清华大学物理实验A1三线摆和扭摆实验报告

.清华大学三线摆和扭摆试验物理实验完整报告班级姓名学号结稿日期：;.三线摆和扭摆实验一、实验目的1. 加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解；2. 了解用三线摆和扭摆测量转动惯量的原理和方法；3. 学习电子天平、 游标高度尺和多功能数字测量仪等仪器的使用，掌握测量质量和周期等量的测量方法。二、实验装置和原理1. 三线摆：如图一，上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。横梁由立柱和底座支承着，三根对称分布的等长悬线将两个圆盘相连。上圆盘可以固定不动。拧动旋钮就可以使得下圆盘绕中心轴 oo作扭摆运动。当下圆盘的摆角很小且忽略空气阻力和悬线扭力影响时，可推出下圆盘绕中心轴oo 的转动惯量为：jm0 grr t 2042 h0其中，m0 是下圆盘质量，g 取 9.80 m s2 ， r 为上圆盘半径，r 为下圆盘半径，h 为平衡时上下圆盘的垂直距离，t0 为下圆盘摆动周期。图 1 三线摆示意图将质量为 m的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴oo上，测出此时的摆动周期t 和上下圆盘之间的垂直距离h 1 ，则待测刚体和下圆盘对于中心轴oo的总转动惯量j1 为：m0mgrr2j12t4h1且待测刚体对于中心轴oo的转动惯量jj1j0 。利用三线摆可以验证平行轴定理。平行轴定理指出： 如果一个刚体对于通过质心的某一转轴的转动惯量为jc ，则这个刚体对平行于该轴且相距为d 的另一转轴的转动惯量为：式中， m 为刚体的质量。j xj cmd 2图 2 三个孔均匀分布c在本实验中，将三个等大的钢球对称分布在下圆盘的三个均匀分布的孔（如图2）上，测出三个球对于中心轴oo的转动惯量j x 。如果测得的jx 的值与由 j xjmd 2 右式计算得到的结果比较相对误差在测量允许的范围内5 0 0，则平行轴定理得到验证。本实验中， 用于测量基本物理量的仪器还有：电子天平， 游标高度尺， 配有光电接收装置的多功能数字测量仪。2. 扭摆：实验中使用的扭摆结构如右图（图3），根据刚体转动定理有：mj0其中， m 是悬线因扭转产生的弹性恢复力矩，角加速度。弹性恢复力矩m 与转角的关系为：mkj0 为刚体对于悬线轴的转动惯量，为图 3三爪盘扭摆其中， k 为扭转模量，它与悬线长度l，悬线直径d 及悬线材料的切变模量g 有如下关系：扭摆运动的微分方程为：4kgd32lkj0可见，圆盘作简谐运动，其周期为：0t2j0 k本实验中k 未知，所以用一个对质心轴转动惯量为j1 的附加物体加到盘上，并使其质心位于扭摆悬线上，组成复合体。此复合体对于悬线轴的转动惯量为j1j0，复合体的摆动周期 t 为：因此得到：t2j1j0 k2t0ttj022 j102221k4j tt0测出 t0 和t后就可以计算盘的转动惯量j 0 和悬线的切变模量g。本实验中利用两个直径不同的金属环，将其嵌套在三爪盘的台阶上。圆环对与悬线的转动惯量j1 由下式计算：式中 m1 是圆环质量，m1228jdd112d1和d 2 分别为圆环的内外直径。三、数据记录1、测量仪器基本参数（1） 三线摆基本参数：r物理量测量或给出值不确定度相对不确定度上圆盘半径rrmm14.620.02r0.0231.36798905610r14.62下圆盘半径0r mm34.190.02r0.025.849663644 10 4r34.19下圆盘质量m0 ( g )上圆盘高度75.10523.32m0.05m00.056.657789614 10 4m075.10h 1 mm下圆盘高度86.80h 2 mm上下圆盘之hh 1h 2h20.02h0.028284271256.479490344 10 5间的垂直距离 h ( mm)523.32mm436.52mm86.80mm0.02828427125h436.52（2） 钢球参数：直径：123456平均30.0029.9829.9429.9429.9629.9829.8766666719.7619.7219.7219.7219.7619.7419.73666667次数大球直径 d1mm小球直径 d2mm质量：大球质量 m1g110.69小球质量mg123平均231.8631.8431.8531.852. 三线摆实验（1） 估算周期数n0取n=6 ， 粗 略 测 量 t0。 测 得6 t0=8.2980s ， 所 以 t0=1.3830s 。 又 由 公 式2t02t仪1r ,r ,0 ,h得， n2t仪。mt0nt03rrm0hmaxt0r ,r ,m0 ,h3rrm0hmax又由比较得，r ,r ,0 ,hr ，且10ms，所以代入数据可以求得，tmrrmhr仪0maxn31.71366595，故取 n032 。（2） 三线摆周期测量：空摆n032 ， h 0h523.32mm86.80mm436.52mm ， m075.10g次数123456平均t01.457109375 sn0t0/ s46.87046.38546.63046.54746.93646.39746.6275加大球n032 ，h 1523.32 mm85.78mm437.54mm ， m 1110.69 g次数123456平均t11.026817708 sn0t1/ s32.84032.82932.82832.56233.04533.04532.85816667对称加三个小球n032 ， h 2523.32 mm85.90mm437.42mm ， m 231.85g每个小球到中心轴oo距离为r121.91mm次数123456平均t21.387734375 sn0t2 /s44.40544.41044.31244.43544.38244.50144.40753. 扭摆实验（1） 钢丝参数测量：直径次数123456平均钢丝直径dmm0.5100.5090.5120.5080.5060.508d0.508833333 mm零点测量前测量后d0-0.005333333mmd0mm-0.005-0.006-0.006-0.004-0.006-0.005钢丝直径为ddd00.508833333mm-0.005333333mm0.514166666mm钢丝长度钢丝上端高度：l1519.02mm ；钢丝下端高度：l 2195.50 mm ；钢丝长度为：ll1l2519.02 mm195.50mm323.52 mm（2） 大环和小环参数测量：质量：大环质量m199.50 g ，小环质量m260.32 g 。内外径：内径（ mm ）平均外径 (mm)平均大环72.2072.2072.20小环63.9863.9463.96d1内72.20mm83.9883.9883.98d1外83.98mmd2内63.96mm71.5871.5671.54d2外71.56mm（3） 扭摆周期测量：n20空摆钢丝直径 d0.514166666mm钢丝长度 l323.52 mm次数123456平均t01.021475 snt0 /s21.07620.30520.30920.29120.30620.29020.4295加大环次数123456平均t12.116391667 snt1/ s42.33742.31642.32142.33242.32842.33342.32783333加小环次数123456平均t21.611133333 snt2/ s32.21932.25332.22832.18632.19832.25232.22266667四、数据处理1. 用三线摆测定下圆盘对于中心轴oo 的转动惯量：2t02t仪1rrm0h由t0nt0,3 rrm0hmax， 可 知t3t仪1010s0n323.12510 4 s下圆盘对于中心轴oo的转动惯量jm0 grr t 2042 h0-3-3-375.10109.8034.191014.62101.457109375 242436.5210-34.53244880910 5kg m2相对不确定度：2jm22222t00+r+r+0+hj0m0rrt0h20.0520.0220.02223.12510 420.02828427125+75.1034.1914.621.457109375436.521.686719264 10 31.710 3jj0jj 0001.686719264 10-34.532448809 10 57.644968721 10 8kg m2810 8kg m2j045328108 kgm2大钢球和下圆盘对于质心轴的转动惯量：m0m 1hj1241grr2t175.10110.6910-39.8034.1910 -314.6210-3242437.5410-31.0268177085.55525608910 5kg m2相对不确定度：222222tj 1m0 m1+r+r+1+h1j1m0m 1rrt1h12224220.05+0.02+0.02+23.12510+0.0282842712575.10110.6934.1914.621.026817708437.541.63115663910 3jj 1jj1111.631156639 10 35.555256089 10 59.061492851 10 8kg m2110 7kg m2j15561107 kg m252. 大钢球对其自身中心轴的转动惯量j大 为：j大j1j05.555256089 104.532448809 10 51.02280728 10 5kg m222j大j1+j07.644968721 10 822+9.061492851 10 8772=1.185563998101.210kg m72j大102.31.210kg m大钢球对其自身中心轴的转动惯量的理论值221j2 md12110.6910 329.8766666710 39.880357774 10 6kg m2大t5252则测得的大钢球对其自身中心轴的转动惯量与计算得的理论值的相对误差为：j大j大t1.02280728 10 59.880357774 10 6163.5192554150 0 =3.6%5 0 0j大t9.880357774 103. 用三线摆验证平行轴定理：三个小钢球和下圆盘对于中心轴oo的转动惯量为：m03m 2hj2242grr2t275.10331.8510-39.8034.1910-314.6210-3242437.4210-31.3877343759.32251650810 5kg m2相对不确定度：2jm3m22222th202j2m0m 2rr222rrt2h 20.05220.0220.0223.12510 420.0282842712575.10331.8534.1914.621.387734375437.421.58317571910 3jj2jj 2221.583175719 10 39.322516508 10 51.475918178 10 71.510 7kg m22j932.21.510 7 kg m25三个小钢球对于中心轴oo的转动惯量为：22j小j2j09.322516508 104.532448809 10 54.790067699 10 5kg m222j小j 2+j01.475918178 10 7+7.644968721 10 8=1.66216423210 71.710 7kg m272j小479.01.710kg m则其中一个小球对于中心轴oo的转动惯量为：j小j小054.790067699101.59668923310 5kg m2j小033j=1.662164232 10 7小1.710 7kg m2j小 0（159.71.7） 107 kg m2而小球相对于过自身的轴的转动惯量为：22c2j2 md2231.8510 319.7366666710 31.240672196 10 62525221而 mr231.8510-321.9110 -31.52895319910 5kg m2，所以，假设平行轴定理成立，一个小球对于中心轴oo 的转动惯量的理论值为：jmr21.240672196 10 61.528953199 10 51.653020418 10 5kg m2c21则一个小球对于中心轴oo的转动惯量的测量相对误差为：jmr2j1.653020418 10 51.596689233 10 5c21小02jmr21.653020418 10 53.40777309100 5 0 0c21在测量误差允许范围内。因此通过实验验证得出结论：平行轴定理成立。4. 用扭摆测定三爪盘的转动惯量和切变模量：2jt0jt0t 221由0知，jm1d 2d 21812（1） 加大环时，大环对悬线的转动惯量为：ddjm122181内1外99.501032272.2010 3883.9810 31.52551912510 4kg m2j1m1j1m1222rrrr0.05220.0220.0275.10331.8534.1914.621.51638621710 3jj 1jj1111.516386217 10 31.525519125 10 42.313276175 10 72.310 7kg m2j1 （1525.52.3） 105 kg m2则测出的三爪盘的转动惯量为：2jt0j1.02147521.525519125 10 4201t 2t12.11639166721.0214752104.632949732 10 5kg m2t 2t 22.116391667 21.02147523.43570251310t 2 t 2222t2t10t 2t 21t1t 2t 20t0t 2t 2101010t 2 t 2222210tt2t2tt 2 t 2t 2t 2101t10t010102222.1163916673.12510 421.0214753.12510 41.468758330610 31.510 3s2222j2tt12 t02j0101jtt 2t 2j010101223.12510 421.4687583306 10 322.313276175 10 71.0214753.4357025131.525519125 10 431.690134704 10 3j 01 =j 01j01j 01=1.690134704 104.632949732 105 =7.83030912410 8kg m201j4632.97.810 8 kg m2又因为 k4222j1tt0gd 4，所以切变模量32l128lg1224 j1t1t0d128323.5210 31.52551912510 42.116391667 21.021475240.51416666610 38.2650866441010kg m 1 s 22222gjt 2 t 21 g110ldgg1g1jt2t 2ld1111022.31327617510 71.468758330610 3()220.02828427125210 51.52551912510 48.26508664410102.1163916627 1.02147250.323520.0005141666660.0895788.26508664410108 1091g(82.7 8) 109kg m 1 s 2（2） 加小环时，小环对悬线的转动惯量为：ddjm122282内2外60.3210 33 23 263.961071.5610856.945633261102kg m则测出的三爪盘的转动惯量为：2jt0j1.02147526.945633261 10 54.668535228 10 5kg m2t02t 2221.61113333321.02147522042gd 4又因为 kj122tt0，所以切变模量32l128lg2224 j2t2t0d128323.5210 346.94563326110 51.611133333 21.021475 20.51416666610 38.3285704331010kg m 1 s 2在本实验中，约定小环测出的值作为理论值，以此计算大环测出的值的相对误差。三爪盘的转动惯量的相对误差为：j02 -j 014.668535228 10 54.632949732 10 50.76224113690 0 50 03j 024.668535228 10 5悬线的切变模量的相对误差为：g2g18.328570433 108.265086644 100.76250352505 0101041000g28.328570433 10因此，本实验方法及测量值是合理的。四、思考题1. 三线摆在摆动过程中受空气阻尼，振幅会越来越小，周期是否会随时间变化？答：振幅反映出谐振的强度，周期反映的是谐振的频率，这是两个意义不同的物理量。阻尼振动的周期t2，阻尼系数 是常数，所以周期不随时间而变化。2202. 在三线摆下圆盘上加上待测物体后的摆动周期是否一定比不加时的周期大？m0 grr2m0mgrr2tm0j0j答：不一定。 由 j04 2 ht0 和 j0j42ht可知，。t0m0m j0j而由于0j 1， m01 ，故无法得出t大于 1 还是小于1.所以在三线摆下圆盘上加j0m0mt0上待测物