动能定理的典型例题

高考专版 “ 动能定理 ”的典型例题【例 1】质量为 m=2kg 的物体，在水平面上以 v1= 6m/s 的速度匀速向西运动，若有一个 f=8n 、方向向北的恒定力作用于物体，在 t=2s 内物体的动能增加了 a 28j b 64j c 32j d 36j e 100j【分析】 物体原来在平衡力作用下西行，受向北的恒力f 作用后将做类似于平抛的曲线运动 (见图)物体在向北方向上的加速度2s 后在向北方向上的速度分量故 2s 后物体的合速度所以物体在 2s 内增加的动能为精品资料也可以根据力对物体做动能定理来计算由于在这个过程中， 可以看作物体只受外力 f 作用，在这个力方向上的位移外力 f 对物体做的功w =fs= 8 8j=64j ，故物体动能的增加【答】 b【说明】 由上述计算可知，动能定理在曲线运动中同样适用，而且十分简捷有的学生认为， 物体在向西方向上不受外力，保持原动运能不变， 向北方向上受到外力后，向北方向上的动能增加了即整个物体的动能增加了64j ，故选 b必须注意，这种看法是错误的动能是一个标量(不同于动量 )，不能分解外力对物体做功引起物体动能的变化，是对整个物体而言的，它没有分量式(不同于物体在某方向上不受外力，该方向上动量守恒的分量式)上述计算结果的巧合是由于 v2 与 v1 互成 90 角的缘故【例 2】一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为s( 见图)，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用， 并认为斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同，求摩擦因数【分析】 以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，整个过程中物体的动能没有变化，即ek2 =ek1 =0 可以根据全过程中功与物体动能的变化上找出联系【解】物体沿斜面下滑时， 重力和摩擦力对物体做功(支持力不做功 )，设斜面倾角为 ，斜坡长 l，则重力和摩擦力的功分别为wg = mgsin l，wf1 = - mgcos l在平面上滑行时仅有摩擦力做功(重力和支持力不做功 )，设平面上滑行距离为s2，则wf2= - mgs 2整个运动过程中所有外力的功为w=w g+wf1 +wf2 ，=mgsin l - umgcos l- mgs 2 根据动能定理，w=e k2 -ek1 ，式中 s1 为斜面底端与物体初位置间水平距离，故【说明】 本题也可运用牛顿第二定律结合运动学公式求解物体沿斜面下滑时的加速度物体在平面上滑行时的加速度比较这两种解法，可以看到，应用动能定理求解时，只需考虑始末运动状态，无 需关注运动过程中的细节变化(如从斜面到平面的运动情况的变化)，显得更为简捷本题也为我们提供了一种测定动摩擦因数的方法厢所受阻力不变，对车厢的牵引力应增加 a 1 103n b 2103nc 4 103n d条件不足，无法判断【分析】 矿砂落入车厢后，受到车厢板摩擦力f 的作用， 使它做加速运动，经时间 t 后矿砂的速度达到车厢的速度v=2m/s, 这段时间内矿砂的位移因此选t 内落下的矿砂 m 为研究对象，以将接角车箱板和达到速度v=2m/s两时刻为始末两状态时，动能增量由功与动能变化的关系得在这过程中，车厢板同时受到矿砂的反作用f，其大小也为 410 3n，方向与原运动方向相反，所以，为保持车厢的匀速运动需增加的牵引力为【答】 c【说明】常有人误认为矿砂落入车厢内，矿砂的位移就是车厢的位移s =vt， 于是得车厢应增加的牵引力大小为这是不正确的， 因为在矿砂将接触车厢板到两者以共同速度v=2m/s 运动的过程中，车厢和矿砂做两种不同的运动，矿砂的速度小于车厢的速度，它们之间才存在着因相对滑动而出现的滑动摩擦力也正是由于滑动摩擦力的存在，车厢所增加的牵引力做的功并没有完全转化为矿砂的动能，其中有一部分消耗在克服摩擦做功而转化为热能!iedtxx(stylebkzd, 1107p02.htm)【例 4】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳pq 提升井中质量为m 为物体，如图a 所示绳的 p 端拴在车后的挂钩上， q 端拴在物体上设绳的总长不变、绳的质量、定滑轮的质量和尺寸，滑轮上的摩 擦都忽略不计开始时，车在a 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为 h提升时，车加速向左运动，沿水平方向从a 经过 b 驶向 c设 a 到 b 的距离也为 h车过 b 点时的速度为 vb 求在车由 a 移到 b 的过程中，绳q 端的拉力对物体做的功【分析】 汽车从 a 到 b 把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用， 根据物体速度的变化和上升高度，由动能定理即得【解】以物体为研究对象， 开始时其动能 ek1 =0随着车的加速拖动， 重物上升， 同时速度也不断增加当车子运动到b 点时，重物获得一定的上升速度vq ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量(图 b)，即于是重物的动能增为在这个提升过程中，重物受到绳中拉力t、重力 mg 物体上升的高度和重力的功分别为于是由动能定理得即所以绳子拉力对物体做的功【说明】 必须注意，速度分解跟力的分解一样，两个分速度的方向应该根据运动的实际效果确定车子向左运动时，绳端(p) 除了有沿绳子方向的运动趋势外(每一瞬间绳处于张紧的状态)，还参予了绕 o 点的转动运动 (绳与竖直方向间夹角不断变化 )，因此还应该有一个绕o 点转动的速度，这个速度垂直于绳长方向所以车子运动到 b 点时的速度分解图应如图6 所示，由此得拉绳的速度 vb1 (即提升重物的速度vq )与车速 vb 的关系为【例 5】在平直公路上，汽车由静止开始作匀速运动，当速度达到vm 后立即关闭发动机直到停止， v-t 图像如图所示设汽车的牵引力为f，摩擦力为 f，全过程中牵引力做功w1，克服摩擦力做功w 2，则 a f： f = 1：3 b f：f = 4 ： 1c w1： w2= 1：1 d w1： w2 = 1 ：3【分析】在 t = 01s 内，汽车在牵引力 f 和摩擦力 f 共同作用下作匀加速运动， 设加速度为 a1由牛顿第二定律f-f = ma 1在 t=l 4s 内，汽车仅受摩擦力作用作匀减速滑行，设加速度为a2，则-f = ma 2由于两过程中加速度大小之比为在前、后两过程中，根据合力的动能定理可知， wf=w f1+wf2 =wf。即全过程中牵引力做功（w1=wf）和汽车克服摩擦力做功（w2=w f）相等【答】 bc【说明】 为了比较两个功的关系，还可以从全过程考虑：因为汽车在始、末两状态都处于静止，则ek=0，所以整个过程中各个力做功之和w=0 ，于是立即可得 w1=w f（即 w 1=w2）这种从全过程上考虑的方法，是动能定理的一个应用特点，尤其在ek=0 的情况，往往更为简捷，请加以体会【例 6】质量为 m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为r 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用设某一时刻小球通过轨道的最低点， 此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为 【分析】 设小球通过最低点a 的速度为 v1，绳子张力 t1=7mg 在最低点时， 由绳子张力和小球重力的合力提供向心力，设小球恰通过最高点的速度为v2，此时绳子张力t2=0，正好由小球重力提供向心力，即小球由最低点运动到最高点b 过程中，小球重力和空气阻力都对小球做负功， 根据力对小球做的动能定理，由【答】 c【例 7】在光滑水平面上有一静止的物体现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后， 换成相反方向的水平恒力乙推这一物体当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32j 则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少?【分析】 物体先作匀加速运动，后作匀减速运动回到原处，整个过程中的位移为零根据牛顿第二定律和运动学公式即可确定两个力的大小关系，然后对全过程中应用动能定理即可得解 或者根据两个力作用时间相同、两个过程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出两者末速度的关系，即可得解【解】 方法 1 物体从静止起受水平恒力f 甲作用，做匀加速运动，经一段时间t 后的速度为间 t 后回到原处整个时间内物体的位移为零设在 f 甲作用下物体的位移为s，对全过程由动能定理得所以，恒力甲和乙做的功分别为方法 2设恒力 f 甲作用时间 t，使物体通过位移s 后的速度为 v1 ，恒力 f 乙物体回到原点的速度为v2，作用时间也是t前、后两段相同时间t 内的位移大小相等，由得 v2=2v1 ，已知 ek2 =32j ，故 ek1 =8j 根据动能定理可知，恒力f 甲和 f 乙做的功分别为w 甲=e k1 =8j ，w 乙=e k1 =32j 8j=24j 【说明】 本题可以利用 v-t 图，更直观地得到启发，设 f 甲作用时间 t 后物体的速度为 v1，这就是匀加速运动的末速度接着在 f 乙作用下物体作匀减速运动， 物体先按原方向运动，设经时间 t0 后速度减小为零，然后反向运动因此，物体运动过程的 v-t 图如图所示物体回到原点，意味着图线上下方与t 轴间的面积相等设甲、乙两力作用时的加速度大小分别为a1、a2 则v1=a1t， v2 =a2 （t2-t0），联立（ 1）、（ 2）两式得所以两力做功之比【例 8】如图所示，轻质长绳水平地跨在相距2l 的两个小定滑轮a、b 上，质量为 m 的物块悬挂在绳上o 点，o 与 a、b 两滑轮的距离相等在轻绳两端c、d 分别施加竖直向下的恒力f=mg ，先托住物块、使绳处于水平拉直状态，然后静止释放物块，在物块下落过程中，保持c、d 两端的拉力 f 不变（1） ）当物块下落距离h 为多大时，物块的加速度为零？（2） ）在物块下落上述距离的过程中，克服c 端恒力 f 做功 w 为多少？（3） ）求物块下落过程中的最大速度vm 和最大距离 h【分析】 下落至加速度为零时， ao、bo 两绳的合力应等于重力 mg ，此时aob=120 ，于是即可算出下落距离和 c、d 两端上升距离，克服 c 端恒力的功即可求出在物块的下落过程中， ao、bo 两绳中拉力不断变化开始时，其重力大于两绳拉力的合力，物块加速下落，速度增大；当重力等于两绳拉力的合力时，下落加速度为零，速度达最大值 vm；以后，重力小于两绳拉力的合力，物块减速下落，直至 v=0 时，达下落的最大距离 h由于物块作的是变加速运动，所以必须根据动能定理才可求出最大距离【解】（1）物块下落时受到三个力的作用：重力 mg 、绳 ao 、bo 的拉力 f当绳拉力的向上合力r 等于重力 mg 时，物块下落的加速度为零 由于 f 恒为 mg 、所以 a=0 时，三力互成 120 夹角如图所示，于是，由图可知，下落距离（2） ）物块下落 h 时， c、d 两端上升距离所以物块克服 c 端恒力 f 做功（3） ）由上面的分析可知，物块下落h 时的速度就是最大速度根据动能定理得最大速度当物块下落最大距离h 时， c、d 两端上升的距离为同理，由mgh-2fh =0,【例 9】质量为 m 的物体 a 以速度 v0 在平台上运动，滑到与平台等高、质量为m 的静止小车 b 上小车 b 在光滑水平地面上，物体a 与 b 之间动摩擦因数为不计 a 的体积，为使 a 在小车 b 上不致滑出，试问小车b 的长度 l 至少为多少（见图）？【分析】 a 滑上 b 后， a 受到 b 的摩擦力作匀减速运动，速度逐渐减小；b 受到 a 的摩擦力而作匀加速运动，速度逐渐增大如a 滑到 b 的最右端时，两者刚好速度相同，处于相对静止，a 就不致从 b 上滑出把物体 a、b 作为一个系统，它们之间的相互作用力就是内力，系统在水平方向不受外力， 动量守恒 根据动量守恒算出两者相对静止时的速度后，便可隔离两物体，分别从牛顿第二定律、动量定理或动能定理这几条线索去考虑【解】 设物体 a、b 相对静止时的共同速度为v，由于 a、b 在相互作用的过程水平方向不受外力，动量守恒则有设在这段过程中小车的位移为s，则物体 a 的位移为 s+l（见图），可以由多种方法求解：（ 1）用牛顿第二定律结合运动学公式解：对物体 a mg=ma a， aa = g对小车 b mg=ma b， ab=mg m两者相对静止时因此，（ 2）用动能定理解：两式相加并代入解得的v，得（ 3）用动量定理解：设从a 滑上小车 b，到两者相对静止的时间为因此，t，则（ 4）运用 v-t 图线解：作出物体 a 与小车 b 的 v-t 图（见图）小车长 l，数值上等于图中划有斜线的三角形面积【说明】本题的关键是通过对运动过程的分析， 找出 a 不致从 b 上滑出的条件题中综合了力和运动关系的三条线索以及运动图像， 因此， 本题知识容量较大， 应很好体会【例 10 】在光滑水平面上， 有一质量 m1=20kg 的小车， 通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一个质量为 m2=25kg 的拖车相连接 一质量 m3=15kg 的物体放在拖车的平板上物体与平板间的滑动摩擦因数为 =0.20 开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图所示，小车以 v0=3m s 的速度向前运动求：（1） ）当 m1、m2 、m3 以同一速度前进时，速度的大小（2） ）物体在拖车平板上移动的距离（ g 取 10m s2）【分析】 1把小车、拖车和物体作为一个系统，由水平方向动量守恒可得共同前进的速度2物体获得共同前进的速度，可认为经历了两个过程：先是小车与拖车相互作用；然后是（小车 +拖车）与物体的作用解（ 1）由小车、拖车和物体三者水平方向动量守恒，m1v0 =（ m1+m 2+m3 ）u，得三者一起运动的速度大小为（ 2）小车向前运动时，轻绳将逐渐伸直因为轻绳从伸直到拉紧的时间极短， 在这极短时间内绳中产生的张力远大于物体对拖车的摩擦力，可以认为仅是小车与拖车间发生了相互作用对小车与拖车由水平方向动量守恒m1v0=（m1 +m2）v12 ，得绳刚拉紧时两者的共同速度此后，由于物体和拖车间形成了相对速度，拖车对物体产生摩擦力f（f= m3g）， 使物体向前（与v12 同向）作加速运动，物体对拖车的摩擦力f（f=f）使拖 车（包括小车）作减速运动，直至物体和拖车（包括小车）以共同速度u 运动在这个过程中，设拖车（包括小车）对地面的位移为s2、物体对地面的位移为s3 对拖车位移为 d，如图所示根据动能定理对拖车和小车由此解得拖车和物体的位移分别为所以，物体在拖车平板上移动的距离【说明】 根据物体间发生相对运动时，因摩擦损失的机械能是相互间的一对摩擦力做功的结果，数值上等于摩擦力与相对位移的乘积由能的转化和实恒立即可求出物体在平板上的滑移距离!iedtxx(stylebkzd, 1107p03.htm)【例 11】如图所示，一质量为m、长为 l的长方形木板 b 放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m 的小木块 a， mm现以地面为参考系， 给 a 和 b 以大小相等、 方向相反的初速度 （如图）， 使 a 开始向左运动、 b 开始向右运动，但最后a 刚好没有滑离 b 板以地面为参考系，（1） ）若已知 a 和 b 的初速度大小为 v0，求它们最后的速度的大小和方向（2） ）若初速度的大小未知，求小木块a 向左运动到达的最远处（从地面上看） 离出发点的距离【分析】（1）把 a、b 两物体作为一个系统，它们之间相互作用的摩擦力为内力，系统在水平方向不受外力，相互作用的任一时刻都遵守动量守恒定律a 恰好有滑离 b 板，表示 a 到达 b 板左端时，两者具有共同的速度（ 2）小木块 a 的对地速度从最初向左的v0 变到最后向右的共同速度， 必是先向左减速至零，后向右从零加速在这个过程中，水平方向仅受摩擦力作用，根据 动能定理（或牛顿运动定律）即可求解【解】 （1）设 a、b 两者最后的共同速度为u