均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是angn :一些大家都知道的条件我就不写了精品资料x1x2n.xnn x1 x2.xn我曾经在几个重要不等式的证明中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：二维已证，四维时：abcd(ab)(cd)2ab2cd4abcd44 abcd八维时 :(abcd)(efgh)44 abcd44 efgh88 abcdefgh这样的步骤重复n 次之后将会得到x1x2.x2 nnn2x1 x2 .x2n2令 x1x1 ,., xnxn ; xn 1xn 2.x2nx1x2n.xna由这个不等式有na(2 nann) a2nnn2x1x2 . xn a1n1(x1x2 .xn ) 2ann2即得到x1x2n2.xnn x1 x2.xn这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要， 下面给出几个竞赛题的例子：例 1：n1n若0ai1(i1,2,., n)证明i 1 1ai1(a1 a21.an ) n例 2：n1n若ri1(i1,2,., n)证明i1 ri11(r1r21.rn ) n这 2 个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例 1 的证明：当n2时112(1a a )(2aa )2(1a )(1a )1a11a21a1 a2121212设pa1a2 , qa1 a2(1q)(2p)2(1pq2 )p2qpq因此2q2p(1q)2q(q1)p2q，而这是2元均值不等式11112(11)1a11a21a31a41a1a21a3 a441a1a2 a3a4将此过程进行下去n212n因此1i 1 1ai1(a a.a) 2n1 22n1令an 1an 2.a2n(a1a2 .an )ngn112n2n有i 1 1ain1即(2 nn)1gn2n n1(gn g 2n11g)2ni 1 1ai1g例 3：1n1n已知5n个实数 ri , si , ti , ui , vi 都1(1in), 记rri , ssi1n1n1nninitti ,uui ,vvi，求证下述不等式成立：ninininr st u v1rstuv1 n( i i ii i)()i 1ri si ti ui vi1rstuv1要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数xf ( x)ln e ex1 是在 r 上单调递减1因此nnnnnnrstuvnrinsi ntinuinvinri si ti ui vii 1i 1i 1i 1i 1i 1nn( rstuv rstuv1 nri si ti ui vi1) 1i 1nnri si ti ui vi1i 1我们要证明：nnnri si ti ui vi(r s t u v1ii iii1i 1ri si ti ui vi1)i 1nnri si ti ui vi1i 1证明以下引理：nnn(xi1xii 1xi1)(i 1nnxi1)n1i 1n2时，( x1 x11x21)()(x1 x2x1 x21 2) 1令ax x ,12a ( x x1x221121x1x )2(x1x212121 21x1x2 )1(1x x )1 22 a( x xxx1)a ( x x2x x12x12 a( x1 x2( a21x11)(x x12x2 )1)2 a(x x1)1 2显然成立n因此(xi1)(i 1xi1gg11)2nn(ng g2n2nn1n2nn) 2 ， gnnxig gn2ni 11(g g1 2 n) 1nnnxi因此(xi1)(i 1xi1i 1nnxi1)1ni 1x2 )所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明jensen:f (x1 )f ( x2 )2f ( x1x2 ) ，则四维：2f ( x1 )f (x2 )f ( x3 )f ( x4 )2 f ( x1x2 )22 f ( x3x4 )24 f ( x1x2x34x4 )一直进行 n 次有f ( x1)f ( x2 )2 n.f ( x2 n )x1x2f (.2 nx2 n ) ,令 x1x1 ,., xnxn ; xn 1xn 2.x2nx1x2n.xnaf ( x1)有.f ( xn )(2 nn) f( a)nf ( na(2n) a)f ( a)2 n2 n所以得到f ( x1 )f ( x2 ).f ( xn )x1f (x2.xnnn)所以基本上用 jensen 证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候