高二数学数学归纳法综合测试题

.选修 2-22. 3数学归纳法一、选择题1用数学归纳法证明1 112312n11) 时，第一步应验证不等式 ()a 11n2 2”这一命题，证明过程中应验证()a n1 时命题成立b. n1， n 2 时命题成立c. n3 时命题成立d. n1， n 2，n3 时命题成立 答案d 解析假设 nk 时不等式成立，即2kk22， 当 nk 1 时 2k 1 22k2( k22)由 2(k22)(k 1)2 4?k22k 30?(k 1)(k 3)0?k 3，因此需要验证 n1,2,3 时命题成立故应选 d.8. 已知 f(n) (2n7) 3n 9，存在自然数 m，使得对任意 nn *，都能使 m 整除 f(n)，则最大的 m 的值为()a 30b 26c 36 d 6 答案c 解析因为 f(1)36，f(2) 108 3 36，f(3) 360 10 36，所以 f(1)，f(2)，f(3)能被 36 整除，推测最大的m 值为 36.9. 已知数列 an 的前 n 项和 snn2an(n2)，而 a1 1，通过计算 a2、a3、a4，猜想 an()a.2 (n 1)22b. n(n1)2c. n2 12d. 2n 1 答案b 解析由 snn2an 知 sn1(n1)2an1 sn1sn(n 1)2an1 n2an an1(n 1)2an 1 n2an ann1n2an(n 2)当 n 2时， s 4a ，又 s a a ，a a1122212233a 234a2 ， a4 a3.1316510由 a11，a23，a36，a410111猜想 an2n(n1)，故选 b.10对于不等式n2nn1(n n)，某学生的证明过程如下：(1)当 n1 时，12 1 11，不等式成立(2)假设 nk(k n)时，不等式成立，即 1时，(k1)2(k1) k2 3k 2 k2 k2(n2)2 证明当 n 2 时，左 10右， 不等式成立 假设当 nk(k 2， kn*)时，不等式成立111k2即232k12成立111那么 nk1 时， 2 32k11 k1 k11k12 12 2 1k211k211122k 1 2k2 2k2k 2kk222k12k(k 1)22， 当 nk1 时，不等式成立据 可知，不等式对一切nn *且 n2 时成立17在平面内有 n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这 n 条直线将它们所在的平面分成n2 n 22个区域 证明(1)n2 时，两条直线相交把平面分成4 个区域， 命题成立(2)假设当 n k(k2)时， k 条直线将平面分成k2 k 22块不同的区域，命题成立当 nk 1 时，设其中的一条直线为l，其余 k 条直线将平面分k2 k 2成2块区域，直线 l 与其余 k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这 k 个点将 l 分成 k 1 段，每段都将它所在的区域分成两部分， 故新增区域 k 1 块从 而k 1条 直 线 将 平 面 分 成(k 1)2(k1) 22块区域所以 nk1 时命题也成立k2 k 22 k 1 由(1)(2)可知，原命题成立18(2010 衡水高二检测 )试比较 2n2 与 n2 的大小(n n*)，并用数学归纳法证明你的结论 分析由题目可获取以下主要信息：.此题选用特殊值来找到2n2 与 n2 的大小关系；利用数学归纳法证明猜想的结论 解答本题的关键是先利用特殊值猜想 解析当 n1 时， 2124n21， 当 n 2 时， 22 2 6n24，当 n 3 时， 23 2 10n2 9， 当 n 4 时， 24 2 18n2 16， 由此可以猜想，2n2n2(n n*)成立下面用数学归纳法证明：(1) 当 n1 时，左边 21 2 4，右边 1， 所以左边 右边，所以原不等式成立当 n 2 时，左边 2226， 右边 22 4，所以左边 右边；当 n 3 时，左边 23210，右边 32 9， 所以左边 右边(2) 假设 nk 时(k3 且 kn *)时，不等式成立， 即 2k 2k2.那么 nk1 时，2k 1 2 22k 22(2k2) 22k2