函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题精品资料1、设f ( x)2xlg lg x，其定义域为。2、设f ( x)ln( x1)，其定义域为。3、设f ( x)arcsin(x3)，其定义域为。4、设f ( x) 的定义域是 0 ， 1 ，则f (sin x)的定义域为。5、设 yf ( x) 的定义域是 0 ， 2，则 yf ( x2 ) 的定义域为。26、 lim x2 xk4，则 k=。x3x3x7、函数 ysin x有间断点，其中为其可去间断点。sin 2x8、若当9、 lim (x0 时 ， fnn22(x)，且 fx)n2( x)在x0 处连续，则。f (0)。nn1n2nn10 、函数f ( x)在 x0 处连续是f ( x) 在x0 连续的条件。11 、 limx(x31)( x 22x 53 x2)。5 x312 、lim (1n2 )knnx2e 3，则 k=。113 、函数 yx23 x1的间断点是。214 、当 x时，是比xx3x1的无穷小。15 、当 x0 时，无穷小 11x 与 x 相比较是无穷小。16 、函数 y1e x 在 x=0 处是第类间断点。3 x117 、设y， 则 x=1 为 y 的间断点。x118 、已知 f33 ，则当 a 为时，函数f (x)asin x1 sin 3x在3x处连续。3sin xx019 、设f (x)2 x若 limf ( x) 存在，则 a=。1x0(1ax) xx020 、曲线 yxsin x x 22 水平渐近线方程是。21 、f (x)4x21x 21的连续区间为。22 、设f (x)xa,x0在 x0 连续 ，则常数cosx,x0a=。二、计算题1、求下列函数定义域1（1 ） y1x 2；（ 2）ysinx；（3 ） y1ex；2、函数f ( x) 和g(x) 是否相同？为什么？（1 ）f ( x)ln x2,g( x)2 ln x；（2 ）f ( x)x,g(x)x2；（3 ）f ( x)1,g( x)sec2 xtan2 x；3、判定函数的奇偶性（1 ） yx2 (1x 2 )；（ 2 ） y3x 2x3；（3 ） yx( x1)( x1)；4、求由所给函数构成的复合函数（1） ） yu 2,u2sin v,vx；（2） ） yu,u1x 2；（3） ） yu 2,uev,vsin x；5、计算下列极限11（1 ） lim (11；（ 2 ） lim 123(n1)；)n2n242nn22x5x2x1（3 ） lim；（ 4 ） lim2；x2x3x 1x1（5 ） lim (11 )(21；（ 6 ） lim x2x22；)23xxxx2 ( x2)（7 ） limx 2 sin 1；（ 8 ） limx21；x0xx13x1x（9 ）limx(x12xx)；6、计算下列极限sin wx（1 ） lim；（ 2 ） limsin 2x；x0xx0 sin 5x（3 ） limxcot x；（ 4） lim (x) x；x0x1xx（5 ） lim (1 x 11；（ 6 ）x；)lim (1x)xx1x037、比较无穷小的阶（1） ） x0时， 2 xx2与x2x；（2） ） x1时， 1x与1 (12x 2 )；8、利用等价无穷小性质求极限（1 ） limtan xsin x3；（ 2 ） limsin(xn )m(n , m是正整数 )；x0sin xx0 (sin x)9、讨论函数的连续性f ( x)x1,x3x,x1在 x1。110 、利用函数的连续性求极限（1 ） limx6ln( 2 cos2x)；（ 2）lim (x 2xxx2x )；（3 ） lim lnsin x；（ 4 ） lim (11 ) 2 x；x0xxx（5） ） 设f ( x)lim (1x) n, 求 lim f (1)；nnt1t1（6） ） limxx ln( x1；)x111 、设函数f ( x)ex,x0 ax,x0应当怎样选择a，使得f ( x)成为在 (，) 内的连续函数。12 、证明方程x53x1至少有一个根介于1 和 2 之间。（ b）1、设f ( x) 的定义域是 0 ， 1 ，求下列函数定义域（1 ） yf (ex )（ 2 ） yf (ln x)2、设f ( x)0,xox,x0g(x)0,x0x 2,x0求f f ( x),g g(x),f g( x),g f ( x)3、利用极限准则证明：（1 ） lim111（ 2 ）limx 1 1 ；nnx0x（3 ）数列2,22,222,的极限存在；4、试比较当x0 时 ，无穷小 2 x3x2 与 x 的阶。5、求极限22x3 x 1（1 ）limx(xx1x)；（ 2）lim ()；x2x1（3） ） limtan xsin x3；x0xxx（4） ） lim ( ab1xc) x(a0 , b0 , c0)；x036、设f ( x)x sin 1,x0x要 使 f(x)在(,) 内连续，ax 2,x0应当怎样选择数a ？7、设f ( x)1e x 1,x0求 f (x) 的间断点，并说明间断点类型。ln(1x),1x01、已知2f ( x)ex,f ( x)（c）1x，且( x)0 ，求( x) 并写出它的定义域。2、求下列极限：（1 ）、limcos ln( 1x)cos ln x；（ 2）、 lim1xnsixcosx；xx0x（3 ）、求limx3 x25 x5sin 23x；（ 4 ）、已知lim ( xxxa) xa9，求常数 a。（5 ）、设f ( x)在闭区间 a , b 上连续，且f (a)a,f (b)b，证明：在开区间( a , b) 内至少存在一点，使 f ()。第一章 函数与极限习 题 解 析（ a）一、填空题（1 ） (1,2（ 2 ） (1,)（ 3） 2 ， 4（4 ） x2kx(2k1),kz（ 5 ） 2,2 （6 ） -3（ 7） xk, kz1;x03（ 8） 2（ 9） 1（10 ）充分（11 ）2（ 12 ）2（ 13 ）x=1 , x=2（ 14）高阶（15 ）同阶（16 ）二（ 17）可去（ 18） 2（ 19） -ln2（20 ） y=-2（ 21） 2 , 1(1 , 2（22 ） 1二、计算题1、（ 1）（ 2）(, 0 ,1)(1 , 1)(1 ,（3） (), 0)(0 ,)2、（ 1）不同，定义域不同（ 2）不同，定义域、函数关系不同（ 3）不同，定义域、函数关系不同3、（ 1）偶函数（ 2）非奇非偶函数（ 3 ）奇函数4、（ 1） y(sin x2 )21（ 2 ） y1x2 （ 3 ） ye2 sin x 5、（ 1） 2 （ 2 ） 2（ 3 ） -9（ 4） 0（ 5 ） 2（ 6）1（ 7） 0（8 ）222（ 9）21216、（ 1）w（ 2 ）5（ 3） 1（4 ）e（ 5） e（ 6 ） e7、（ 1） 2xx2是x2x3的低阶无穷小（ 2 ）是同阶无穷小18、（ 1）20（ 2）1,mn,mn,mn9、不连续10 、（ 1 ）0（ 2） 1（ 3 ） 0（ 4） e2（ 5 ） 0（ 6） -211 、a=1（ b）1、（ 1）提示：由0ex1解得： x(, 0 （ 2）提示：由0ln x1 解得： x 1 , e 2、提示：分成xo 和 x0 两段求。f f ( x)f ( x)， g g( x)0，f g(x)0 ,gf (x)g(x)4、（ 1）提示： 11111nn（2）提示：x ( 11 )xx 1 x1 xxx（ 3）提示：用数学归纳法证明：an222xx2325、提示：xxx2131xx令 21t （同阶）6、（ 1）提示：乘以x211x；（ 2 ）提示：除以212 x； e（ 3）提示：用等阶无穷小代换；2（ 4）提示：a xb x(3x1c) xxxxa1b1c31ax131 bx 1 cx 1ax 1bx 1 cx3x1（ 3 abc ）7、提示：limf ( x)limf ( x)f (0)（ a0 ）x0x08、 x1 是第二类间断点， x0 是第一类间断点（c ）1、解：因为fxe 2 ( x)1x，故( x)ln(1x)，再由ln(1x)0 ，得： 1x1，即 x0 。所以：( x)ln(1x)， x0。2、解：原式 = lim1 xsin xcos2 x= lim 1x sin xsin2 xx0 x(1xsin xcosx)x0 2x= 1 limsin x ( xsin x)=02 x0x223、解：因为当x时 ， sin，xx则 lim3 x25 sin 2 =lim3x2526 x2= lim2106=x5 x3xx5x3xx5x3 x5xa xxa1xea2a4、解：因为：