泰勒公式典型例题_第1页
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文档简介

例 1用泰勒公式，证明：当x1 时，.证设，则 f (x)当 x1 时有二阶导数，且.将 f (x)点 x=1 处依泰勒公式展开，得即由于，故 f (x)0，即.从而例 2设 f (x)在a, b上连续，在 (a, b)内二阶可导，若，则在(a, b)内至少有一点，使证由泰勒公式，得令，代入得精品资料相减，得设则例 3验证当时，按公式计算的近似值， 所产生的误差小于0.01 ；并求的近似值， 使误差小于0.01.解因为公式右边是的三阶麦克劳林公式， 故误差又已知，从而，故误差例 4求函数按(x 4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.解由于，故因此其中介于 x 与 4 之间.例 5 利用泰勒公式求极限解例 6求函数在 x = 0 处的 n 阶导数(n3)解由 f (x)和的麦克劳林公式比较的系数得故五、练习题1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.(1)(2) sin18 （答： (1)； (2) 0.3090 ，误差为）2、设函数 f (x)在( 1, 1) 内具有二阶连续导数，且，试证：对于任意非零，存在唯一的，使成立，且.（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）3、求函数的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.（答：）4、利用泰勒公式求极限（答：）5、求函数的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式（答：）welc
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