高考山东理科数学试题及答案解析

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第 卷（共 50 分）2一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（ 1）【 2015 年山东，理1】已知集合 x | x4x30 ， b x | 2x 4 ，则 ab（）（ a） 1,3（b ） 1,4（ c） 2,3（ d）2,4（ 2）【 2015 年山东，理2】若复数 z 满足z1ii ，其中 i 是虚数单位，则z（）（ a） 1i（ b） 1i（ c）1i（ d ）1i（ 3）【 2015 年山东，理3】要得到函数ysin(4x) 的图象，只需将函数3y sin 4x 的图像（）（ a）向左平移个单位（ b ）向右平移个单位（ c）向左平移个单位（ d）向右平移个单位1212333 a232（ b）a32（ c）a32（ d）a2442（ 4）【 2015 年山东，理4】已知菱形abcd 的边长为 a ，（ a）abc60 ，则=（）（ 5）【 2015 年山东，理5】不等式 | x1| x5|2 的解集是（）（ a） (,4)（ b ） (,1)（ c） (1,4)（ d） (1,5)（ 6）【 2015 年山东，理6】已知x, y 满足约束条件xy0xy2 若 zaxy 的最大值为4，则 a（）y0（ a） 3（ b） 2（ c） -2（ d） -3（ 7）【 2015 年山东，理7】在梯形abcd中，abc， ad / /bc ， bc22ad2ab2 将梯形abcd绕 ad 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（ a） 2234（ b）35（ c）3（d ） 22（ 8）【 2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布n (0,3) ，从中随机取一件，其 长 度 误 差 落 在 区 间3, 6 内 的 概 率 为 （）（ 附 ： 若 随 机 变 量服 从 正 态 分 布p()68. 2 6，% p(22)95.44% ）n (,)， 则2（ a） 4.56%（ b ） 13.59%（ c） 27.18%（d ） 31.74%2（ 9）【 2015 年山东，理9】一条光线从点( 2,3) 射出，经y 轴反射与圆( x3)所在的直线的斜率为（）( y2)1相切，则反射光线（ a）5 或332（ b）或54（ c）或43（ d）或35234534（ 10）【2015 年山东，理10】设函数2f ( x)3x 2x ,1, xx1,则满足1.f ( f (a)2 f ( a ) 的取值范围是（）2（a ） ,13（b ） 0,1（ c） ,) 3第 ii卷（共 100 分）（ d） 1,)二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分（ 11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：00c14 ;011c3c34 ;0122ccc4 ;照此规律，当nn * 时， c0c1c 2c n 1555012332n 12 n12n12n 1c7c7c7c74 ;（ 12）【2015 年山东，理12】若 “ x0,tan4xm ”是真命题，则实数m 的最小值为（ 13）【2015 年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的t 的值为（ 14）【2015 年山东， 理 14】已知函数f (x)axb (a0,a1) 的定义域和值域都是1,0 ，则 abx2y2（ 15 ）【 2015 年山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线c1 :a2b21(a0,b0) 的渐近线与抛物线2c2 : x2 py( p0) 交于点o, a, b ，若oab的垂心为c2 的焦点，则c1 的离心率为三、解答题：本大题共6 题，共 75 分（ 16）【2015 年山东，理16】（本小题满分12 分）设f ( x)sin xcosxcos2 (x) 4（）求f (x) 的单调区间；（）在锐角abc中，角a, b,c 的对边分别为a, b, c ，若af ()0,a21 ，求abc面积（ 17）【2015 年山东，理17】（本小题满分12 分）如图，在三棱台defabc 中，ab2de,g, h 分别为 ac, bc 的中点（）求证：bd / / 平面 fgh ；（）若 cf平面 abc， abbc,cfde ,bac45 ，求平面 fgh 与平面acfd所成角（锐角）的大小（ 18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12 分）设数列 an 的前 n 项和为（）求数列 an 的通项公式；sn ，已知 2sn3n3 （）若数列bn 满足anbnlog3 an ，求数列 bn 的前 n 项和 tn （ 19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若 n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数 ”（如 137， 359， 567 等）在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 “三位递增数 ”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数 ” 的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不能被10 整除，得 -1 分；若能被10整除，得 1 分（）写出所有个位数字是5 的“三位递增数 ”；（）若甲参加活动，求甲得分x 的分布列和数学期望ex （ 20）【2015 年山东，理20】（本小题满分13 分）平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c : xy2222ab1(ab0) 的离心率为32，左、右焦点分别是f1, f2 ,以f1 为圆心，以3 为半径的圆与以f2 为圆心，以1 为半径的圆相交，交点在椭圆c 上（）求椭圆c 的方程；x2y2（）设椭圆 e :221 ，p 为椭圆 c 上的任意一点， 过点 p 的直线 ykxm 交椭圆 e 于a, b 两点，4a4b射线 po交椭圆 e 于点 q （ i）求 | oq | 的值；（ ii ）求abq 面积最大值| op |（ 21）【2015 年山东，理21】（本题满分14 分）设函数f (x)ln(x1)a( x2x) ，其中 ar （）讨论函数f ( x) 极值点的个数，并说明理由；（）若x0 ，f ( x)0 成立，求 a 的取值范围2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第 卷（共 50 分）2一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（ 1）【 2015 年山东，理1】已知集合 x | x4x30 ， b x | 2x4 ，则 ab（）（ a） 1,3（b ） 1,4（ c） 2,3（d ） 2,4【答案】 c【解析】a x | x24x30 x |1x 3 ， ab(2,3) ，故选 c（ 2）【 2015 年山东，理2】若复数z 满足z1ii ，其中 i 是虚数单位，则z（）（ a） 1i（ b） 1i（ c）1i（ d ）1i2【答案】 a【解析】z(1i)iii1i ， z1i ，故选 a （ 3）【 2015 年山东，理3】要得到函数ysin(4x) 的图象，只需将函数3y sin 4x 的图像（）（ a）向左平移个单位（ b ）向右平移个单位（ c）向左平移个单位（ d）向右平移个单位121233【答案】 b【解析】ysin 4(x) ，只需将函数y12sin 4x 的图像向右平移个单位，故选b12（ 4）【 2015 年山东，理4】已知菱形abcd 的边长为 a ，abc60 ，则=（）（ a）【答案】 d32a（b ）232a（ c）43322a（d ）a42【解析】由菱形abcd 的边长为 a ，abc60 可知bad18060120 ，2232bd cd( adab) (ab)abadaba a cos120aa ，故选 d2（ 5）【 2015 年山东，理5】不等式 | x1| x5|2 的解集是（）（ a） (,4)（ b ） (,1)（ c） (1,4)（ d） (1,5)【答案】 a【解析】当x1时， 1x(5x)42 成立；当 1x5 时， x1(5x)2x62 ，解得 x4 ，则1x4 ；当 x5 时， x1(x5)42 不成立综上x4 ，故选 a （ 6）【 2015 年山东，理6】已知x, y 满足约束条件xy0xy2 若 zaxy 的最大值为4，则 a（）y0（ a） 3（ b） 2（ c） -2（ d） -3【答案】 b【解析】由zaxy 得 yaxz ，借助图形可知：当a1，即 a1时在 xy0 时有最大值0，不符合题意；当 0a1 ，即1a0 时在 xy1 时有最大值a14, a3 ，不满足1a0 ；当1a0 ，即 0a1 时在 xy1 时有最大值a14, a3 ，不满足 0a1 ；当a1，即 a1 时在 x2, y0时有最大值2a4,a2 ，满足 a1，故选 b （ 7）【 2015 年山东，理7】在梯形abcd中，abc， ad / /bc ， bc22ad2ab2 将梯形abcd绕 ad 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（ a） 234（ b）35（ c）3（d ） 2【答案】 c【解析】 v122112 15，故选 c33（ 8）【 2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布22n (0,3) ，从中随机取一件，其 长 度 误 差 落 在 区 间3, 6 内 的 概 率 为 （）（ 附 ： 若 随 机 变 量服 从 正 态 分 布p()68. 2 6，% p(22)95.44% ）n (,)， 则（ a） 4.56%（ b ） 13.59%（ c） 27.18%（d ） 31.74%【答案】 d【解析】p(36)1 (95.44%68.26%)13.59% ，故选 d2（ 9）【 2015 年山东，理9】一条光线从点( 2,3) 射出，经y 轴反射与圆( x所在的直线的斜率为（）3)2( y2) 21相切，则反射光线（ a）5 或332（ b）或54（ c）或43（ d）或35234534【答案】 d【解析】 ( 2,3)关于 y 轴对称点的坐标为(2,3) ，设反射光线所在直线为y3k( x2), 即kxy2k30 ，则 d|3k22k3|1,|5k5 |2k1 ，解得 k4 或3 ，故选 dk 2134（ 10）【2015 年山东，理10】设函数f ( x)3x 2x ,1, xx1,则满足1.f ( f ( a)2 f ( a ) 的取值范围是（）（a ）2,13（ b） 0,1（ c） 2) 3（ d） 1,),【答案】 c【解析】由f ( f ( a)2 f (a ) 可知f (a)1 ，则a1a1a或，解得 a2 ，故选 c213a113第 ii卷（共 100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分（ 11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：00c14 ;011c3c301cc4 ;22c4 ;照此规律，当nn * 时， c0c1c 2c n 1555012332n 12 n12n12n 1c7【答案】【解析】c74 n 1c 0c7c74 ;c1c2cn 11 (2c 02c12c 22cn 1 )2n 12n12 n 12n12n212n12n12n 11 ( c 02 n 11c)(cc222n)(cc3nn2n1)(cc)22n 12 n 12n12n 12 n 12n12n 12 n 11 (c0c1c 2c n 1c nc 2n 1 )122n 14 n 12n 12 n 12n 12n 12 n 12 n 122（ 12）【2015 年山东， 理 12】若“ x【答案】 10,tan4xm ”是真命题， 则实数 m 的最小值为【解析】 “ x0,tan4xm ”是真命题，则mtan1，于是实数m的最小值为1t 的值为4（ 13）【2015 年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的【答案】 116【解析】 t111 200xdxx dx11111 236（ 14）【2015 年山东， 理 14】已知函数【答案】32f (x)axb (a0,a1) 的定义域和值域都是1,0 ，则 ab【解析】当a1时ab1 ，无解；当01a1 时ab0，解得 b2,a1 ，则 ab123 1a0b0a0b122222（ 15 ）【 2015 年山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线xy:c122ab1(a0, b0) 的渐近线与抛物线2c : x2【答案】322 py( p0) 交于点o, a, b ，若oab 的垂心为c2 的焦点，则c1 的离心率为222222【解析】c : xy1(a0,b0) 的渐近线为yb x ，则a( 2 pb , 2 pb), b(2 pb , 2 pb )122aba22 pbpaaaac : x22 py( p0) 的焦点pf (0,)，则 ka2a ，即 b5 ， c2ab9c3222， e22222af22 pbbaa4aa4a2三、解答题：本大题共6 题，共 75 分（ 16）【2015 年山东，理16】（本小题满分12 分）设f ( x)sin xcosx2cos (x) 4（）求f (x) 的单调区间；（）在锐角abc 中，角a, b, c 的对边分别为a, b, c ，若af ()0,a 21 ，求abc 面积解：（）由f ( x)1 sin 2x11cos(2x)1 sin 2x11 sin 2xsin 2x1 ，2222222由 2k2x2k2, kz 得 kxk 24, kz ，4则 f ( x) 的递增区间为k, k, kz ；44由 2k2x2k3, kz 得 kxk3, kz ，2244则 f ( x) 的递增区间为k, k3, kz 44a11（）在锐角abc 中，f ()sin a0,sin a，a，而 a1 ，2226由余弦定理可得1b2c22bccos 62bc3bc(23)bc ，当且仅当bc 时等号成立，即 bc123 ， s1112323 abcbcsinabc sinbc故abc 面积的最大值为23226444（ 17）【2015 年山东，理17】（本小题满分12 分）如图，在三棱台defabc 中，ab2de, g, h 分别为 ac, bc 的中点（）求证：bd / / 平面 fgh ；（）若 cf平面 abc ， abbc, cfde, acfd 所成角（锐角）的大小bac45 ，求平面 fgh 与平面解：（）证明：连接dg ， dc ，设 dc 与 gf 交于点 t ，在三棱台defabc 中， ab2de ，则 ac2df ，而 g 是 ac 的中点， dfac ，则 df / /gc ，所以四边形dgcf 是平行四边形，t 是 dc 的中点， dgfc 又在bdc ，是 bc的中点，则thdb ，又 bd平 面 fgh ， th平面 fgh ，故bd / /平面 fgh （）由 cf平面 abc ，可得 dg平面 abc 而， abbc ，bac45 ，则 gbac，于是 gb, ga, gc 两两垂直，以点g 为坐标原点，ga, gb,gc 所在的直线，分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，设 ab2 ,则decf1, ac22, ag2 ,b(0,2,0), c (2,0,0), f (2,0,1), h (2 ,2 ,0) ，则平面 acfd 的一个法向量为22n1(0,1,0) ，设平面fgh 的法向量为n(x, y , z2n2 gh0x) ，则，即222 y022，2222n2gf02 x2z20取 x21，则 y21, z22 ， n2(1,1, 2) ，cosn1,n211 ，故平面 fgh 与平面 acfd 所成角（锐角）的大小为60 1122n（ 18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12 分）设数列 an 的前 n 项和为（）求数列 an 的通项公式；sn ，已知 2sn33 （）若数列bn 满足anbnlog3 an ，求数列 bn 的前 n 项和 tn 解：（）由 2sn3n3 可得n1a1s11(33)3 ， ansnsn 11n(33)1 n 1(33)3(n2) ，1而 a331 1 ，则 a2223,n1nn13, n11n1（）由an bnlog3an 及 a3,nnn 11，可得 bnlog 3 an33, n1ann13n 1n11123tn23n11tn 1 ，n11232234n2n1n 1n，3333333333332 t111111n111( 1111)n1n223n 1n223n 1n33333333333333311n2339113n1213n1132n1nnnn3922 33182 3t132n1n124 3n 1（ 19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若 n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数 ”（如 137， 359， 567 等）在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 “三位递增数 ”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数 ” 的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不能被10 整除，得 -1 分；若能被10整除，得 1 分（）写出所有个位数字是5 的“三位递增数 ”；（）若甲参加活动，求甲得分x 的分布列和数学期望ex 解：（） 125， 135， 145， 235， 245，345；384c2c 21c1 c1c 211（） x 的所有取值为 -1， 0， 1 p( x0) c 3, p( x31) c 3, p( x1)14444c342甲得分 x 的分布列为：999x0-112111p31442ex021( 1)1114 3144221x 2y 222（ 20）【2015 年山东，理20】（本小题满分13 分）平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c :ab1(ab0) 的离心率为32，左、右焦点分别是f1, f2 ,以f1 为圆心，以3 为半径的圆与以f2 为圆心，以1 为半径的圆相交，交点在椭圆c 上（）求椭圆c 的方程；2222（）设椭圆 e :xy1 ，p 为椭圆 c 上的任意一点， 过点 p 的直线 ykxm 交椭圆 e 于a, b 两点，4a4b射线 po交椭圆 e 于点 q （ i）求 | oq | 的值；（ ii ）求abq 面积最大值| op |22xy3c3222解：（） 由椭圆c :a 2b21(ab0) 的离心率为可知 e22 a，而 abc则 a22b, c3b ， 左、右焦点分别是f1 (3b,0), f2(3b,0) ,圆 f1 ： ( x23b)y9, 圆 f2 ： ( x23b)2y1,由两圆相交可得223b4 ，即 13b2 ，交点 (2,1(3b22) ) 在椭圆 c 上，3b1(223b)则43b2221 ，整理得4b45b210 ，解得b21 ， b21 （舍去），3b4bb42故 b21， a24 ，椭圆 c 的方程为xy 21 42（）（ i）椭圆 e 的方程为xy 221 ，设点p(x2, y ) ，满足 x0y1 ，射线po : yy0x(xx0) ，x2y 216400| oq |04(2x ) 20x0(2 y ) 2代入1 可得点q( 2x,2 y) ，于是002 1640022| op |xy（ii ）点00q( 2x0 ,2 y0 ) 到直线 ab距离等于原点o 到直线 ab距离的 3 倍：ykxm22|2kx0d2 y0m |23| m |，xy 2，得 x24(kxm)216 ，1k1k1164整理得 (14 k 2 ) x28kmx4m2160 222264k 2 m216(4 k21)(m24)16(16k 24m2 )0 ， | ab |1k16(16k4m )11| m | m |16k214k4m2222m16k4m2s| ab | d3416k 24m26612 ，2214k 214k 22(4 k1)222当且仅当 | m |16k4m , m8kx22 等号成立2ykxm而直线 ykxm 与椭圆 c :4y 21 有交点 p ，则x24 y2有解，4即 x24( kxm)24,(14k2 )x28kmx4m240 有解，其判别式64k 2 m216(14k 2 )( m21)16(14k 2m2 )0 ，即 14k 2m ，12则上述 m28k22 不成立，等号不成立，222设 t| m |(0,1 ，则 s6 | m |16k4m6(4t)t在 (0,1 为增函数，于是当14k14k2m2 时14k 2s max6(41) 163 ，故abq 面积最大值为12（ 21）【2015 年山东，理21】（本题满分14 分）设函数f (x)ln(x1)a( x2x) ，其中 ar （）讨论函数f ( x) 极值点的个数，并说明理由；（）若x0 ，f ( x)0 成立，求 a 的取值范围解：（）f ( x)ln(x1)a( x2x) ，定义域为( 1,) ，2f (x)1a(2 x1)a(2 x1)( x1) 12axax1a ，设g( x)2ax2ax1a ，x1x1x1当 a0 时，g( x)1, f( x)10 ，函数22x1f ( x) 在 ( 1,) 为增函数，无极值点当 a0 时，a8a(1a)9a8a ，若 0a8时0 ，9g (x)0, f(x)0 ，函数f (x) 在 ( 1,) 为增函数，无极值点若 a89时0 ，设g( x)0 的两个不相等的实数根x1 , x2 ，且x1x2 ，且 xx1，而 g( 1)10 ，则1x1x ，所以当 x( 1,x ), g(x)0, f( x)0, f ( x) 单调12递增；当x2( x1 , x2 ), g( x)0, f124(x)0, f ( x) 单调递减；当x1( x2 ,), g( x)0, f(x)0, f ( x) 单调递增因此此时函数f (x) 有两个极值点；当 a0 时0 ，但g(1)10 ， x11x2 ，所以当 x(1,x2 ), g (x)0, f( x)0, f ( x) 单调递増；当x( x2 ,),g( x)0, f( x)0, f ( x) 单调递减，所以函数只有一个极值点综上可知当0a极值点8 时 f ( x) 的无极值点；当a90 时 f ( x) 有一个极值点；当a8 时， f ( x) 的有两个9（）由（）可知当0a8 时9f ( x) 在 (0,) 单调递增，而f (0)0 ，则当 x(0,) 时，f (x)0 ，符合题意；当 8a91时，g(0)0, x20 ， f ( x) 在 (0,) 单调递增，而f (0)0 ，则当 x(0,) 时，f (x)0 ，符合题意；当 a1时，g (0)0, x20 ，所以函数f ( x) 在 (0,x2 ) 单调递减，而f (0)0 ，则当 x(0,x2 ) 时，f ( x)0，不符合题意；当 a0 时，设h( x)xln( x1) ，当 x(0,) 时 h (x)11x0 ，x11xh(x) 在 (0,) 单调递增，因此当x(0,) 时 h( x)h(0)0,ln( x1)0 ，于是 f (x)xa(x2x)ax2(1a)x ，当 x11 时 ax2(1 aa) x0，此时 f (x)0 ，不符合题意2综上所述，a 的取值范围是0a1 另解：（）f ( x)ln( x1)a( xx) ，定义域为( 1,)f (x)1a(2x1)a(2x1)(x1)12ax2ax1a ，x1x1x1当 a0 时，f (x)10 ，函数x1f (x) 在 ( 1,) 为增函数，无极值点2设 g( x)2axax1a, g(1)1,2a8a(12a)9a8a ，当 a0 时，根据二次函数的图像和性质可知g( x)0 的根的个数就是函数f ( x) 极值点的个数若a(9a8)0 ，即 0a8 时， g(x)0 ，9f ( x)0 函数在 ( 1,) 为增函数，无极值点若a(9a8)0 ，即 a8 或 a90 ，而当 a0 时 g ( 1)