长郡中学理实班自主招生考试数学试卷

2015 年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷一、选择题：本题有6 小题，每小题5 分，共 30 分1（5 分）方程（ x2+x1）x+3=1 的所有整数解的个数是（）a5 个 b4 个 c3 个 d2 个2（ 5 分）如图，已知等边 abc外有一点 p，p 落在 bac内，设 p 到 bc、ca、 ab的距离分别为 h1，h2，h3，满足 h2+h3h1=6，那么等边 abc的面积为（）a4b8c9d123（5 分）若 1a0，则一定是（）a最小， a3 最大 b最小， a 最大c最小， a 最大d最小，最大4（5 分）如图，将 ade绕正方形 abcd的顶点 a 顺时针旋转 90，得 abf，连接 ef交 ab 于 h，则下列结论错误的是（）aaeaf bef： af=： 1c af2=fh?fedfb： fc=hb：ec5（5 分）在 abc中，点 d，e 分别在 ab， ac上，且 cd与 be相交于点 f，已知 bdf的面积为 10， bcf的面积为 20， cef的面积为 16，则四边形区域adfe的面积等于（）a22b24c36d446（5 分）某医院内科病房有护士15 人，每 2 人一班，轮流值班，每8 小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）a30b35c56d448二、填空题：本题有6 小题，每小题5 分，共 30 分7（5 分）若 4sin2a4sinacosa+cos2a=0，则 tana=8（5 分）在某海防观测站的正东方向12 海浬处有 a、b 两艘船相会之后， a 船以每小时 12 海浬的速度往南航行， b 船则以每小时3 海浬的速度向北漂流则经过小时后，观测站及a、b 两船恰成一个直角三角形9（ 5 分）如图，在坐标平面上， 沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为 4、2，则通过 a，b，c 三点的拋物线对应的函数关系式是10（ 5 分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起已知大球的半径为20cm，小球半径 5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm 11（ 5 分）物质 a 与物质 b 分别由点 a（2，0）同时出发，沿正方形bcde的周界做环绕运动，物质a 按逆时针方向以 1 单位/ 秒等速运动，物质b 按顺时针方向，以2 单位/ 秒等速运动，则两个物质运动后的第2015 次相遇地点的坐标 是12（ 5 分）设 c1， c2，c3，为一群圆，其作法如下：c1 是半径为 a 的圆，在c1 的圆内作四个相等的圆c2（如图），每个圆 c2 和圆 c1 都内切，且相邻的两个圆 c2 均外切，再在每一个圆c2 中，用同样的方法作四个相等的圆c3，依此类推作出 c4， c5，c6，则（1） ）圆 c2 的半径长等于（用 a 表示）；（2） ）圆 ck 的半径为（ k 为正整数，用 a 表示，不必证明）三、解答题：本题有4 个小题，共 60 分13（ 12 分）如图，四边形abcd内接于圆 o，且 ad 是圆 o 的直径， dc与 ab的延长线相交于e点， ocab（1） ）求证： ad=ae；（2） ）若 oc=ab=4，求 bce的面积14（ 14 分）已知抛物线y=x2+2px+2p2 的顶点为 m，（1） ）求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；（2） ）设抛物线与 x 轴的交点分别为 a，b，求实数 p 的值使 abm 面积达到最小 15（ 16 分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元 / 每人）15007000当比赛进行到 12 轮结束（每队均要比赛12 场）时， a 队共积 19 分（1） ）试判断 a 队胜、平、负各几场？（2） ）若每一场每名参赛队员均得出场费500 元，设 a 队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为w（元），试求 w 的最大值16（ 18 分）已知：矩形 abcd（字母顺序如图）的边长ab=3，ad=2，将此矩形放在平面直角坐标系xoy 中，使 ab在 x 轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x1 经过这两个顶点中的一个（1） ）求出矩形的顶点a、b、c、d 的坐标；（2） ）以 ab为直径作 m ，经过 a、b 两点的抛物线， y=ax2+bx+c 的顶点是 p 点若点 p 位于 m 外侧且在矩形 abcd内部，求 a 的取值范围；过点 c 作m 的切线交 ad 于 f 点，当 pf ab 时，试判断抛物线与y 轴的交点 q 是位于直线 y=x1 的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由2015 年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题有6 小题，每小题5 分，共 30 分1（5 分）（ 2015?天心区校级自主招生）方程（x2+x1）x+3=1 的所有整数解的个数是（）a5 个 b4 个 c3 个 d2 个【分析】 方程的右边是 1，有三种可能，需要分类讨论 第 1 种可能：指数为 0，底数不为 0；第 2 种可能：底数为 1；第 3 种可能：底数为 1，指数为偶数【解答】 解：（1）当 x+3=0，x2+x10 时，解得 x= 3；（ 2）当 x2+x 1=1 时，解得 x=2 或 1（ 3）当 x2+x 1=1，x+3 为偶数时，解得x= 1因而原方程所有整数解是3， 2，1， 1 共 4 个 故选 b【点评】本题考查了：a0=1（ a 是不为 0 的任意数）以及 1 的任何次方都等于1本题容易遗漏第 3 种可能情况而导致误选c，需特别注意2（5 分）（2015?天心区校级自主招生）如图，已知等边abc 外有一点p，p落在 bac内，设 p到 bc、ca、ab的距离分别为h1，h2，h3，满足 h2+h3 h1=6， 那么等边 abc的面积为（）【分析】 先设等边三角形abc 的边长为 a，连接 pa、pb、pc，根据 s pab+spac【分析】 在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可【解答】 解：若 1a0，a 可取 0.001，那么 a3=0.000 000 001，=0.1，=1000，最小， a3 最大， 故选 a【点评】考查实数的大小比较； 选择一个合适的具体的数， 代入所给代数式比较， 可以简化比较的步骤4（5 分）（2001?黑龙江）如图，将 ade绕正方形 abcd的顶点 a 顺时针旋转90，得 abf，连接 ef交 ab于 h，则下列结论错误的是（）aaeaf bef： af=： 1c af2=fh?fedfb： fc=hb：ec【分析】 由旋转得到 afb aed，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得【解答】 解：由题意知， afb aedaf=ae， fab= ead， fab+bae=ead+ bae= bad=90aeaf，所以 a 正确； aef是等腰直角三角形，有ef：af=：1，所以 b 正确； hbec， fbh fce，fb：fc=hb：ec，所以 d 正确 aef与 ahf不相似，af2=fh?fe不正确 故选： c【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质， 全等三角形的判定和性质求解5（5 分）（2015?天心区校级自主招生）在 abc 中，点 d， e 分别在 ab，ac上，且 cd与 be相交于点 f，已知 bdf的面积为 10，bcf的面积为 20， cef 的面积为 16，则四边形区域 adfe的面积等于（ ）a22b24c36d44【分析】 可设 s adf=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系， 进而用 m 表示出 aef，求出 m 的值，进而可得四边形的面积【解答】 解：如图，连 af，设 sadf=m， s bdf： s bcf=10：20=1：2=df：cf，则有 2m=s aef+sefc，s aef=2m 16，而 sbfc：s efc=20： 16=5： 4=bf： ef，又 sabf：s aef=bf： ef=5： 4，而 sabf=m+sbdf=m+10， s abf： s aef=bf：ef=5：4=（m+10）：（ 2m 16），解得 m=20s aef=22016=24，sadef=s aef+s adf=24+20=44故选 d【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算6（5 分）（2015?天心区校级自主招生）某医院内科病房有护士15 人，每 2 人一班，轮流值班，每8 小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班， 最长需要的天数是（）a30b35c56d448【分析】此题可运用排列组合解答， 15 人，每 2 人一班，轮流值班，则有 c 2=10515种组合，一天是 24 小时，8 小时 1 班，24 除以 3=每天 3 个班 再用 105 除以 3=35天【解答】 解：由已知护士 15 人，每 2 人一班，轮流值班，得：有 c 2=105 种组合，15又已知每 8 小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班， 所以最长需要的天数是105（ 248）=35（天）故选： b【点评】 此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15 人，每 2 人一班有多少种组合， 再由每 8 小时换班一次， 某两人同值一班后， 到下次两人再同班求出最长需要的天数二、填空题：本题有6 小题，每小题5 分，共 30 分7（ 5 分）（2015?天心区校级自主招生） 若 4sin2a4sinacosa+cos2a=0，则 tana=【分析】 先解一元二次方程，再根据锐角三角函数的定义得出即可【解答】 解： 4sin2a4sinacosa+cos2a=0，（ 2sinacosa） 2=0， 2sina cosa=0， 2sina=cosa，tana=， 故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和解一元二次方程等知识点，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握8（5 分）（2015?天心区校级自主招生）在某海防观测站的正东方向12 海浬处有 a、b 两艘船相会之后， a 船以每小时 12 海浬的速度往南航行， b 船则以每小时 3 海浬的速度向北漂流则经过2小时后，观测站及a、b 两船恰成一个直角三角形【分析】 根据题意画出图形，设经过x 小时后，观测站及a、b 两船恰成一个直角三角形，在 rtobc、rtoca和 rt abo中分别应用勾股定理，即可求出x 的值【解答】 解：如下图所示，设经过 x 小时后，观测站及a、b 两船恰成一个直角三角形， 则 bc=3x， ac=12x，在 rtobc中，根据勾股定理得： 122+（3x）2=ob2；在 rtoca中，根据勾股定理得： 122+（12x）2=ao2；在 rtabo中，根据勾股定理得： ob2+ao2=ab2=（15x） 2； 122+（3x）2+122+（ 12x）2=（15x） 2， 解得： x=2 或 2（舍去）即经过 2 小时后，观测站及a、b 两船恰成一个直角三角形 故答案为： 2【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中， 先根据题意画出图形是解题关键9（5 分）（2015?天心区校级自主招生）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴 摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过 a， b， c 三点的拋物线对应的函数关系式是y=x2x+【分析】 根据矩形的性质，利用矩形边长得出a，b，c 三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可【解答】 解：沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，a 点的坐标为：（ 4，2），b 点的坐标为：（ 2，6），c 点的坐标为：（ 2，4），将 a，b，c 代入 y=ax2+bx+c，解得：，二次函数解析式为： y=x2x+ 故答案为： y=x2x+【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出 a，b，c 三点坐标是解决问题的关键10（5 分）（2015?天心区校级自主招生） 桌面上有大小两颗球， 相互靠在一起 已知大球的半径为20cm，小球半径 5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20cm【分析】 首先根据题意作图，可得：a 与b 外切， a， b 与 cd分别相切于 c，d，ac=20cm，bd=5cm，然后过点 b 作 be ac，又由切线的性质，即可得四边形 ecdb是矩形，则在rt aeb中，即可求得be 的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离cd的长【解答】 解：如图，根据题意得：a 与 b 外切， a，b 与 cd 分别相切于c，d，ac=20cm， bd=5cm，ab=25cm，ac cd， bdcd， acd=bdc=90，过点 b 作 be ac， bec=90，四边形 ecdb是矩形，be=cd，ec=bd=5cm，ae=acec=15cm，在 rtaeb中， be=20（cm）， cd=20cm 故答案为： 20【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识此题综合性较强， 难度适中， 解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法11（ 5 分）（2015?天心区校级自主招生）物质a 与物质 b 分别由点 a（ 2， 0）同时出发，沿正方形bcde的周界做环绕运动，物质a 按逆时针方向以1 单位/ 秒等速运动，物质b 按顺时针方向，以2 单位/ 秒等速运动，则两个物质运动后的第 2015 次相遇地点的坐标是（， 2）【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质 b 是物质 a 的速度的 2 倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答【解答】解：正方形的边长为 4，因为物质 b 是物质 a 的速度的 2 倍，时间相同， 物质 a 与物质 b 的路程比为 1：2，由题意知：第一次相遇物质a 与物质 b 行的路程和为161，物质 a 行的路程为16=，物质 b 行的路程为 16=，在 bc边相遇；第二次相遇物质a 与物质 b 行的路程和为 162，物质 a 行的路程为 16 2=，物质 b 行的路程为 162=，在 de边相遇；第三次相遇物质a 与物质 b 行的路程和为 163，物质 a 行的路程为 16 3=16，物质 b 行的路程为 163=32，在 a 点相遇；第四次相遇物质a 与物质 b 行的路程和为 164，物质 a 行的路程为 16 4=，物质 b 行的路程为 164=，在 bc边相遇；第五次相遇物质a 与物质 b 行的路程和为 165，物质 a 行的路程为 16 5=，物质 b 行的路程为 165=，在 de边相遇；综上可得相遇三次一个循环，因为 2015=3 671+2，即第 2015 次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第2015 次相遇在边 de 上，点的坐标是（， 2）故答案为：（， 2）【点评】此题属于应用类问题， 主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大12（ 5 分）（ 2015?天心区校级自主招生）设c1，c2， c3，为一群圆，其作法如下： c1 是半径为 a 的圆，在 c1 的圆内作四个相等的圆c2（如图），每个圆 c2 和圆 c1 都内切，且相邻的两个圆c2 均外切，再在每一个圆c2 中，用同样的方法作四个相等的圆 c3，依此类推作出 c4， c5，c6，则（1） ）圆 c2 的半径长等于（用 a 表示）；（2） ）圆ck的半径为（1 ）k 1 a（k 为正整数，用 a 表示，不必证明）【分析】（1）连接 ab、bc、cd、ad，ac，设小圆的半径是 r，根据圆与圆相切， 得到 ac=2a2r，根据正方形的性质和勾股定理得到 ac=2 r，推出方程 2a 2r=2 r，求出即可；（ 2）求出 r=（1）a，r3=（ 1） r=a，r4=，得出圆 ckk的半径为 r =（ 1 ）k1 a 即可【解答】（1）解：连接 ab、bc、cd、ad，ac， 设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，ac=2a2r，四边形 abcd是正方形，ab=bc， b=90，由勾股定理得： ac=2r， 2a2r=2r，解得： r=（ 1） a， 故答案为：（1）a（ 2）解：由（ 1）得： r=（1） a，同理圆 c3 的半径是 r 3=（1）r=a， c4 的半径是 r4=，圆 ck 的半径为 rk=（ 1 ）k1 a， 故答案为： rk=（ 1 ）k1 a【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理， 相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键三、解答题：本题有4 个小题，共 60 分13（ 12 分）（ 2015?天心区校级自主招生）如图，四边形abcd内接于圆 o，且 ad 是圆 o 的直径， dc与 ab 的延长线相交于 e 点， oc ab（1） ）求证： ad=ae；（2） ）若 oc=ab=4，求 bce的面积【分析】（1）根据 o 为 ad 中点， oc ae，得到 2oc=ae，再根据 ad 是圆 o 的直径，得到 2oc=ad，从而得到 ad=ae；（ 2）根据平行四边形的性质得到bcad，再根据 c为中点，得到 ab=be=4，从而求得 bc=be=，4求面积即可然后连接bd，得到 dbe=90，进而得到be=bc=ce=，4 然后【解答】（本小题满分 12 分）解：（ 1） o 为 ad 中点， ocae， 2oc=ae，又 ad 是圆 o 的直径， 2oc=ad，ad=ae（ 2）由条件得 abco是平行四边形，bcad，又 c为中点， ab=be=4，ad=ae，bc=be=，4连接 bd，点 b 在圆 o 上， dbe=90， ce=bc=，4即 be=bc=ce=，4【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理14（14 分）（2015?天心区校级自主招生） 已知抛物线 y=x2+2px+2p2 的顶点为m，（1） ）求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；（2） ）设抛物线与 x 轴的交点分别为 a，b，求实数 p 的值使 abm 面积达到最小【分析】（1）先判断出的符号即可得出结论；（ 2）设 a（x1，0），b（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出 | ab| 的表达式，设顶点 m（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到 b=（ p1）21，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答【解答】 解：（1） =4p28p+8=4（p1）2+4 0，抛物线与 x 轴必有两个不同交点（ 2）设 a（x1， 0），b（x2， 0），则| ab| 2=| x2x1| 2=（ x1+x2）24x1x2=4p2 8p+8=4（p1）2+4，| ab| =2又设顶点 m（a，b），由 y=（x+p）2（ p1）21得 b=（ p1）2 1当 p=1 时， | b| 及| ab| 均取最小，此时 s abm=| ab|b| 取最小值 1【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、 二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键15（ 16 分）（2015?天心区校级自主招生）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元 / 每人）15007000当比赛进行到 12 轮结束（每队均要比赛12 场）时， a 队共积 19 分（1） ）试判断 a 队胜、平、负各几场？（2） ）若每一场每名参赛队员均得出场费500 元，设 a 队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为w（元），试求 w 的最大值【分析】（1）首先假设 a 队胜 x 场，平 y 场，负 z 场，得出 x+y+z=12，3x+y=19， 即可得出 y， z 与 x 的关系，再利用x 0，y0，z0，得出即可；（ 2）根据图表奖金与出场费得出w=（1500+500） x+（700+500）y+500z，进而得出即可【解答】 解：（1）设 a 队胜 x 场，平 y 场，负 z 场，得，可得：依题意，知 x0，y0，z 0，且 x、y、z 均为整数，解得： x，x 可取 4、5、6a 队胜、平、负的场数有三种情况： 当 x=4 时， y=7，z=1；当 x=5 时， y=4，z=3； 当 x=6 时， y=1，z=5（ 2） w=（1500+500） x+（700+500）y+500z= 600x+19300当 x=4 时， w 最大， w 最大值 = 6004+19300=16900（元） 答： w 的最大值为 16900 元【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出 x+y+z=12， 3x+y=19，进而得出 y， z 与 x 的关系是解题关键16（ 18 分）（ 2015?天心区校级自主招生）已知：矩形abcd（字母顺序如图）的边长 ab=3， ad=2，将此矩形放在平面直角坐标系xoy 中，使 ab 在 x 轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x1 经过这两个顶点中的一个（1） ）求出矩形的顶点a、b、c、d 的坐标；（2） ）以 ab为直径作 m ，经过 a、b 两点的抛物线， y=ax2+bx+c 的顶点是 p 点若点 p 位于 m 外侧且在矩形 abcd内部，求 a 的取值范围；过点 c 作m 的切线交 ad 于 f 点，当 pf ab 时，试判断抛物线与y 轴的交点 q 是位于直线 y=x1 的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形abcd 中， ab=3， ad=2，设 a（ m，0）（ m0），则有 b（m+3，0）； c（ m+3，2），d（m，2）；然后若 c点过 y=x1 与 c点不过 y=x 1 分析，即可求得矩形的顶点a、b、c、d 的坐标；（ 2） m 以 ab 为直径，即可求得m 点的坐标，又由y=ax2+bx+c 过 a（