函数解析式的七种求法

一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系， 是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是 yf（x），不能把它写成 f（x，y）0；2、求函数解析式一般要写出定义域， 但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时， 可以不标出定义域； 一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1） 直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2） 待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3） 换元法：若给出了复合函数 fg（x）的表达式，求 f（x）的表达式时可以令 tg（x），以换元法解之；（4） 构造方程组法：若给出 f（x）和 f（x），或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以 x 代换x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（x）（或 f（1/x）即可求出 f（x）的表达式；（5） 根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式， 解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量， 其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围， 最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数 yfg（x）的定义域的求解，应先由 yf（ u）求出 u 的范围，即 g（x）的范围，再从中解出 x 的范围 i1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域 i2，i1和 i2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述精品资料结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数 f：ab 中，集合 b 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为 c，则c 是 b 的子集；若 cb， 那么该函数作为映射我们称为 “满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。精品资料例 1设f ( x) 是一次函数，且f f ( x)4 x3 ，求f ( x)解：设f ( x)axb(a0) ，则f f ( x)af ( x)ba(axb) ba2 xabba24abb3a 2a2或b 1b3f (x)2 x1或f ( x)2 x3二、配凑法：已知复合函数f g ( x) 的表达式， 求f (x) 的解析式，f g (x) 的表达式容易配成g( x) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f ( x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g( x)的值域。例 2已知f (x1 ) x21xx2( x0)，求f (x)的解析式解：f ( x1 )x( x1 ) 2x2 ， x12 xf ( x)x 22( x2)三、换元法：已知复合函数f g( x) 的表达式时，还可以用换元法求f (x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3已知 f (x1)x2x ， 求 f ( x1)解：令tx 1 ，则t1 ， x(t1) 2f (x1)x2xf (t )f (x)(t1) 2x 212(t1)(x1)t 21,f (x1)( x1) 21x22 x( x0)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 yx 2x与yg(x) 的图象关于点 (2,3) 对称，求 g( x) 的解析式解：设m ( x, y) 为 yg (x) 上任一点，且 m( x , y) 为m ( x, y)关于点(2,3) 的对称点xx则y2y 22 xx4，解得：，3 y6y点 m ( x , y) 在 yg ( x) 上yx 2xxx4把y6y代入得：6y(x4) 2(x4)整理得 yx 27 x6g( x)x27 x6五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约， 则可以对变量进行置换， 设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5设f (x)满足f (x)2 f ( 1 )xx, 求f (x)解f ( x)2 f ( 1 )xx显然 x0,将 x 换成1 ，得：x1f () x12 f ( x)x解 联立的方程组，得：f ( x)x233x例 6设f ( x) 为偶函数， g (x) 为奇函数，又f ( x)g( x)1, 试求 f x1(x)和g( x) 的解析式解f ( x) 为偶函数， g( x) 为奇函数，f (x)f ( x), g (x)g( x)又 f ( x)g(x)1 ，x1用x 替换 x 得： f (x)g (x)1x1即 f ( x)g( x)1x1解 联立的方程组，得f (x)1x 21 ，g (x)1x 2x六、赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7已知：f (0)1，对于任意实数 x、y，等式f ( xy)f ( x)y(2 xy 1) 恒成立，求f (x)解对于任意实数 x、y，等式f (xy)f ( x)y( 2xy1) 恒成立，不妨令 x0 ，则有 f (y)f (0)y(y1)1y( y1)y 2y1再令yx得函数解析式为：f (x)x 2x1七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设f (x)是 定 义 在 n上 的 函 数 ， 满 足f (1)1 ， 对 任 意 的 自 然 数a,b都 有f (a)f (b)f (ab)ab ，求f ( x)解f (a)f (b)f (ab)ab， a,bn，不妨令 ax, b1 ，得：f ( x)f (1)f ( x1)x ，又 f (1)1, 故f (x1)f ( x)x1