勾股定理试题分类

数学八年级下册第十七章勾股定理【题型一】勾股定理的验证与证明1. 如图，每个小正方形的边长是1 ，图中三个正方形的面积分别是s 1、s2 、s 3 ，则它们的面积关系是，直角abc 的三边的关系a是.s3s1bc参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出s2s 1+s 2 s3，从而得到： ab 2+bc 2 ac 2.2. 如图，每个小正方形的边长是1 ，图中三个正方形的面积分别是s 1、s2 、s 3 ，则它们的面积关系是，直角abc 的三边的关系as3是.s1参考答案：对于s3 显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相bc加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出s2s 1+s 2 s3，从而得到： ab 2+bc 2 ac 2.dc3. 如图，是由四个全等的rt 拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？参考答案：由s 大正方形 4s rt +s 小正方形 ，得1c24 2ab+(b a)2baa2+b2c2.cab4. 如图，是由四个全等的rt 拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？dc参考答案：由s 大正方形 4s rt +s 小正方形 ，得1(a+b) 2 4 2a2+b2 c2.ab+c2acb-可编辑修改 -ab5. 如图，已知 ab 90且aed bce ，a 、e 、b 在同一直线上.根据此图证明勾股定理.c参考答案： 先证明dce 是等腰直角三角形，再根据梯形面积为三个三角形面积之和得11(a+b) 2222ab+1 dc2,2 aca2+b2c2.abeb6. 如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法.参考答案：方法类似第5 题.fcfcdgdgacbaebaeb7. （ 2011 温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”， 后人称其为“赵爽弦图”（ 如图 11 ） .图 1 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成. 记图 1 2 中正方形abcd ， 正方形 efgh ，正方形mnkt的面积分别为s 1， s 2， s 3 ，若 s 1+s 2+s 3=10 ，则 s2 的值是.10参考答案：38. （ 2010湖北孝感）问题情境 ccbaac-可编辑修改 -bba图 1图2勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系 ”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次 “谈话 ”的语言。定理表述 请你根据图1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b 为底，以a+b 为高的直角梯形（如图2 ），请你利用图 2 ，验证勾股定理；知识拓展 ab利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明c2 .其证明步骤如下：bcab, ad =.又在直角梯形 abcd中有 bcad （填大小关系） ，即，abc2.参考答案： 定理表述 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2b2尝试证明 rtabe rtecd ,aebedc ,又edcdec90 ,aebdec90aed90 .s梯形 abcdsrt abesrt decsrt aed ,1 (ab)(a22b)1 ab 21 ab1 c2 .22整理，得ab2c .2c 2 ,-可编辑修改 -知识拓展 ad2c, rcad, ab2c【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论1. 如图，根据所标数据，确定正方形的面积a， b， c.169ab9251c941参考答案： 10， 144 ，1600.2. 如图，直线l 上有三个正方形a、b、c 若 a 和 c 的面积分别为5 和 11 ，则 b 的面积为多少？参考答案：先证两直角三角形全等，得fe bc ，从而得正方形b 的面积为16.edbcalabcf3. 如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探究s a、s b 和fs c 之间的关系 .参考答案：显然sbce 又 a2+b 2c2sa +s b s c.3a2 ， s acd 4bc3 3eab2 ， s abf c24 4bcad4. 如图，以直角三角形的三边向形外作等腰直角三角形， 之间的关系 .beafccba探究 sa 、sb 和 s cd参考答案：类似上一题.5. 如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究sa、 sb 和 sc 之间的关系 .cabbc参考答案：类似上一题.a6. 如图，已知 abc 中，acb 90 ，以abc 的各边为长边向形外作cs1s2矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积s1 、s 2、s3 之间有什么ab关系，并证明你的结论.s3参考答案：类似上一题.7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，cd其中最大的正方形边长为7cm ，则正方形a、b 、c 、d 的面积之和为bf多少？ae7cm参考答案： 49cm 2.8. 如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三 个正方形的面积分别是a、b、c，正放置的四个正方形的面积 依 次 是s 1、 s 2 、 s 3， 则s 1 s2 s 3s 4 =.参考答案： a+c【题型三】利用勾股定理求边长和进行论证【选择题】1. 在 rt abc 中，c 90 ，a 12 ， b16 ，则 c 的长为（）a.26b.18c.20d.21参考答案： c2. 在平面直角坐标系中，已知点p 的坐标是 (3,4) ，则 op 的长为（）a.3b.4c.5d.7参考答案： c3. 在 rt abc 中，c 90 ，b 45 ,c 10 ，则 a 的长为（）a.5b.10c. 52d.5参考答案： c4. 等边三角形的边长为2 ，则该三角形的面积为（）a. 43b.3c. 23d.3参考答案： b5. 若等腰三角形的腰长为10，底边长为12 ，则底边上的高为（）a.6b.7c.8d.9参考答案： c6. 若一个三角形的三边长为3、4 、x，则使此三角形是直角三角形的x 的值是（）a.5b. 6c.7d.5 或7参考答案： d7. 下列各组数中以a， b， c 为边的三角形不是rt 的是（）a.a=2 ， b=3,c=4b.a=7,b=24,c=25c.a=6,b=8,c=10d.a=3,b=4,c=5参考答案： a8. 要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（） .a.10m参考答案： cb.11mc.12md.13m9. 现有两根木棒,长度分别为44 和 55 .若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（） .a.22 b.33 c.44 d.55 参考答案： b10 一个直角三角形，有两边长分别为6 和 8，下列说法正确的是（）a.第三边一定为10b. 三角形的周长为25c.三角形的面积为48d.第三边可能为10参考答案： d11 直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为34 ，那么这个直角三角形的周长为（）a . 27cmb. 30cmc.40cmd. 48cm参考答案： d北12 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）a东a直角三角形b锐角三角形c钝角三角形d不能确定参考答案： a南13 已知，如图，一轮船以16 海里 /时的速度从港口a 出发向东北方向ad航行， 另一轮船以12 海里/ 时的速度同时从港口a 出发向东南方向航行，离开港口2 小时后，则两船相距（）bcea 25 海里b.30 海里c.35 海里d.40 海里参考答案： d14. （ 2010 山东临沂）如图，abc 和dce 都是边长为4 的等边三角形，点b 、 c 、 e 在同一条直线上，连接bd ，则 bd 的长为（）ca.3b. 23c. 33d. 43d参考答案： daeb15. （ 2010广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边ac6cm 、bc 8 cm ，现将abc 折叠，使点b 与点 a 重合，折痕为de ，则 be 的长c为（）baa.4 cmb.5 cmc.6 cmd.10 cm参考答案： bcab16. （ 2010 广西南宁）图中，每个小正方形的边长为1 ，abc 的三边a, b, c 的大小关系式（）a. acbb. abcc. cabd. cba参考答案： c17. （ 2011 山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构o-可编辑修改 -成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和 8m. 按照输油中心o 到三条支路的距离相等来连接管道，则o到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心o 为点）是（）a2mb.3mc.6md.9m参考答案： c18. （ 2011湖北黄石）将一个有45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三-可编辑修改 -角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 度角， 如图， 则三角板的最大边的长为（）a.3cmb.6cmc.32 cmd. 62 cm参考答案： da19.（ 2011贵州贵阳）如图， abc中，c=90 ，ac=3 ，b=30 ，点p是 bc 边上的动点，则ap 长不可能是（）ca.3.5b.4.2c.5.8d.7参考答案： d20.直角三角形三边的长分别为3、4 、x，则 x 可能取的值有（） .a. 1 个b. 2个c. 3 个d.无数多个参考答案： b斜边可以为4 或 x, 故两个答案 .21 如果 rt 两直角边的比为5 12，则斜边上的高与斜边的比为（）a.60 13b.5 12c.12 13d.60 169参考答案： d22 直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（）a.121b.120c.132d. 以上答案都不对参考答案： c【填空题】3030pb1. 已知直角三角形两边的长为3 和 4，则此三角形的周长为 参考答案： 12 或 77提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5 或7 ， 所以直角三角形的周长为3 4 5 12 或 3 47 7 7 .2. 直角三角形两直角边长分别为3 和 4，则它斜边上的高为 .12参考答案：53. 直角三角形两直角边长分别为5 和 12 ，则它斜边上的高为 6022参考答案：，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1312516913 ，再利用面1积法得，25121132x, x60 ；134. 如图，学校有一长方形花圃，长4m ，宽 3m 。，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条“路”， 他们仅仅少了步路（ 2 步为 lm ），却踩伤了花草.参考答案： 4.5. 图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若ac=6bc=5 ，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍， 得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图 2 实线部分）是.参考答案： 76.6. 如图，将一根长24 cm 的筷子，置于底面直径为5 cm ，高为12 cm 的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯外的长度为h cm ，则 h 的取值范围是.参考答案： 11 h12.7. 在 rt abc 中, c=90 ,ab=15,bc:ac=3:4,则 bc= .参考答案： 9.adebc8. 已知：如图，在 rt abc 中，b=90 ，d、e 分别是边 ab 、ac 的中点，de=4 ，ac=10 ，则 ab= .参考答案： 6.9. 已知两条线段的长为9cm 和 12cm, 当第三条线段的长为cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.参考答案： 15 或 37 .10. 在 rt abc 中，c=90 ，（ 1 ）若 a=5 ，b=12 ，则 c=；（ 2 ）b=8 ，c=17，则 s abc =.参考答案： 1360ef11 （2010 辽宁丹东市）已知 abc 是边长为1 的等腰直角三角形，以rt abcdca的斜边 ac 为直角边，画第二个等腰rt acd ，再以 rt acd 的斜边 ad 为直角b边，画第三个等腰rt ade ，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是参考答案：(2 ) n12. （2010浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣 l955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知acb=90 ，bac=30 ，ab=4 作pqr 使得r=90 ，点h 在边 qr 上，点 d，e 在边 pr 上，点 g，f 在边 _pq 上，那么pqr 的周长等于参考答案：27 +133 .13. （ 2010 湖北鄂州）如图，四边形abcd 中， ab=ac=ad， e 是 cb 的中点，ae=ec，bac =3 dbc ， bd= 6266 ，则 ab=g参考答案： 1214. （ 2010 河南）如图， rt abc 中，c=90 , abc=30 ，ab=6. 点 d 在 ab 边上，点 e 是 bc 边上一点（不与点 b 、c 重合），且 da=de ，则 ad 的取值范围是.参考答案： 2 ad 1 ），那么它的斜边长是（）a.2nb.n+1c.n 2 1d.n 2+1参考答案： d【填空题】1. 若一个三角形的三边满足c2a 2b2，则这个三角形是.参考答案：直角三角形.2. abc 的三边分别是7、24 、25 ，则三角形的最大内角的度数是.参考答案： 90 .3. 三边为 9、12 、15 的三角形，其面积为.参考答案： 54.4. 已知三角形abc 的三边长为a,b, c 满足 ab10,ab18 ， c8 ，则此三角形为三角形 .参考答案：直角三角形.5. 在三角形abc 中， ab=12 cm ， ac=5 cm ， bc=13 cm ，则 bc 边上的高为ad=cm .60参考答案：136. 已知两条线段的长为5cm 和 12cm, 当第三条线段的长为cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形 .参考答案： 13cm 或119【解答题】1. 如图， 已知四边形abcd 中，b=90 ，ab=3 ，bc=4 ，cd=12 ，ad=13 ，求四边形abcd 的面积 .参考答案： 36（连接 ac ）2. 如图， e 、f 分别是正方形abcd中 bc 和 cd 边上的点，且ab=4 ， ce=1bc ， f 为 cd 的中点，连4接 af、ae ，问aef 是什么三角形？请说明理由.参考答案：由勾股定理得ae 2=25 ， ef 2=5 ，af2 =20 ，ae2 = ef2 +af 2，aef 是直角三角形3. 在abc 中， bc=m 2-n 2 ， ac=2mn ，ab=m 2+n 2(m n).求证：abc 是直角三角形.参考答案：证(m 2 n 2) 2+(2mn) 2(m 2+n 2 )24. 张老师在一次“探究性学习”课中设计了如下的数表： n2345a22 - 132 - 142 - 152 - 1b46810c22 + 132 + 142 + 152 + 1a dfb ec请你分别观察abc 与 n 之间的关系，并用含自然数n（ n1 ）的式子表示：a=, b=, c=.猜想：以a、b、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。参考答案：n 2 -1,2n,n 2 +1猜想：以abc 为边的三角形为直角三角形。证明略5. 观察下列勾股数：第一组： 3=2 1 1，4=2 1 （1+1 ），5=2 1 （1+1 ） +1 ；第二组： 5=2 2 1，12=2 2 （2+1 ），13=2 2 （2+1 ） +1 ； 第三组： 7=2 3 1，24=2 3 （3+1 ），25=2 3 （3+1 ） +1 ；第三组： 9=2 4 1，40=2 4 （4+1 ），41=2 4 （4+1 ） +1 ；观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的a,b,c 各应是多少吗？第n 组呢？参考答案：第七组，a27115, b27(71)112,c1121113.第 n 组， a2n1, b2n