小学简单排列组合

一阶乘1. 阶乘是基斯顿 卡曼于 1808 年发明的运算符号。阶乘，也是数学里的一种术语。2. 阶乘的计算方法阶乘指从1 乘以 2 乘以 3 乘以 4一直乘到所要求的数。例如：求4的阶乘，就是式子：1 2 3 4 ，积 24 就是 4 的阶乘。例如：求6 的阶乘，就是式子：1 2 3 6，积 720就是 6 的阶乘。例如：求n的阶乘，就是式子：1 2 3 n，积是 x 就是 n 的阶乘。3. 表示方法任何大于1 的自然数n 阶乘表示方法：n!=1 2 3 n=n (n-1)! n 的双阶乘：当 n 为奇数时表示不大于n 的所有奇数的乘积。如：7!=1 3 5 7当 n 为偶数时表示不大于n 的所有偶数的乘积(除 0 外） 如： 8!=2 4 6 8小于 0 的整数 -n 的阶乘表示：（-n ）！ = 1 / (n+1)!4. 20 以内的数的阶乘0！ =1 ，注意 (0 的阶乘是存在的)1！ =1 ，2！ =2 ，3！ =6 ，4！ =24 ，5！ =120 ，6！=720 ，7！ =5,040 ，8！ =40,3209！ =362,88010 ！ =3,628,80011 ！ =39,916,80012 ！ =479,001,600-可编辑修改 -13 ！ =6,227,020,80014！ =87,178,291,20015 ！ =1,307,674,368,00016 ！ =20,922,789,888,00017 ！ =355,687,428,096,00018 ！ =6,402,373,705,728,00019 ！ =121,645,100,408,832,00020！ =2,432,902,008,176,640,000另外，数学家定义，0！=1 ，所以 0！ =1 ！ 5定义范围通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的，小数没有阶乘，像 0.5 ！，0.65 ！， 0.777 ！都是错误的。二排列组合1. 排列组合是组合学最基本的概念。排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合就是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合公式公式 p 是指排列，从n 个元素取r 个进行排列。公式 c 是指组合，从n 个元素取r 个，不进行排列。n- 元素的总个数r 要选择的元素个数感叹号！表示阶乘： 9！ 987654321从 n 倒数 r 个，表达式应该为n（n-1)(n-2).(n-r+1) ，因为从 n 到（n-r+1) 个数为 n（ n-r+1)+1 r2. 定义及公式排列的定义及其计算公式：从n 个不同元素中，任取m(m n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n个 不 同 元素 中 取 出m个 元 素的 排 列 数 ， 用 符 号p(n,m)表 示 。p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!。(nm)!组合的定义及其计算公式：从n 个不同元素中，任取m(m n) 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数。用符号c(n,m)表示。c(n,m)=p(n,m)/m!=n!。(nm)! m!3. 基本计数原理 a加法原理和分类计数法1. 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法， ，在第 n 类 办 法 中 有 mn 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有n=m1+m2+m3+ +mn 种不同方法。2. 第一类办法的方法属于集合a1 ，第二类办法的方法属于集合a2 ， 第n类办法的 方法属于集合an ， 那么完成这件事 的方法属于集合a1ua2uuan 。3. 分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同( 即分类不重 )；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏 )。b乘法原理和分步计数法1. 乘法原理乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有n=m1 m2 m3 mn种不同的方法。2. 合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。4例题分析例：有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？分析：123 和 213 是两个不同的排列数。 即对排列顺序有要求的， 既属于“ 排列 p” 计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次， 显然不会出现 988,997之类的组合， 我们可以这么看，百位数有9 种可能，十位数则应该有9-1 种可能，个位数则应该只有 9-1-1 种可能，最终共有 987 个三位数。计算公式 p（3，9)987,( 从 9 倒数 3 个的乘积）例：有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“ 三国联盟 ”， 可以组合成多少个 “ 三国联盟 ”？分析： 213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合 c”计算范畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 c(3,9)= （ 987） /（ 321）例.从 1、2 、3、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列， 这样的不同等差数列有多少个？分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设 a,b,c成等差，2b=a+c,可知 b 由 a,c决定，又 2b 是偶数， a,c 同奇或同偶，即：分别从1 ，3，5，19 或 2， 4， 6， 8，20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列， a（ 10,2 ） *2=90*2 ，因而本题为180 。例.某城市有4 条东西街道和6 条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从m 到 n 有多少种不同的走法 ?分析：对实际背景的分析可以逐层深入：（一）从m 到 n 必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。本题答案为：c(8,3)=56。例在一块并排的10 垄田地中，选择二垄分别种植a， b 两种作物，每种种植一垄， 为有利于作物生长，要求 a，b 两种作物的间隔不少于6 垄， 不同的选法共有多少种？分析：条件中 “要求 a、b 两种作物的间隔不少于6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类： a 在第一垄，b 有3 种选择；第二类： a 在第二垄，b 有2 种选择；第三类： a 在第三垄，b 有1 种选择，同理 a、b 位置互换，共 12 种。例从6 双不同颜色的手套中任取4 只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？(a)240 (b)180 (c)120 (d)60分析：显然本题应分步解决。（一）从6 双中选出一双同色的手套，有6 种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10 种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有 8 种方法；（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240 种。或分步（ 1）从 6 双中选出一双同色的手套，有c(1,6)=6种方法（ 2）从剩下的5 双手套中任选两双，有c(2,5)=10种方法（ 3）从两双中手套中分别拿两只手套，有c(1,2) c(1,2)=4种方法。同样得出共 (1) (2) (3)=240种。例身高互不相同的6 个人排成2 横行 3 纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为 。 分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵 列 的 排 队 方 法 只 与 人 的 选 法 有 关 系 ， 共 有 三 纵 列 ， 从 而 有c(6,2) c(4,2) c(2,2)=90种。例在 11名工人中，有5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外2 人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4 人当钳工， 4 人当车工，问共有多少种不同的选法?分析： 采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，c(2,2) c(5,2) c(4,4)=10种 ； 第二类：这两人有一个去当钳工，c(2,1) c(5,3) c(5,4)=100种； 第三类：这两人都不去当钳工，c(5,4) c(6,4)=75种。因而共有185种。例现有印着0， 1 ， 3， 5 ， 7， 9 的六张卡片，如果允许9 可以作 6 用， 那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?分析：有同学认为只要把0， 1， 3， 5 ， 7， 9 的排法数乘以2 即为所求，但实际上抽出的三个数中有9 的话才可能用6 替换，因而必须分类。抽出的三数含0，含 9，有 32 种方法；抽出的三数含0 不含 9 ，有 24 种方法；抽出的三数含9 不含 0 ，有 72 种方法；抽出的三数不含9 也不含 0，有 24 种方法。因此共有32+24+72+24=152种方法。例停车场划一排12 个停车位置，今有8 辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种?分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有a(9,8)=362880种停车方法。例六人站成一排，求(1) 甲、乙即不再排头也不在排尾的排法数(2) 甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：（ 1 ）按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数第一类：排出首尾和末尾、因为甲乙不再首尾和末尾，那么首尾和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有a(4,2)=12种；第二类： 由于六个元素中已经有两位排在首尾和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行排列， 共 a(4,4)=24种；根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12 24=288种。(2) 第一类：甲在排尾，乙在排头，有a(4,4) 种方法。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3a(4,4) 种方法。第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3a(4,4) 种方法。第四类：甲不在排尾也不再排头，乙不在排头也不再排尾，有6a(4,4)种方法（排除相邻） 。共 a(4,4)+3 a(4,4)+3a(4,4)+6a(4,4)=312种。例对某件产品的6 件不同正品和4 件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的有c(4,1) 种可能；第二步：前四次有一件正品有c(6,1) 中可能。第三步：前四次有a(4,4) 种可能。 共有 576 种可能。例. 8 人排成一队(1) 甲乙必须相邻(2) 甲乙不相邻(3) 甲乙必须相邻且与丙不相邻(4) 甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5) 甲乙不相邻，丙丁不相邻分析：（ 1 ）甲乙必须相邻，就是把甲乙捆绑( 甲乙可交换 )和 7人排列a(7,7) 2（ 2）甲乙不相邻，a(8,8)-a(7,7)2 。（ 3 ） 甲乙必 须相 邻且与 丙不 相邻， 先求 甲 乙必 须相 邻且 与 丙相 邻a(6,6) 22甲乙必须相邻且与丙不相邻a(7,7) 2-a(6,6)22（ 4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻a(6,6) 22（ 5）甲乙不相邻，丙丁不相邻，a(8,8)-a(7,7)22+a(6,6)22例.某人射击8 枪，命中 4 枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?分析： 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的 5 个空中选出2 个的排列，即a(5,2) 。例.马路上有编号为l，2 ，3，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?分析： 即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。 又因为灯与灯之间没有区别， 因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6 个空中选出3 个空放置熄灭的灯。 共 c(6,3)=20种方法。例.三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数， 共 76 种。例正方体8 个顶点中取出4 个，可组成多少个四面体?分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数， 共 c(8,4)-12=70-12=58个。例. 1 ，2，3， 9 中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?分析：由于底数不能为1 。（ 1）当 1 选上时， 1 必为真数，有一种情况。（ 2）当不选 1 时，从 2-9中任取两个分别作为底数，真数，共 a(8,2)=56， 其中 log2为底 4=log3为底 9 ，log4为底 2=log9为底 3, log2为底 3=log4为底 9, log3为底 2=log9为底 4.因而一共有56-4+1=53个。例.六人排成一排，要求甲在乙的前面，( 不一定相邻 )，共有多少种不同的方法 ?如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360种。（二）先考虑六人全排列； 其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位， 因而前面的排法数重复了种， 共=120种。例 5 男 4 女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法 ?分析：首先不考虑男生的站位要求，共a(9,9) 种；男生从左至右按从高到矮 的 顺 序 ， 只 有 一 种 站 法 ， 因 而 上 述 站 法 重 复 了 次 。 因 而 有=9 8 76=3024种。若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种， 综上，有6048种。例.三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?分析：先认为三个红球互不相同，共a(5,5)=120种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共a(3,3)=6变化，因而共a(5,5)/a(3,3)=20种。例 10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法 ?分析：把10 个名额看成