传递函数矩阵的状态空间最小实现

传递函数矩阵最小实现方法降阶法人们在设计复杂系统时， 总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。给定严格真传精品资料递函数矩阵g( s) ，为寻找一个维数最小的（a,b,c ）,使c( sia)1 bg( s) ，则称该（ a,b,c ）是g( s) 的最小实现，也称为不可约实现。最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：（1）（ a,b,c ）为严格真传递函数矩阵g(s) 的最小实现的充要条件是（a,b）能控且（ a,c）能观测。（2） 严格真传递函数矩阵g(s) 的任意两个最小实现 （ a,b,c ）与 ( a, b,c)之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵t 使得式子at 1 at , bt1 b, cct 成立。（3） 传递函数矩阵g(s) 的最小实现的维数为g( s)的次数 n，或g( s) 的极点多项式的最高次数。为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。求最小实现的方法有三种：1、降阶法。根据给定的传递函数矩阵g (s) ，第一步先写出满足g(s) 的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足g(s) 的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。2、直接求取约当型最小实现的方法。若g( s) 诸元容易分解为部分分式形式， 运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。3 用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。先求能控型再求能观测子系统的方法设（pq）传递函数矩阵g(s)， 且 pq 时，优先采用本法。取出g( s) 的第 j 列，记为gj ( s) ，是 u j 至y(s) 的传递函数矩阵，有p1 j (s)pqj ( s)tg ( s) = g(s).g(s)t = j1 jqjq(s)q(s)1 jqj记d j (s) 为q1 j (s) ,qqj ( s) 的最小公倍式，则g (s) =1 n( s)n(s)tjd j (s)1 jqjj设d (s) = snja j ,nn j 1js1a j ,1sa j ,0n (s)nj1n j2则ijij , nj 1sij ,n j2sij ,1sij ,0， i1,.q在此 d j (s) 是 q 个子系统传递函数的公共部分，由单输入 -多输出系统的实现可知，能用能控规范型的aj 、b j 实现d j (s) ，由 nij (s) 的诸系数确定c j ，这时 gj (s)的实现为0a0jbi n1jjaaa0j ,0j ,0j ,nj1n jnjn11j1 j ,01j ,11 j ,nj 1cjqj ,0qj ,1qj,nj 1q nj令 j1,p ，便可得gj ( s) 的实现为a1a2an nb1b2bn papbpcq nc1c2cpp当 pq 时，显见 a、b、c 的维数均较小，且有n jj 1n 。上述实现一定能控，但不一点能观测，需要找出能观测部分，为此需要判别（a,c）的能观测行。若（ a,c）能观测，则（ a,b,c ）为最小实现；若rankq 0rankc cacan 1n0 n则从 q0 中选出n0 个线性无关行，记为s；在附加（nn0 ）个任意行（通常为单位矩阵i n 的任意行），记为s1 ，即vvtt1n0 1s ,s1vvttn0nss构造 nn 的非奇异变换阵t， t1引入变换 xtx ，由能观测性的结构分解可知a tat1a00a21a0b0b t bb0c c t1c00其中能观测子系统( a0 , b0 ,c0 ) 即为所求的最小实现。( a , b ,c) 有如下简化求法：记t 1 为00010snnt11s0( n n0 ) nuun n01( n n0 ) n1ssusu1i n00由ttuu 1s1s1us1u 10i n n，有sui n0由 ct 1c uu 1cucu 1c00，有c0cu由tat1sa uu 1ssausau1s aus aua00，有 a0sau1111a21a0ssb由tbbb0，有b0sbs1s1 bb0于是由能控型化为能控能观测型的简化步骤可归结为：1. 构造 s 阵（从q0 中选出n0 个线性无关行）；2. 由 sui n0 ，求出 u 阵；3. 计算最小实现。a0sau ，b0sb，c0cu 。由于 s 选择的任意性及求解u 的任意性，最小实现不唯一，但最小实现的维数是唯一的，且系统都是能控能观测的。下面举例说明该法。例 1、已知传递函数矩阵g(s) ，求最小实现。s21g( s)s1s3ss1解: 化g( s) 为严格真传递函数矩阵s1s2 g?(s)11g(s)s1s310g?( s)d1111求 g?(s) 的最小实现。s1s21s111g1 (s)1s3g 2 ( s)1s21s11s11( ss22)( s3)s312令d (s)s1,d(s)s25s6 ，其能控规范型实现为a111b11c1101021a2b2c265131g?( s) 的能控型实现为a10a0a210000106510b10b000b201cc1c2121131(a,c) 的能观测性判别：由于rankc2m121cc131rankq 0rankn mrankrank3ncaca163162即(a,c) 能观测。（ a,b,c ）能控且能观测，即为g?( s) 的最小实现。g(s) 的最小实现为（ a,b,c,d ）。例 2、求下列 g( s) 的最小实现维数及最小实现4 s62s3g( s)(s1)(s2)(s1)(s3)21(s1)(s2)(s1)(s2)解（ 1）确定最小实现维数n ：所有 g(s) 的一阶子式的最小公分母为( s1)(s2) ；二阶子式只有一个0 ，其分母为任意常数。故所有子式的最小公分母仍为( s1)(s2) ，有 n=2。（ 2）g1(s)1(s1)(s4s62)2g2 (s)1(s1)(s2s32)1令d1 (s)d2 (s)(s1)(s2) ，其能控规范型实现为a1a20213,b1b201c16240c23210aa100a2bb100b2cc1c2(a,c) 的能观测性判别：由于rankc2mrankq 0rankccacrankcarank2can mca642086021210463140622031532 4(a,c) 不完全可观测。从q0 中选出二行构成s 阵, s64203210由 sui 2 求 u 阵 ：64203210u