最新必修一函数经典例题资料

例 4已知 logm 4log n 4 ，比较 m ， n 的大小。11解： log m 4log n 4 ，log 4 mlog 4 n当 m1， n1时，得 011，log 4 mlog 4 n log 4 nlog 4 m， mn1当 0m1， 0n1时，得110 ，log 4 mlog 4 n log 4 nlog 4 m， 0nm1 当 0m1， n1 时，得log 4 m0 ， 0log 4 n ， 0m1， n1 ， 0m1n 综上所述，m ， n 的大小关系为mn例 5求下列函数的值域：1或 0nm1 或0m1n （ 1） ylog 2 ( x3) ；（ 2） ylog 2 (3x2 ) ；（ 3） ylog(x24x7)（ a0 且 a1 ）a解：（ 1）令 tx3 ，则 ylog 2 t ， t0 ， yr ，即函数值域为r （ 2）令 t3x2 ，则 0t3 ，2 ylog 2 3 ， 即函数值域为(,log2 3 （ 3）令 tx4 x7(x2) 233 ，当 a1 时， yloga3 ， 即值域为 log a 3,) ，2当 0a1时， ylog a 3 ， 即值域为 (,loga 3 例 6判断函数f ( x)log 2 (x1 x)的奇偶性。解：x21x 恒成立，故f (x)的定义域为(,) ，f (x)log2 (log 2log 2x21x)1x21xx21x(x21) 2x22log 2x1xf ( x) ，所以，f (x) 为奇函数。例 7求函数y2log( x2133x2) 的单调区间。解：令ux23 x2 (x3 )213在,) 上递增，在(3, 上递减，24222又 x3 x20 ， x2 或 x1，故 ux23x2 在 (2,) 上递增， 在 (,1) 上递减，又 y2 log 1 u 为减函数，3所以，函数y2log( x23x132) 在 (2,) 上递增，在(,1) 上递减。例 8若函数ylog( x2axa) 在区间 (,13) 上是增函数，a 的取值范围。2解：令ug( x)2xaxa ，函数 ylog 2 u 为减函数，2 ug( x)xaxa 在区间 (,13) 上递减，且满足u0 ，a132，解得 223a2 ，g(13)0所以， a 的取值范围为223, 2 例 1已知函数f ( x)2xbxc 满足f (1x)f (1x) ，且f (0)3 ，则xf (b ) 与xf (c ) 的大小关系是 分析：先求 b，c 的值再比较大小，要注意bx，cx 的取值是否在同一单调区间内解：f (1x)f (1x) ，函数f ( x)的对称轴是x1故b2 ，又 f (0)3 ， c3 函数f ( x) 在，1上递减，在1， 上递增若 x 0 ，则 3x 2x 1 ，f (3x )f (2 x ) ；若 x0 ，则 3 x2x1 ，xxf (3 )xf (2 ) 综上可得f (3 x )f (2 x ) ，即f ( c ) xf (b ) 评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2. 求解有关指数不等式( a例 2已知23x2a5)21 x2a5)(a，则 x 的取值范围是 2分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围2x解： a2a5(a1)4 41 ，2函数 y(a2a5) 在 ( ， )上是增函数， 3 x1x ，解得 x11 x 的取值范围是， 44评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3. 求定义域及值域问题例 3求函数 y16 x 2的定义域和值域解：由题意可得16x2 0 ，即 6x2 1 ， x2 0 ，故x 2 函数f ( x)的定义域是 ，2 令t6 x 2 ，则 y1t ，又 x 2 ， x2 0 06x2 1 ，即 0t 1 0 1t1 ，即 0 y1 函数的值域是0，1 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响x4. 最值问题2 x例 4函数 ya2a1(a0且a1) 在区间 1，1上有最大值 14，则 a 的值是 x2 xx2分析：令tax 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围解：令ta，则 t0 ，函数 ya2a1 可化为 y(t1)2 ，其对称轴为t1 当 a1 时， x1，1 ， 1 ax a ，即 1 t a a当 ta 时，aymax(a21)214 解得 a3 或 a5 （舍去）；当 0a1 时， x1，1 ，xaa1at1，即a ，at1 时，aymax211214 ，a111解得 a或 a（舍去）， a 的值是 3 或353评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5. 解指数方程例 5解方程3 x 232 x80 解：原方程可化为x 29(3 )x80390 ，令 tx3 (t0) ，上述方程可化为9t 280t90 ，1x解得 t9 或 t（舍去）， 39 ， x92 ，经检验原方程的解是x2 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根x6. 图象变换及应用问题例 6为了得到函数y93x5 的图象，可以把函数y3 的图象（）a向左平移9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度b向右平移9 个单位长度，再向下平移5 个单位长度c向左平移2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度d向右平移2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度分析：注意先将函数y93x5 转化为 t3x 25 ，再利用图象的平移规律进行判断xx 2x解： y93535 ，把函数y3 的图象向左平移2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度，可得到函数y93x5 的图象，故选（ c）评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等习题1、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2） 若（3） 若，比较，比较与与；（4） 若（5） 若，且，且，比较 a 与 b；，比较 a 与 b解：（ 1）由，故，此时函数为减函数由，故（2） 由，故又，故从而（3） 由，因，故又，故从而（4） 应有因若，则又，故，这样又因，故从而，这与已知矛盾（5） 应有因若，则又，故，这样有又因，且，故从而，这与已知矛盾小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解2 曲线分别是指数函数,和的图象 , 则与 1 的大小关系是().(分析: 首先可以根据指数函数单调性, 确定, 在轴右侧令, 对应的函数值由小到大依次为, 故应选.小结: 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目, 第(1) 题是由数到形的转化, 第(2)题则是由图到数的翻译, 它的主要目的是提高学生识图, 用图的意识 .求最值3 求下列函数的定义域与值域.1(1) y 2 x3 ;(2)y 4x +2x+1+1.1解： (1) x-3 0， y2 x 3 的定义域为 x xr且 x3 . 又110， 2 x 3 1，x3y2 x13 的值域为 yy0 且 y1.(2)y 4x+2x+1 +1 的定义域为r. 2x 0, y 4x+2x+1 +1 (2 x) 2 +2 2x +1 (2 x +1) 2 1.xy4 +2x+1+1 的值域为 y y1 .34 已知 -1 x2, 求函数 f(x)=3+2x+1 -9 x 的最大值和最小值解：设 t=3x, 因为 -1 x2，所以 1t39 ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当 t=3 即 x=1 时， f(x)取最大值 12 ，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值 -24 。5、设，求函数的最大值和最小值分析： 注意到，设，则原来的函数成为， 利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设，由知，函数成为，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为6（ 9 分）已知函数ya 2 x2 ax1(a1) 在区间 1,1 上的最大值是14，求 a 的值.解：ya 2 x2 a x1(a1) ，换元为 yt 22t1( 1taa) ，对称轴为 t1 .当 a1 ， ta ，即 x=1 时取最大值，略解得 a=3 ( a= 5舍去)7. 已知函数（且）（1） 求的最小值；（2）若，求的取值范围解：（ 1），当即时，有最小值为（2） ，解得当时，；当时，28（ 10分）（1）已知f (x)xm 是奇函数，求常数m的值；31（2）画出函数y| 3x1 | 的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程 k无|3解？有一解？有两解？ 解： （ 1）常数 m=1（2）当k0时，直线 y=k与函数 y| 3 x1 | 的图象无交点 ,即方程无解 ;当k=0或k1时, 直线y=k与函数 y| 3 x1 | 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当 0k0且 a1).1(1) 求 f(x)的定义域和值域；(2) 讨论 f(x)的奇偶性； (3) 讨论 f(x)的单调性 .解： (1) 易得 f(x)的定义域为 xx r.1 , 解得 ax - y1xy a 0 当且仅当 -1 0 时，方程有解 . 解- y11y1y1y1a x设ya xf(x)的值域为 y-1 y1 .0 得-1y1 时， ax+1 为增函数，且ax +10.xxxx2为减函数，从而f(x)1-2 aa1a1a1 为增函数 .2 当 0a1 时，类似地可得f(x)1ax1ax1为减函数 .215、已知函数f（x） =ax2（ a r），1（1） 求证：对任何a r，f（ x）为增函数（2） 若 f（x）为奇函数时，求a 的值。（1） 证明：设x1 x2f（ x2） f（ x1）=2(2 x2x2 x1 )0x(121 )(12 2 )故对任何 ar， f（x）为增函数（2） xr，又 f（ x）为奇函数f (0)0得到 a10 。即 a12 x16、定义在 r 上的奇函数f ( x) 有最小正周期为2，且 x(0,1) 时，f ( x)4 x1（ 1）求f ( x) 在1，1 上的解析式； （2）判断f (x) 在（ 0， 1）上的单调性；（3） 当为何值时，方程f (x) =在 x1,1 上有实数解 .解（ 1） x r 上的奇函数f (0)0又 2 为最小正周期f (1)f (21)f (1)2 xf (1)02 x设 x（ 1， 0），则 x（ 0， 1）， f (x)4x14 x1f ( x) f ( x)2 x4 x12 x4x1x(-1,0)( 2x12