柯西不等式教学设计

柯西不等式教学设计一、教学目标：1、 知识目标：（ 1）认识二维柯西不等式的两种形式：1 代数形式；2 向量形式。（ 2）学会二维柯西不等式的两种证明方法：1 代数方法；2 向量方法。（ 3）了解一般形式的柯西不等式，并学会应用及探究其证明过程。2、 能力目标：（ 1）学会运用柯西不等式解决一些简单问题。（ 2）学会运用柯西不等式证明不等式。（ 3）培养学生知识迁移、自主探究能力。3、 情感、态度、价值观目标：通过对柯西不等式的学习，使学生感受数学的美妙，提高数学素养， 激发学习兴趣。二、教学重点与难点：1、 教学重点：（ 1）二维柯西不等式的两种形式及其证明：1 代数形式；2 向量形式。（ 2）探究一般的柯西不等式形式。2、 教学难点：（ 1）柯西不等式的证明思路。精品资料（ 2）运用柯西不等式解决问题。三、教学方法：探究法、讲述法。四、教学过程及内容：1、 单刀直入， 通过基本不等式a 2b22ab 引出平方和与乘积的关系，直接引入主题 (a 2b2 )( c2d 2 )( a, b, c, d为实数 ) ：【师】：同学们，以前我们学习了基本不等式a 2b 22ab ，它反映的是两个实数的平方和与乘积的大小关系，今天我们将学习一个著名的不等式柯西不等式，它 的 形 式 上 也 含 有 平 方 和 与 乘 积 。 下 面 我 们 先 来 看 一 下 这 个 式 子(a 2b 2 ) (c2d 2 ) ( a,b ,为c ,实d 数)【生】：全神贯注地看黑板。【师】：在黑板展示：(a 2b 2 )( c2d 2 )=a 2 c2b2d 2a2 d 2b 2c22222222222由于 a cb da db c(acbd )(adbc)因此 ( a2b 2 )( c2d 2 )(acbd )2(adbc) 2所以 ( a2b 2 )( c2d 2 )(acbd )2当且仅当adbc0 时，等号成立。【师】：这就是柯西不等式中最简单的形式，即它的二维形式。2、 讲解二维柯西不等式定理，并给出两个相关推论：二维形式的柯西不等式：若 a,b,c, d 都是实数，则(a 2b 2 )( c2d 2 )(acbd ) 2当且仅当adbc0 时，等号成立。推论一：a2b2c2d 2acbd推论二：a 2b2c2d 2acbd3、 练习巩固新知识：例一：已知a, b为实数，证明：(a 4b4 )( a2b2 )(a3b3 )2【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯西不等式，(a 4b4 )( a2b 2 )( a2 )2(b 2 )2 ( a2b 2 )(a 2ab 2b)2(a 3b3 )2例二：求函数y3x546x 的最大值。【生】：动笔演算。【分析】：此题首先想到利用倒数求解，此方法可行，但是过程相对繁琐。【讲解】：函数的定义域为5,6 ，观察式子形式，可以用推论二。即y3x546x(3242 )( x5)(6x)5 。当且仅当 4x536x ，即x134 时，函数有最大值5 。254、 讲解柯西不等式的向量形式：在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，(a,b),(c, d ),精品资料,0, ，则| cosacbd精品资料又|a2b2 ,|c2d 2 ,而| | cos| |即| acbd |a2b2c2d 2当且仅当,共线时，等号成立，即adbc柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数k ，使得k时，等号成立。又称之为cauchy-schwarz不等式。5、 通过柯西不等式的向量形式，将二维形式推广到三维，得到三维形式的柯西不等式： 三维形式的柯西不等式：(a 2a2a 2 )(b 2b2b 2 )(a ba ba b )21231231 12 23 3当且仅当 bi0(i1,2,3)，或存在 k使得 aikbi (i1,2,3) 时，等号成立。6、 三维柯西不等式巩固练习：例三：设x1, x2 , x3 为正数，求证：( x1xx )( 111 )932x1x2x3【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯西不等式，(xxx )( 111 )(x1x1x1 )29123123x1x2x3x1x2x37、 探究一般形式的柯西不等式：【师】：同学们类比一下二维和三维的柯西不等式，猜想一下一般形式的柯西不等式会是怎么样呢？2222222【生】：踊跃回答：( a1a2+an )( b1b2 +bn )(a1b1a2b2 +anbn )【师】：很好！同学们都很聪明，那么怎么证明这个一般形式的柯西不等式呢？它又是在什么样的条件下才能使得等号成立呢？这个问题留给同学们课后思考。（提示：用向量证明。 ）下面我们先来看一个例题：例四：设x1 , x2 , xnr, 求证：x2x 2x2x 212n 1n xxxxxxx12n23n1【讲解】：在不等式左端乘以因式x1x2xn，由柯西不等式，得x 2x 2x2x212n 1n( xxxx )xxxx23n123n12x1x2x2x3222xn 1xnxnx12222x2x1x3xx2xnx1xxn 1xxnx23x2x3n1xnx1x1x22xn,2222于是 x1x2x2x3xn 1xnxn x1x2xnx18、 小结：总结代数形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式，注意提醒学生等号成立的条件。五、板书设计：柯西不等式二维形式的柯西不等式：若 a,b,c, d 都是实数，则(a 2b 2 )( c2d 2 )(acbd ) 2当且仅当adbc0 时，等号成立。推论一：a2b2c2d 2acbd推论二：a 2b2c2d 2acbd柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数k ，使得k时，等号成立。三维形式的柯西不等式：(a 2a2a 2 )(b 2b2b 2 )(a ba ba b )21231231 12 23 3当且仅当 bi0(i1,2,3) ，或存在 k使得 aikbi (i1, 2,3,)时，等号成立。一般形式的柯西不等式：(a 2a 2+