相似图形知识点与题型分析

相似图形的知识与题型知识点 1 ：比例线段的相关概念1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比ac精品资料相等，即（或 a : b=c: d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。bd注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式 比例线段是有顺序的，如果说a 是 b, c, d的第四比例项，那么应得比例式为：bd ca2. 比例中项：如果abb （或 b 2cac ），则 b 叫做 a、c 的比例中项。知识点 2：比例的性质基本性质： (1) a : bc: dadbc ；(2)a : cc : b2cab acbd反比性质（把比的前项、后项交换）：bdaca c合比性质：b dabcd bd发生同样和差变化比例仍成立。a ce等比性质：若b dfm(bdf nn0) ，则 acema .bdfnb注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如adbc ，除了可化为a: bc:d ，还可化为a: cb : d ， c : da : b ， b : da : c ，b: ad: c， c: ad :b， d : cb: a ， d: bc:a说明：比例的基本性质是比例变形的重要依据比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法，a c设k，那么 a kb ， c kd ， ad kbd bkd bcb d知识点 3 ：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边（即三角形中位线定理的逆定理） 。推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰（即梯形中位线定理的逆定理）。平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：(1) 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边延长线 )所得的对应线段成比例。(2) 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。定理： 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边。知识点 4 ：黄金分割点 c 把线段 ab 分成两条线段ac 和 bc（ acbc ），且 acabbc ，叫做把线段ab acac51黄金分割，点c 叫做线段ab 黄金分割点，ac 与 ab 的比叫做黄金比。0.618ab2注： 黄金三角形：顶角是36 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形。知识点 5 ：相似图形1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形。相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。注意：（ 1 ）相似三角形是相似多边形中的一种；（ 2 ）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（ 3 ）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（ 4 ）相似三角形的对应边之比叫做相似比。2、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两个三角形相似。判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似。三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定sassssaas （ asa）hl相 似 三 角 形的判定两边对应成比例夹角相等三 边 对 应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的 基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。3、相似三角形的性质定理：（ 1 ）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（ 2 ）相似三角形的周长比等于相似比；（ 3 ）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（ 4 ）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。4、相似三角形的等价关系(1) 反身性：对于任一abc 有abc abc (2) 对称性：若abc a bc，则a bc abc (3) 传递性：若abc a b c ，且a bc a b c，则abc a b c5、相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边。定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。6、直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。推论： 直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项。经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型平行线型（两种） ： de bc ，则ade abcaedadebcbc相交线型（四种） ：如图，已知 1= b ，则由公共角 a 得，ade abcaae1dceb1bcd如下左图，已知 1= b，则由公共角 a 得，adc acb ；如下右图，已知 b= d ，则由对顶角 1= 2 得，ade abcaedd2a11bccb旋转型：已知 bad= cae ，b= d，则ade abcaedbc母子型：已知 acb=90 ，ab cd ，则cbd abc acd cadb解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂图形中分解（构造）出上述基本图形。知识点 6：与位似图形有关的概念1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。（ 1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。（ 2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。（ 3）位似图形的对应边互相平行或共线。2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。关于相似的证明（一）证明比例式或等积式（三点定形法） ：1. 横向定型法欲证 abbcbebf，横向观察，比例式中的分子是ab 和 bc ，三个字母a 、b 、c 恰为abc 的顶点；分母是be 和 bf ，三个字母b、e 、f 恰为 bef 的三个顶点。因此只需证 abc ebf 2. 纵向定型法欲证 abdebcef，纵向观察，比例式左边的比ab 和 bc 中的三个字母a、b、c 恰为abc 的顶点； 右边的比是de 和 ef 中的三个字母d、e、f 恰为 def 的三个顶点因此只需证 abc def 3. 中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形。这种方法就是等量代换法。在证明比例式时，常用到中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 am , cbnda mcm ( m nnm为中间比 ),b nd , nnna mc,b ndm (mnm , nn 或 mm )nn（二）比例中项式的证明：比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解。（三）倒数式的证明：倒数式的证明， 往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。（四）复合式的证明：复合式的证明比较复杂。通常需要进行对线段进行等量代换、等比代换、等积代换， 将复合式转化为基本的比例式（或等积式），然后进行证明。（五）相似证明中常见辅助线的作法：1 、在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，再结合等量代换得到要证明的结论。2 、常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。如图： ad 平分bac 交 bc 于 d ，求证：bdab dcacea1 2 3a1 2bdcbdce证法一：过c 作 ce ad ，交 ba的延长线于e 1e ，23 12 ，3e acae ad ce ， bdbaba dcbeac点评：做平行线构造成比例线段，利用了“a ” 型图的基本模型。证法二：过b 作 ac 的平行线，交ad 的延长线于e 12e ，abbe be ac ， bdbeab dcacac点评：做平行线构造成比例线段，利用了“x ” 型图的基本模型。3、相似证明中常用的面积法基本模型如下：a1bcahbchds abcs acd2bc1 cdahcd 2图 1： “山字 ”型abhgc ods abcs bcd1bcah 21bc dg 2ahaodgod图 2： “田字 ”型aeds abds acebcs abds aeds aeds aceabadabad aeacaeac图 3 ： “燕尾 ”型4、相似证明中的基本模型aadeedad feae ifbcbcbgcbd h g cababaebaboofecdcdcfdcdaaadoebcbcdbcaedhedbcaeac abdcbcdbdcadbaaaadddgdegeeebcfbcfbc f bg cfagahdfdfgaad dfnfmpbecbe cbec bh ec相似三角形的几种基本图形归纳：(1) 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“ a 型”与“x 型”图）若 de bc （ a 型和 x 型）则 ade abcaeddeabcbc(2) 如图：其中 1= 2，则ade abc 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反a 共角型”、 “反a 共角共边型”、 “蝶型”）aae14ed2c21 dbbcd1eab2c(3) 如图：1= 2 ，b= d，则ade abc ，称为“旋转型”的相似三角形。ad21ebc(4) 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型也称射影定理型”、“三垂直型”）aaeebedac(d)bcbcd射影定理型：1 、如图，若cd 为 rt abc 斜边上的高（双直角图形）则 rtabc rt acd rt cbd 且 ac 2 =ad ab ， cd 2=ad bd ， bc 2 =bd ab ；2 、满足 1）ac 2=ad ab ，2 ）acd= b，3 ）acb= adc ，都可判定 adc acb cadb例题精讲（一）1、以长为 2 的线段 ab 为边作正方形abcd ，取 ab 的中点 p ，连接 pd ，在 ba 的延长线上取点f，使 pf pd ，以 af 为边作正方形amef ，点 m 在 ad 上，如图所示，（ 1 ）求 am 、dm 的长，（ 2 ）试说明 am 2=ad dm（ 3 ）根据（ 2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？解：（1 ）因为正方形abcd 的边长是2 ， p 是 ab 中点， 所以 ad ab 2， ap 1 ，bad 90，所以 pd ap 2ad 25因为 pf pd ，所以 af 51 ，在正方形abcd 中， am af 51 ， md ad am 35（ 2 ）由（ 1 ）得 ad dm 2 （3 5 ） 6 25 ，am 2(51) 2625 ，所以 am 2=ad dm（ 3 ）如图中的m 点是线段ad 的黄金分割点。2、已知：如图5 126(a) ，在梯形abcd 中， ad bc ，对角线交于o 点，过 o 作 ef bc ，分别交 ab ， dc 于 e ， f.11求证： (1)oe=of ； (2) adbc2ef ；(3) 若 mn 为梯形中位线，求证af mc.分析：(1) 利用比例证明两线段相等的方法。1(2) 证明 ad12bcefc c11时，可将其转化为“ ab11c ”类型：再化为ab，直接求出各比值，或用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；直接通分或移项，转化为证明四条线段成比例。(3) 可用分析法证明第(3) 题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题。延长 ba ，cd 交于 s， af mc af mc 成立.(4) 用运动的观点将问题进行推广：若直线 ef 平行移动后不过点o ，分别交ab 、bd 、ac 、cd 于 e 、o 1、o2 、f，如图 5 126(b) ，o 1f 与 o2 f 是否相等 ?为什么 ?3 、已知：如图5 127 ，在abc 中， ab=ac ，d 为 bc 中点， de ac 于 e，f 为 de 中点， be 交 ad 于 n， af 交 be 于 m.求证： af be.分析： (1) 分解基本图形探求解题思路。(2) 总结利用相似三角形的性质来证明两角相等，进一步证明两直线位置关系（平行、垂直等）的方法，利用ade dce，ad得到 dcdecf ；结合中点定义得到addfbcce；结合3= c；从而得到 bec afd ，因此1= 2.进一步可得到af be.(3) 总结证明四条线段成比例的常用方法：比例的定义；平行线分线段成比例定理；三角形相似的预备定理；直接利用相似三角形的性质；利用中间比等量代换；利用面积关系。4 、已知：如图， abc 中， ab ac ，bd ac 于 d 求证： bc 2 2cd ac 分析： 欲证bc 2 2cd ac ，只需证bc 2cdac 但因为结论中有“ 2 ”， 无法直接找到bc它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似。由“2 ”所放的位置不同，证法也不同aed证法一 （构造 2cd ）：如图，在ac 截取 de dc ，bcbd ac 于 d ，bd 是线段 ce 的垂直平分线，bc=be ，c= bec ，又ab ac ， c= abc bec= abc bce acb bcac ， bcaccebc2cdbcbc 2 2cd ac ead证法二 （构造 2ac ）： 在 ca 的延长线上截取ae ac ，连结 be ， bc ab ac ， ab ac=ae ebc=90 ，又 bd ac ebc= bdc= edb=90 ，e= dbc ，ebc bdcbcce 即bc2 ac，bc 2 2cd ac cdbccdbca证法三 （构造1 bc ）： 取 bc 中点 e ，连结 ae ，则 ec=2d1 bc bec2又ab=ac ，ae bc ，ace= caec= bdc=90 ace bcd 1 bcceaccdbc即 2ac cdbcbc2 2cd ac a证法四 （构造1 bc ）：取 bc 中点 e，连结 de ，则 ce=2d1 bc bec2bd ac ，be=ec=eb，edc= c又ab=ac ，abc= c，abc edc bcbcac， 即cdeccdac1 bc2bc22cd ac 说明： 此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧。在解题中方法要灵活，思路要开阔。例题精讲（二）一、证明三角形相似例 1 、如图：点g 在平行四边形abcd 的边 dc 的延长线上 ,ag 交 bc 、bd 于点 e、f，则agd 。ad4 2 f3be1cg分析：关键在找“角相等”， 除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角 g 外,由 bc ad可得1= 2，所以agd egc 。再1= 3（对顶角），由 ab dg 可得4= g ，所以 egc eab 。例 2 、已知abc 中， ab=ac ，a=36 ，bd 是角平分线，求证： abc bcd分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然c 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：a=36 ，abc 是等腰三角形， abc= c=72 又 bd 平分abc ，则dbc=36 在abc 和bcd 中，c 为公共角， a= dbc=36 abc bcdadbc （ 例 2 图）（例 3 图）例 3 、已知，如图，d 为abc 内一点连结ed 、ad ，以 bc 为边在abc 外作cbe= abd ，bce= bad求证：dbe abc分析：由已知条件 abd= cbe ，dbc 公用。所以 dbe= abc ，要证的 dbe 和abc ，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到cbe abd ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在 cbe 和abd 中，cbe= abd,bce= badcbe abdbc = be 即： bc = ababbdbebddbe 和abc 中，cbe= abd,dbc 公用cbe+ dbc= abd+ dbcdbe= abc 且 bcbe= ab bd dbe abc例 4 、矩形 abcd中， bc=3ab ， e、f，是 bc 边的三等分点，连结ae 、af 、ac ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。a db efc分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（ 1 ）如图：称为“平行线型”的相似三角形aedaadebcbcbcde（ 2 ）如图：其中 1= 2，则ade abc 称为“相交线型”的相似三角形。aae14ed2c21 d bbcd1eab2cd（ 2）ba21ec （ 3）（ 3 ）如图： 1= 2 ，b= d，则ade abc ，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及eaf与eca解：设 ab=a ，则 be=ef=fc=3a，由勾股定理可求得ae=2a ，在eaf 与eca 中，aef 为公共角，且aeecefae二、证明比例式和乘积式2 ，所以eaf eca例 5 、abc中，在ac上截取ad ，在cb延长线上截取be ，使ad=be ，求证：dfac=bcfeadfebkc分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及df ： fe=bc ： ac ，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过d 点作 dk ab ，交 bc 于 k，dk ab，df ： fe=bk ： be， 又ad=be ， df ：fe=bk ： ad，而由 dkab ，得 bk ：kc=ad ：dc ，bk ：bc=ad ：ac，bk ：ad=bc ：ac因此 df ：fe= bc ： ac ， dfac=bcfe例 6 ：已知：如图，在 abc 中，bac=90 0 ，m 是 bc 的中点， dm bc 于点 e ，交 ba的延长线于点d 。da1e求证：（ 1）ma 2 =mdme ；（ 2 ）2ae 2mebmcad 2md证明：（ 1）bac=90 0， m 是 bc 的中点， ma=mc ，1= c，dm bc ，c= d=90 0 -b ，1= d，2= 2，mae mda ，mamdme ，ma 2=mdme ，ma（ 2 ）mae mda ，aeadma ， ae mdadme ae 2maad 2mamememdmamd评注：命题1如图，如果 1= 2 ，那么abd acb ， ab 2=adac 。命题 2如图，如果ab 2 =adac ，那么abd acb ，1= 2。例 7 ：如图abc 中， ad 为中线， cf 为任一直线，cf 交 ad 于 e， 交 ab 于 f，求证： ae ： ed=2af ： fb。分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑 作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“ae ：ed ”的特征，作 dg ba 交 cf 于 g，得aef deg ，则aeafdedg。与结论aeed2af fbaf相比较，显然问题转化为证1bfdg1 fb22证明：过d 点作 dg ab 交 fc 于 g ，则aef deg ，得aeafdedgd 为 bc 的中点，且dg bf（ 1 ）g 为 fc 的中点，dg 为cbf 的中位线，dg1 bf2（ 2 ）将（ 2）代入（ 1 ）得： aedeaf2af1 bffb2三、证明两角相等、两线平行和线段相等。例 8 ：已知：如图e 、f 分别是正方形abcd 的边 ab 和 ad 上的点，afdge且 ebafabad1 。求证：aef= fbdbc3分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形。证明：作 fg bd ，垂足为 g 。设 ab=ad=3k ，则 be=af=k ，ae=df=2k ，bd= 32kadb=45 ， fgd=90 ， dfg=45 ， dg =fg =df2k 2bg= 3 2k2k22k ， afaefg1bg2又a= fgb=90 ， aef gbfaef= fbd例 9 、在平行四边形abcd内， ar 、 br 、cp 、dp 各为四角的平分线，求证： sq ab ，rp bcdcrsqpab