青岛市高三二模数学试题及答案理及答案

高三自评试题数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟 注意事项：1. 答卷前，考生务必用2b 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2. 第卷每小题选出答案后，用2b 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上3. 第卷必须用0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效1参考公式：锥体的体积公式为：vsh ,其中 s 为锥体的底面积，h 为锥体的高 .3第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共12 小题每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合mm,3, nx2 x27 x30, xz,如果 mn,则 m 等于a 1b 2c2 或1d 322. 设复数 z12 (其中 i 为虚数单位 )，则 z2 i3 z 的虚部为a 2ib 0c10d 23. “a4 ”是 “对任意的实数x , 2x12 x3a 成立 ”的a 充分必要条件b充分不必要条件 c必要不充分条件d既非充分也非必要条件4. 已知函数f ( x)log2x , x0，则 f (f (1)flog1的值是9 x1, x03 2a 7b 2c 5d 35. 设 m , n 是两条不同的直线,是三个不同的平面有下列四个命题：若/， m， n，则 m/ n ；若 m， m/，则；开始 若 n， n， m，则 m； 若， m，则 m 其中错误命题的序号是a bcda 1,b1a？否是6. 执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为 31，b 2b1输出 b则图中判断框内处应填a 3b 4c 5d 6aa1结束7. 函数 y9x52的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是3a b 2c3d 548. 以下正确命题的个数为命题 “存在 xr ， x2x20 ”的否定是： “不存在 xr ， x2x20 ”；函数f ( x)1 x1x3()的零点在区间211(,) 内；3 2已知随机变量服从正态分布n (1,2 ) ，p(4)0.79 ，则p(2)0.21；函数f ( x)xx2ee 的图象的切线的斜率的最大值是；线性回归直线ybxa 恒过样本中心x, y，且至少过一个样本点.a 1b 2c 3d 4222a 639. 设 a(13x0)dx4 ，则二项式( x)x展开式中不含x 项的系数和是a 160b 160c 161d16110. 已知函数f (x)cos x1 x, x, ， sin x1 ， x, ，那么下面命题中真00222222命题的序号是 f (x)的最大值为f (x0 )f (x)的最小值为f (x0 ) f (x) 在, x0 2上是增函数f (x) 在 x0 ,2上是增函数a b cd 11. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的3a. 外接球的半径为3b. 体积为3163111c. 表面积为631d. 外接球的表面积为3正视图侧视图12. 已知直线y kx1 与抛物线c : y24 x 相交于 a 、b 两俯视图点 ， f 为 抛 物 线 c 的 焦 点 ， 若fa2 fb , 则 k =22212a b cd3333第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分13. 若 tan2, 则 sincos.14. 已知直线yxa与圆 x2y24 交于 a、 b 两点，且oaob0 ，其中 o为坐标原点，则正实数 a 的值为.15. 设 x 、 y 满足约束条件3 xyxy6020 ，则目标函数z x2y2 的最大值为.x0, y016. 已知函数fx的定义域为1,5 ，部分对应值如下表，fx 的导函数yfx 的图象x 1045fx1221如图所示 . 下列关于fx 的命题：函数fx 的极大值点为0 ， 4 ；函数fx 在 0,2上是减函数；如果当 x1,t 时， fx 的最大值是2，那么 t 的最大值为4；当 1a2时，函数yfxa 有 4 个零点；函数 yfxa 的零点个数可能为0、1、2、3、 4 个其中正确命题的序号是三、解答题：本大题共6 小题 ,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12 分）已知向量 m(sin x,3 sin x), n(sin x,cosx) ，设函数f (x)m n ,若函数g ( x)的图象与f (x) 的图象关于坐标原点对称.（）求函数g(x) 在区间,上的最大值 ,并求出此时x 的值；463（） 在abc中， a,b,c 分别是角a, b,c的对边， a为锐角 ,若f ( a)g( a)，bc7 ，2abc的面积为 23 ，求边 a 的长18（本小题满分12 分）如图， 在多面体abca1b1c1 中，四边形abb1 a1 是正a1b1方形，acab1， a1ca1 bbc ， b1c1 /bc ，c112b1c1bc .ab（）求证：ab1 / 面a1c 1c ；（）求二面角ca1c 1b 的余弦值的大小.c19（本小题满分12 分） 甲居住在城镇的a 处，准备开车到单位 b 处上班， 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如，a c d 算作两1e 201f 12个路段：b路段 ac 发生堵车事件的概率为1 ，路段 cd 发生堵车事 件 的101315206a1c1d1015概率为1 ，且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进）15(）请你为其选择一条由a 到 b 的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（）若记路线a c f b 中遇到堵车次数为随机变量，求的分布列及e20（本小题满分12 分）已知集合ax x2n1,nn, bx x6n3, nn，设 sn 是等差数列750ans10的前 n 项和 ,若 an300 .的任一项 anab ,且首项a1 是 ab 中的最大数 ,（）求数列an的通项公式 ;（）若数列48nbn满足 bn(2 ) an213n9，令 tn24(b2b4b6b2 n ) ，试比较 tn与2 n1的大小 .3221（本小题满分12 分） 已知函数（）求函数yfx的极大值；fxln2 3xx .232（）令gxfxxm 2111 x （ m 为实常数），试判断函数gx 的单调性；（）若对任意x,，不等式63aln xlnfx3x0 均成立，求实数a 的取值范围.22（本小题满分14 分） 已知椭圆c1 、抛物线c 2 的焦点均在x 轴上，c1 的中心和c2 的顶点均为坐标原点o ，从每条曲 线 上 各 取两个点，将其坐标记录x3242于表中：（）求c1、c2 的标准方程；（）请问是否存在直y230422线 l同 时 满足条件： ( )过 c2 的焦点 f ； ( )与 c1 交于不同两点q 、 r ，且满足 oqor ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由（） 已知椭圆c1 的左顶点为a ，过 a 作两条互相垂直的弦am 、an 分别另交椭圆于m 、n两点当直线am 的斜率变化时，直线mn 是否过 x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由高三自评试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12 小题每小题5 分，共 60 分c d b a bb d c c ad a二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分213.514.215.5216 三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分， 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分12 分）21cos2 x3解：（）由题意得：f (x)sinx3 sinx cos xsin 2x221sin(2 x)2 分261所以 g(x)因为 xsin(2x)3 分26,，所以 2x2,46636所以当2x即x时，函数g (x) 在区间,上的最大值为1 .6264626 分（）由化简得：f ( a)cos 2 ag ( a)123 得： 12sin(2 a)sin( 2 a)3662又因为 0a，解得：a9 分23由题意知：s abc1 bc sin a 22 3 ，解得 bc8 ，又 bc7 ,所以 a21b 2c22bc cos a(bc)22bc(1cos a)4928(1)252故所求边 a 的长为 5 .12 分18 （本小题满分12 分）解：（）取 bc 的中点 e ，连结 ae ， c1e ， b1 eb c/ bc ， b c1 bc ，b c / ec, b cec ，111121111四边形ceb1c1 为平行四边形，从而b1 e / c1c ，c1c面a1c 1c ，b1e面a1c1cb1e / 面 a1c1c2 分1b1c1 / bc ， b1c1bc ，2b1c1 /be, b1c1be四边形bb1c1e 为平行四边形b1b / c1e ，且b1bc1 e又abb1 a1 是正方形，a1 a / c1 e ，且a1 ac1 e故 aec1 a1 为平行四边形，ae /a1c1a1c1面 a1c 1c ， ae面 a1c 1cae / 面 a1c1c4 分aeb1ee ，面 b1 ae / 面 a1c 1cab1面 b1 ae ，ab1 /面 a1c 1c6 分（）四边形abb1 a1 为正方形 ,a1 aabac1 ,a1 aaba1b2 ，a1ca1ba1c2za1b1由勾股定理可得：a1 ac90 ，a1 aac，c1由勾股定理可得：abaca，a1 a面abc，a1ca1 bbc，bc2bac90 ，abyecxabac8 分11故以 a 为原点，以ac 为 x 轴建立坐标系如图，则c (1,0,0),a1(0,0,1),c1 (,1) ，22b (0,1,0) ，所以 ca(1,0,1) ， cc11(,1) ， ba(0,1,1) ， bc( 1 ,1 ,1) .1设面 a1c 1c 的法向量为1n1(x, y, z) ，由 n122ca10,n11cc10122xz011，令 z1 ，则n1(1,1,1)xyz0 22设面 a1c1b 的法向量为n2(m, n, k) ，则 n2ba10,n2bc10nk0则11，令 k1，则n2(1,1,1)10 分mnk0 22所以 cosn1 , n2n1n21111n1 n2333设二面角ca1c1b 的平面角为，n1 , n2所以 coscos1312 分19 （本小题满分12 分）解：（）记路段ac 发生堵车事件为ac ，各路段发生堵车事件的记法与此类同. 因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线a c d b 中遇到堵车的概率为p11paccddb1pacpcdpdb11pac1p cd1pdb9145312 分1015610同理：路线a c f b 中遇到堵车的概率为3p21 p ( ac cf fb ） =239（小于800）4 分10路线 a e f b 中遇到堵车的概率为p31paeeffb91（大于3 ）30010显然要使得由a 到 b 的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线a c f b ，可使得途中发生堵车事件的概率最小6 分（）路线a c f b 中遇到堵车次数可取值为0 ，1 ， 2 ，3 p0paccffb561，800p1paccffbpaccffbpaccffb11711931191716371020121020121020 122400，p2paccffbpaccffbpaccffb1311117193177，1020121020121020122400p3paccffb1311.102012800所以的分布列为0123p561637771800240024008009 分5616377711 e= 012380024002400800320 （本小题满分12 分）12 分解: （）根据题设可得: 集合 a中所有的元素可以组成以3 为首项 ,2 为公差的递减等差数列；集合 b 中所有的元素可以组成以3 为首项 ,6 为公差的递减等差数列.由此可得 , 对任意的 nn,有 abbab 中的最大数为3 ,即 a1310( a12 分a10 )设等差数列an的公差为 d , 则 an3( n1)d , s1045d302因为750s10300 ,75045d30300 ,即16d6由于 b 中所有的元素可以组成以3 为首项 ,6 为公差的递减等差数列所以 d6m(mz, m0) , 由166m6m2 ，所以 d125 分所以数列an的通项公式为an912n （ nn）6 分（） bn(2 )an13n 9(2 )n2211 n2 1( 2) 1tn24(b2b4b6b2n )2411224(1n )7 分248n2448n24(2 n2 n1)tn24nn2n122n48n12 (2 n1)n于是确定tn 与2n的大小关系等价于比较21与 2n1 的大小2由 2211 ， 2221， 23231 ， 24241 ，可猜想当 n3 时， 2n2n19 分证明如下：证法 1 ：（1 ）当 n3 时，由上验算可知成立.（ 2 ）假设 nk 时， 2 k2 k1 ，k 1k则 2222(2 k1)4k22( k1)1(2 k1)2(k1)1所以当 nk1时猜想也成立根据（ 1 ）（ 2 ）可知，对一切 n3 的正整数，都有2n2n1当 n1,2 时， tn48n，当 n3时 tn48n12 分证法 2 ：当 n3 时2n12 n12 n(11)nc 0c 1c n 1c nc 0c1cn 1c n2n22n1nnnnnnnn当 n1,2 时， tn48n，当 n3时 tn48n12 分2n12 n121 （本小题满分12 分）322解：（）fxln23xx ,yfx的定义域为,;23由于 fx9x1x3x213，由 fx0x1 ,321当 x,时， fx330 ；当1x,时， fx0 .3yfx 在2 ,1上为增函数；在1 ,上为减函数，33311从而 fx 极 大f ln 3.3 分36（）g xln23xm1 x ，x23gx3m13 m1 x2m1，4 分23x23 x当 m1 0 ,即 m1时， gx30 ，2 3xgx在2 ,上为增函数；5 分33 m1x2m1当 m10 ，即 m1时， gx3 m1 x2m13 m1.23x23x由 gx0x2m1,3 m12m121,3 m13m1（） 若 m1，则2m12，x2 时， gx0 ，3 m133gx在2 ,上为增函数；7 分3( )若 m1，则2m12，3 m13x2 ,2m1时， gx0 ； x2m1 ,时， gx0 ，33 m13m1gx在2 ,2m12 m1上为增函数 ,在,上为减函数 .33 m13 m1综上可知：当m1时， gx 在2 ,上为增函数；3当 m1时， gx 在22m1,上为增函数，在2 m1,上为减函数 .33m13 m1（）由aln xlnfx3x0aln xln9 分30 ,23x11x,036lnln,而aln x0 ，6323 x5要对任意11x,，不等式63aln xlnfx3x0 均成立，必须：ln323 x与 aln x 不同时为0.11 分因当且仅当1x1 时，3ln323 x=0 ，所以为满足题意必有aln 10 ， 3即 aln.12 分3222 （本小题满分14 分）解：（）设抛物线c2 : y2mx m0 ，则有y2x2mx0，据此验证4 个点知23,23、4,4 在抛物线上，易求c 2 : y4x2 分x2设 c1 ：2a41y2b 21 ab2