf ( x) 在 xx0 可微，则当x0 时，f ( x0x)f ( x0 )f( x0 )x 是关于x 高阶的无穷小；（）22、若 limf ( x)f ( a)l (0l) ，则f ( x) 在 xa 处不可导；（）xa( xa) 223、若 limf (x)f (a)xa( xa) 224、若 limf (x)f (a)xa25、若 y( x ln xa) 2sin，则 y2l (0l) ， 则f ( x) 在 xa 处可导但f(a)0 ；（）l (0l) ， 则f ( x) 在 xa 处可导且f(a)0 ；（）1cosx2；（）1. 设f ( x) 在xfx 的某个邻域内具有二阶连续导数，则 lim(x0h)f (x0h) （）.0h 0ha、0；b、 f( x0 ) ；c、 f(x0 )；d、 2 f( x0 ) ；.2、设( x) 在 x0 的邻域内连续，且有f ( x)( xx0 )(x) ，则 f( x0 )（）.a、0；b、( x0 )；c、(x0 )；d、.3. 设 f(sin 2 x)cos2x ，则f (x)（）.a、 sin 2x ；b、cos 2 xc ；c、1xc ；d 、 xxc.224. 设f ( x) 在 x1点处可微，f (ex )e 2x1 ，则 limf ( x)（）.x1a、2；b、1；c、0；d、 e21 .f ( x)5. 设 ye f ( x) ，其中f ( x) 为二阶可导函数，则y（）.a、e f ( x)；b、e f(x)f( x) ；c、e f ( x) ( f( x) 2f( x) ；d、e f ( x) f( x) 2 .6. 如果在区间( a,b) 内， f( x)( x) ，则在( a, b) 内f (x) 与( x) （）.a、仅相差一个常数；b、完全相等； c、均为常数；d 、f ( x)( x)c(c 为常数） .7. 设f ( x) 为可导的偶函数，则f( x) 为（）.a、偶函数；b、可能是偶函数；c、奇函数；d、非奇非偶函数 .8 、设 fx在 xx处可导，则limf ( x0ah)f ( x0bh)（）.0h0ha、0；b、 (ab) f( x0 ) ；c、(ab) f( x0 ) ；d、 f( x0 ) .9、设 f( x0 )3 ，则limx0f ( x0x)f ( x0 ) x（）.a、 3；b、3；c、0；d、.10、设 fx在区间( a, b) 内连续， x0(a, b) ，则在点x0 处 fx （）.a、极限存在且可导；b、极限不存在，但可导；c、极限存在，但不一定可导；d、极限不一定存在 .11. 设 fxx 2 ,xx,x0，则在 x00 处 fx （）.a、 无定义； b、不连续； c、连续且可导； d、连续但不可导 .eax ,x012、设 fxb(1x) 2 ,x，在 x00 可导，则必有（）.a、a2,b1 ； b 、 ab1； c 、ab2 ； d、 a2,b1 .13、 yx ，则在 x0 处 fx的导数 f(0)（）.a、0；b、 1；c、不存在；d、1.14、可微的周期函数其导数（）.a、一定是周期函数，且周期不变；b、一定是周期函数，但周期可能发生变化； c、不一定是周期函数；d、一定不是周期函数 .15、设 fx为可微的偶函数，且对任意的x (x0), f (x )1 ，则 f (x )（）.00002a 、 1 ；b、21 ；c、2；d、 2.216. 曲线 yx 24 x上，切线平行于直线2 xy30 的点的坐标为（）.a、（1， 3）；b、（ 3， 3）；c、（ 1，5）；d 、（2，0）.17、设 yf (ln x) ，其中f (u) 为可微函数，则y（）.a 、 f(ln x) ；b、1；x2c 、 1 fx(ln x)1f (ln x) ；d、 1 fx 2x 2(ln x)f(lnx) .18、设 yxlnx ，则y (10)（）.a、1x 9；b、 1 x9；c、 8! x9；d、8! .x919. 设f (u) 为可微函数，若 yf (cos 2 x) ，则 dy（）.a、2 f(cos 2 x)dx ；b 、sin 2 xdx；c、 fcos 2x d cos 2 x ；d 、 2 fcos 2xsin2 xdx .20、下列函数中导数等于1 sin 2x 的是（）.2a、 1 cos 2x ；b、 1 sin 2 x ；c、 1 cos 2 x ；d、 1 cos 2x .22221、曲线 yx2x2 在点 m 处的切线与直线 x4 y340 垂直，则此曲线在点m 处的切线方程为（）.a、16x4 y170 ；b、 16 x4 y210 ；c、2 x8 y110 ；d、2 x8 y170 .xarctantd 2 y22. 设yln(1t 2 ) ，则dx 2（）.a、21t 2；b、 2(1t 2 ) ；c、2；d、2(1(1t 2 ).t 2 ) 223、设 yln(2x 2x) ，则 y（）.a、x；b、x；c、x；d、x.2x 23(2x2 ) 22x 23(2x2 ) 224、下列函数中在点 x0 连续且可导的是（）.a 、 f (x)3 x2；b、f ( x)sin x ；c 、 f (x)xex ,x xx0 ；d、0f (x)2x1,x0.x 21,x025、设方程 exeyxy 确定 y 是x 的函数，则y (0)（）.a、ey ；b、1；c、1yey；d、0.26. yxf1 xd 2 y其中 f 为可微函数，则2dx（）.a、1 ；b、1fxx 21；c、 1f xx31；d、1f1.xx3x27. 设limf ( x)f (a)l ，其中 l 为有限值，则fx在xa 处（）.xa( xa) 2a、可导且 f(a)0 ； b、可导但f ( a)0 ；c、不一定可导；d 、肯定不可导 .28. 曲线 yx2x4 在点 m 处的切线斜率为 3，则 m 点的坐标为（）.a、（1，0）；b、（ 0， 1）；c、（1，3）；d、（ 1， 2）.29、设 yln(1x2 )1 a 2，则 dy（）.a、11x2122 1adx； b 、2x1x2dx； c、2x1x21dx；d、21a2 x.1x 230. 设(u) 具有二阶导数，yxx ，则 y（）.a、x ； b 、xxx ； c 、 xxxx；d、xx2x.31、函数 fx2ln( 1x) ,xx0,x0 ，则 f0x 在 x0 处（）.a、间断； b、连续但不可导； c、连续且导数为0； d、连续且导数为 1.32. 设 fxeax ,xbsin 2x,x0，在 x00 可导，则a, b 的值为（）.a、a0, b1；b、 a2, b1； c 、 a2,b1 ；d、a1,b2 .x33、ln te2，则dy |（）.22y1dx2t 11ta33、；b、8；c、6；d、 6.834. 若f ( x) 在 x0 处不可导，则f ( x) 在x0 点（）.a、无意义；b、左、右极限不相等；c、不一定可导；d、不可微 .2tx35、若 f ( x)limx11，则 f(x)().tta、 (2 x1) e2 x ；b、 e2 x ；c、(x1) e2x ；d、xe2x .36. 若 f ( x)ex1 ，且 f (0)0 ，则 f ( x)（）.xa、(e xe1 ) 2 ；b、e xex12 ；c、e xex1 ；d、 ex1 exex37、设函数f (x)lim (11tx) t，则 f(0)（）.t0a、-1 ；b 、e ；c、1；d 、 1 e38.f ( x)x 2 sin 1 ,xx0,x0 ，在 x00处（）.a、不可导；b、连续且可导；c、不连续但可导；d、不连续 .39、设f ( x)x0,xx00 ，则f ( x) 的有关论证正确的是（x,x0）.1,x0a、 f ( x) 在点 x0 处可微；b、 f ( x)0,x0 ，1,x0c、 fx1,x0,x x0 ，d、 f ( x) 在点 x0不可导12n12n1,0 处可导.40. 设 yxna xn 1a xn 2a（其中a,a ,a 为常数），则( n 1)y（）.a、n! ；b、0；c、1；d、 x .41、设yxna xn 1a xn 2an （其中a1 , a2 , an为常数），则y (n)（）.12a、n! ；b、0；c、1；d、 x .x 242. 设f (x)e2 ，则limf (x)f (1)（）.x1x11a、e 2；b、11e 2 ；c、 e 2 ；d、0.43. 设函数f ( x)x sin 1 ,xx0,x0 ，则函数0f ( x) 在 x0 处（）.a、不连续；b、连续，不可导；c、可导，但不连续；d、可导且导数也存在 .x44、设ya(ta(1sin t) cost )d 2 y，则2dx（）.a、sin t1cost；b、a(11cost ) 2； c 、11； d 、cost11.cost45. 已知函数f (x)x,xx 3 ,x0，则函数0f ( x) 在点 x0 处的导数（）.2a 、 f( 0)0 ； b 、 f( 0)1 ；c、 f( 0)3 ；d、不存在 .46. 设f (x)ln x，则 f ( 2)（）.a 、 1 ；b2、 1 ；4c、1；d、0.47. 设 y(x1)( x2) 2 ( x3) ，则 f (1)（）.nxa、0；b、1；c、 1；d、2.48、设 yxe ，则( n 1)y（）.a 、 (n1)!ex ；b、 ex ；c、 n!ex ；d、0.149、设 yxx ，则 y（）.a 、 x x (ln x1) ；b、 x x lnx ；c、 x x；d、 xxx 1 .50. 下列命题中正确的是（）.a、若 f(x)g ( x) ，则有f (x)g(x) ； b 、若f ( x)g( x)，则有 f( x)g ( x) ；c、若 f( x0 )0 ，则f ( x0 )0 ；d、若f ( x0 )0 ；则 f( x0 )0 .51. yf ( x) 在点x0 处的左、右导数存在且相等是f ( x) 在点x0 处可导的 （）.a、必要条件；b、充分条件；c、充分必要条件；d、无关条件 .52. 设函数 fxx 21,3x1,0x1 ，则 f1x1 为（）.a、2；b、3；c、 1；d、不存在 .1.；2. ； 3、； 4、；5、； 6、； 7、 ；8、 ；9、 ； 10、；11、； 12、；13、 ；14、；15、 ；16、；17、 ；18、 ； 19、； 20、 ； 21、 ；22、； 23、； 24、； 25、 ；1、d；2、b；3、d；4、a；5、c；6、a；7、c；8、b； 9、a； 10、c；11、d；12、d；13、；c；14、a；15、b；16、b； 17、d；18、c； 19、d；20、b；21、a；22、b；23、d； 24、c；25、b； 26、c；27、a；28、d；29、b；30、d； 31、d；32、c；33、c；34、d；35、a；36、c；37、c；38、b； 39、c；40、b； 41、a；42、b；43、b； 44、b；45、d； 46、d；47、d；48、b；49、a；50、b； 51、c；52、d.中值定理和罗比达法则 1. 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。（1）f (x)2 x2x3,1,1.5；（ 2）f ( x)x3x, 0 ,3 。4 2. 验证拉格朗日中值定理对函数y4 x35 x 2x2 在区间 0 ,1 上的正确性。 3. 已知函数f ( x)x 在区间1,2 上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的。 4. 试证明对函数ypx 2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。 5. 函数f ( x )x 3 与g ( x)x 21在区间1,2上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。f ( ) 6. 设f ( x) 在0 ,1 上连续，在 (0,1) 内可导，且f (1)0 。求证：存在 (0,1)，使 f()。 7. 若函数f ( x) 在 (a,b) 内具有二阶导函数，且f (x1 )f ( x2 )f (x3 )12( ax1x2x3b) ，证明：在( x1 ,x3 ) 内至少有一点，使得f()0 。0 8. 若 4 次方程ax 4a x 3ax 2a 3 xa 40 有 4 个不同的实根，证明：34 a 0 x3 ax 22 a 2 xa 30 的所有根皆为实根。1 9. 证明：方程x 5x10 只有一个正根。 10. 不用求出函数f ( x)( x1)( x2)( x3)( x4) 的导数，说明方程f( x)0 有几个实根，并指出它们所在的区间。 11. 证明下列不等式