2020年新编北京工业大学-高等数学a--2018学年第一学期--期末考试试卷及答案名师精品资料.

北京工业大学2017-2018学年第一学期考试试卷a 答案课程名称 ： 高等数学a课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为 闭卷考试。本试卷共计页，共大部分，请勿漏答；2. 考试时间为分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷全部答案都写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空题（每题3 分，共 30 分）1. lim5x12x51x2x22ln(1x) ,x02. 设f (x)sin x在 x0 处连续，则b1x2b,x03. f(a)0, f(a)1, 则极限limnnf (a1 )-1n4. 已 知 ysin3 x ,n 为自然数，则y( n)3n sin(3 xn)2x tetdy5 设,则1y sin tcostdxt062(cos2 xx cosx)dx21cos2 x27. 设 f( x) 连续，则sin xfcosxdxf (cos x)c8. 已知xg( x)arcsintdt ,则 g（0）= 009. 微分方程 y1 yx 的通解是 yxx(cx)10. 微分方程xyy0 满足条件y(1)1 的解是 y1x二、单项选择题（每小题2 分，共 8 分）1. 函数的定义域yln( x32) 是（ c）xa. (2,3b. (,3)c.(2,3)d.2,32. 设 f(0)2 ，则当 x0 时，f ( x)f (0)是 x 的 （b）a低阶无穷小量b同阶无穷小量c 高阶无穷小量d等价无穷小量3. 设f (x)xsin 2 x，则f ( x)dx（ a）24a. 1cos 2xcb xsin 2 xccx2cos 2xcdx2cos2 xc222448444. 已知lim(xx1 ax 1)xatet dt，则 a（ d）a. 1b.12c. 5 2d. 2三、求解下列各题（每小题5 分，满分30 分）1. 求极限lim112. y21dy1xarctan, 求及 dy2x0xx tan xxdx111tan xx12x2解：lim2lim2（1 分）解： y2x arctan(1x )x0xx tan xx0 xtan xx11x2limtan xx3limsec2 x12（ 3 分）12 xarctan1（ 4 分）x0xx03 xxlimtan2 x12（ 5 分）dy(2 x arctan 11)dx（ 5 分）x03x3x3. 设 yarcsin x1xexy ，求dy4.1dxdx x 013 x解： y11x2exyxexy ( yxy )（ 4 分）解：令 t3 x ，则xt 3 , dx3t 2（ 1 分）当x0 时， y1 ，代人上式得13t 2dxdt(3t33)dt（3 分）13 x1t1t32y (0)0（ 5 分）t3t23ln(1t )c3211x33x323ln(1x3 )c（ 5 分）15.x arctan xdx6.021cos2xdx01解：xarctan xdx011arctan xdx 220（ 1 分）解：01cos2 xdx1821821421 x22 dx2 | c oxsd|x（2 分）0 1x021 (1101x)dx（ 4 分）2(2 cos xdx02cos xdx)（ 4 分）（ 5 分）22（ 5 分）四、（ 6 分）已知曲线yf (x) 于任意点处的切线斜率为ax 23x6 ，且当 x1时， y11 为2其极大值，试求曲线yf ( x) ，且求函数f ( x) 的极小值 .2a332解：由于f(x)ax3x6 ，所以f (x)xx 326 xc（ 1 分）由当 x1 时，11y为其极大值可得211f (1), f 2a3(1)0 ，即c2（ 4 分）6x23 x63( x2)( x1) ，当 x2时，f (2)0,f(2)90332f ( x)xx 2由 于 f(x)3 x2故 x2 时，函数f (x)取得极小值8 .（ 6 分）五、(6 分)证明：当 x0 时， 11 xx1 x 228证明：令f (x)1x1x21x，则 f(x)1111 x0 ， （ 1 分）2821x24由于 f(x)1111 (11)0 ( x0) ，因此f ( x) 在 0,) 上单调4(1x)344(1x) 3增加，（ 4分） 当 x0 时，f ( x)f (0)0 ，从而f ( x)在 0,) 上单调增加，当x 0 时，f ( x)f (0)0，因此 f( x)在0,) 上单调增加，由于f (0)0 ，故当 x0时，有f ( x)f (0)0 ，即211 xx1x（ 6 分）28六、（ 6 分）设函数yf ( x) 满足微分方程y3 y2 y2ex ，且其图形在点(0,1) 处的切线与曲线 yx 2x1在该点的切线重合，求f ( x) .解：解特征方程r 23r20 得： r11,r22（ 2 分）x设微分方程的一特解为y*axex ，代入原方程比较系数得：a2（ 4 分）微分方程y3 y2 y2e 的通解为：y c exc e2 x2xex（ 5 分）12由 y(0)1, y (0)1得： c1c21,c12c21 ，解得 c20, c11故 f ( x)ex2 xex（ 6 分）七、（ 6 分） 求由抛物线yx 与直线 yx 所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解抛物线 yx 与直线 yx 的交点为0,0， 1,1（1 分）故抛物线和直线所围城的平面图形的面积11sxxd x06（ 3 分）11平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积v= (x)2 d x ( x) 2 d x00=（6 分）6八、（ 5 分）设连续函数f (x) 满足f (x)f (x)sin 2x ，求积分2 f ( x)sin 6 xdx2证明：2f ( x)sinxdx2f (t )sintdt（ 2 分）6622故2f2( x)sin 6xdx12 ( f22( x)f (x)sin6 xdx12 sin822xdx2 sin80xdx7 5 3 1358 6 4 2 2256（ 5 分）1九、（ 3 分）设f ( x) 在0,1 上连续， (0,1) 内可导， 且f (1)kk xe10x f (x)dx(k1) ，证明在 (0,1)内至少存在一点，使f ()(11) f () .证明：设f (x)xf ( x)e，（ 1 分）x则 f ( x)f ( x)e xxf ( x)e xxf (x)e x(1x)f ( x)e xxf ( x)ex ， f (1)f (1)e 1 ，因为