2020年整合湖北省武汉华中师范大学第一附属中学自主招生考试数学试题-word版含解析名师精品资料

华师一附中2015 年高中招生考试数学测试题详解考试时间 :80 分钟卷面满分 :150 分一.选择题（ 6 分6=36 分）2221, 如果实数a,b, c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式aabc2aca可以化简为a. abcb.abcc. abcd.abc【解析】由图知bca0 ,故a2aa,abab ,c22aca2caaca2abc242aca2aabacabc ,选 d .2. 反比例函数y的图象与直线ykxb 交于 ax1,m, b n,1两点 ,则 oab 的面积为a.11b.4c.15d. 13222【解析】（补形）xy4.a1, m代入:-m4,m4;b n,1代入:n4 .故有 a（ 1,4）,b（ 4,1） .作 ae y 轴于 e,bd x 轴于 d .可知：aoe bod .且 s aoes bod1142 .22延长 ea,db 交于 c,则四边形cdoe 是边长为4 的正方形 ,且s cdoe416, abc是腰长为3 的等腰直角三角形,且s abc1329 .22于是 oab 的面积为s abc1622915223. 设x , x 是一元二次方程x2x30 的两根 ,则 x34x215 等于1212a. 4b.8c.6d.0【解析】（降次）由韦达定理: xx1x1x .x2x3, x2x312121122x34x215x3x241x153xx24 12xx2151211111115x2x344 ,故选 a.114442 2224. 已知a, b,c分别是abc 的三边长,且满足2a2bc2 a c2b c,则 abc是a. 等腰三角形b.等腰直角三角形c.直角三角形d.等腰三角形或直角三角形注: 原题条件不完整（是代数式而不是条件等式）,故无法解出 .为试卷完整起见,将原题条件调整为 :已 知 a,b,c分别是abc的 三 边 长 , 且 满 足2a 42b 4c42a 2c22b 2c20 , 则abc 是?.2【解析】由条件得:4a 44b 42c44a 2c24b 2c20,2即 2a 2c22b 2c20,c22 a 22b 2, 或ab且a 2b2c2 .故 abc 是等腰直角三角形,选 b.5. 在一节 3 数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住, 这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）a.802b.4010c.2517d.100【解析】当3 个正方形按如图排列时,其外接圆直径最小 .显然 ,这个圆是等腰梯形abcd 的外接圆o,这里 ab cd 且 cd =40,ab =80.设此等腰梯形的对称轴交ab 于 m,交 cd 于 n,则 mn =80. ab cd , omon.设 om=40 x,on=40+ x,圆半径为r . aom 中, r 2 don 中, r 2402202240x1240x2（ 1）（ 2）： 1200160 x0,x15,代入（ 2）2r 240090251062562517 ,r2517.4442故所求最小圆的直径为2r257 ,故选 c.6. 如图 , abc 内接于圆o,bc=36, a=60 ,点 d 为 bc 上一动点 ,be直线 od 于 e,当点 d 由 b 点沿 bc 运动到点c 时,点 e 经过的路线长为a.123b.83c.273d.54【解析】（轨迹法）如解图,连结 ob,分别在bc 上取b, d1 , d2 , d3 , c, 其中od2bc ,则相应的动点依次为b, e1 , e2 , e3 , n .be1obe2obe3obno90.故点 e 的轨迹是 ob为直径的优弧be2 n .已知 bc=36, be218.boe 2 是含 30角的直角三角形, ob123 .设 m 为 ob 的中点（优弧圆心）,连 mn .则圆 m 的半径 mb= 63 .注意到 boc=120, bon =60,bmn =120, 优弧be2n 之长为圆m 周长的2 ,l3be2 n226383. ,故选 b.3二.填空题（ 77=49 分）7. 方程x3164xx1 的所有根的和为【解析 1】 x34 x24 x160 .根据广义韦达定理,此方程 3 根之和为4.即x1x2x3b , 这里a a1,b4【解析 2】由原方程得 :x4x2x20,x14, x22,x32.x1x2x34 .8. 在 5 瓶饮料中 ,有 2 瓶已过了保质期,随机地从这5 瓶饮料中取2 瓶,取到至少有1 瓶过保质期饮料的概率为【解析】（正繁则反）由于从这5 瓶饮料中任取2 瓶,没有过期饮料的概率为3 , 故取 2 瓶,取到至少有1 瓶过保质期饮料的概率为5132552 a9. 关于 x 的方程a1 无解,则 a 的值是x1【解析】由原方程得: 2aa1x11关于 x 的方程（ 1）只有唯一解x1 ,代入（ 1）得 a0 ,此时原方程无解;又在方程（ 1）中令 a1, 得 a0 .矛盾 .此时方程（ 1）无解 ,从而原方程无解.故若原方程无解,则必 a0或1 .10. 一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶,1 小时后 ,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为x（ h）,两车之间的距离为y（ km） ,y 与 x 的函数图象如图所示,则 a【解析】慢车12.5 小时走完全程,12.5x1000x80 km设快车速度为t（ h） 1 小时后两车相距800km,即1 小时两车共行200km, t=120km（h） a 小时后两车相遇,此时慢车走80akm,快车走 120（ a1） km,故有 :80a120 a11000200a1120,a5.6 h11. 已知 a4,当1x3时,函数 y22 x3ax4 的最小值为23,则 a =【解析】 原式配方得 : y22 x3 a49 a,抛物线开口向上且对称轴为x3 a .当 a4时, 3 a43 ,故当 1x4843 时,y 随 x 增大而减小 .故当 x=3 时有:2323a 34239a45,a5.12. 如 图 , 在 单 位 为1的 正 方 形 的 网 格 纸上 ,a 1a 2 a 3,a 3 a 4a 5 ,a 5a 6 a 7 , 都是斜边在x轴上 ,且斜边长分别为2,4,6,? 的等腰直角三角形. 若a 1a 2a 3的顶点分别为a 12,0,a21,-1,a30,0,则依图中的规律, a 2015 的坐标为【解析】注意到点a1 , a3 , a5, a2 n1 全在x 轴上 ,设其横坐标依次为x1 , x3 , x5 , x2015 .继续分析 .点 a 4 n1 都在原点右边,其横坐标取正值,点 a 4 n1 都在原点左边（其中a3 为原点） ,其横坐标取0 或负值（其中仅a3 横坐标为0） . 2015=4504 1,故 a2015 必在原点左边,其横坐标必为负值.易求 x3x4 1 10, x7x4 2 1021, x11x4 3 10224,x2015x4 504 1025031006,故所求点a 的坐标为 : a20151006,0 .13. 有一张矩形风景画,长为90cm,宽为60cm,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形, 要求其长 ,宽之比与原风景画的长,宽之比相同 ,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为a cm,左 ,右边衬都为b cm,那么 ab【解析】依题意有:902 a602b9032a6022b3 （据等比定理）2故 2a又:3b902a1602b9060144100120a180b4ab54442（ 1）代入（ 2）： 60 3b180b6b 25444b 260b3960.解得： b6或b66 舍 ,从而 a9,ab54 .三.解答题14.（ 14 分）已知m,n 是方程x23 x10 的两根 ,（ 1）求m5162m102的值 ;5m3mm33（ 2）求mn的值nm【解析】（ 1）2m3m10, 故m5162m102m5m5162 m525m3mmm5m3m2 m2922m23m12 m320 .m3mmm（ 2） m,n 是方程 x23 x10 的两根 ,m n3mn1m3n3m3n3m3n3m4n4设 x, 则 x2nm222n mnmmnm2n2mn1,x2m2n22m2n2222mn2mn292493x7,即mn3=7.nm15.（ 15 分）如图 , abc 中,ac=bc,i 为 abc 的内心 ,o 为 bc 上一点 ,过 b,i 两点的圆o交 bc 于 d 点, tancbi1 , ab6,3（ 1）求线段bd 的长 ;（ 2）求线段bc 的长【解析】（ 1）如解图 ,i 为 abc 内心,故 bi 平分abc .设 abi= cbi =.连 ci ,并延长交ab 于 e, ca=cb, ce ab,且ae=be=3.于是ie=betan311, bi3321210 .连 di , bd 为圆 o 的直径 , bid =90.于是101010dibitan, bd10.393（ 2）连 oi , oi =ob= 5 , doi =2,故 oi ab,3coi cbe,oicobecb53co3co5 353co,93co5co25 , bc25515.12123416.（ 18 分）如图 ,四边形 abcd中,ad bc, bcd =90,ad =6,bc=3,de ab 于e,ac 交 de 于 f,（ 1）求 aeab 的值 ;（ 2）若 cd =4,求 affc的值 ;（ 3）若 cd =6,过 a 点作meam cd ,交 ce 的延长线于m , 求ec的值 .【解析】（1）如解图1,作 agbc ,交cb 延长线于g,则四边形agcd 为矩形 .gc=ad=6, 但 bc=3, gb=3.已知 de ab 于 e, agb dea.于是 abbgabaeadbg adae18.（ 2）延长 ab ,dc 交于 h. ad bc,且ad =2bc, bc 为 ahd 的中位线 ,故ch =dc =4. 由勾股定理知ah =10,ab=bh =5.沿 de ,cb 交于 t,有 aed bte.rtadh 中,de ah,ae2ad3618 ,beabaeah1875.于是55105btbebt7 577716adae,bt618185,ct3333由 afd cft ,知afadfcct69.16 38（ 3）如解图3 有abbh35,ae366 ,eh6562465555 aem hec ,meaeeceh651 .244517.（18分）二次函数y4 x22 mxn的图象与x轴交于a x1,0, bx2 ,o 两点 x1x2,与 y 轴交于 c 点.（ 1）若 ab=2,且抛物线的顶点在直线y= x 2 上,试确定 m,n 的值 ;（ 2）在（ 1）中 ,若点 p 为直线 bc 下方抛物线上一点,当 pbc 的面积最大时,求 p 点坐标;（ 3）是否存在整数m,n,使得 1x12,1x22, 同时成立 ?请证明你的结论.【解析】（ 1） ab=2x1x2x2x122m2m2x2x14 x2 x14 .由韦达定理 :x1 x2,故有 :n44n41抛物线的顶点为m4nm2,代入 y=x 2:444nm2mm2m2n22 代入（ 1）：44442m0,m48, 从而 n12 .（ 2）在（ 1）的条件下 ,有： y24 x16x12此抛物线的顶点为（2, 4）,交 x 轴于 a（ 1,0） ,b（ 3,0） ,交 y 轴于c(0,12）易求直线 bc 的解析式为y4 x12 .为使 pbc 面积最大 ,只需点 p 与直线 bc 距离最远 .设过 p 且平行于 bc 的直线解析式为y4 xb ,代入抛物线解析式;4 x216x124 xb4 x212x12b0.令14416 12b0912b,b3 .此时有 x3 , y4333.即所求点的坐标为22p3 ,3.2（ 3）（反证法）假如存在这样的整数m,n, 使得方程4x22mxn0 之2 根满足1x