平行线的判定及性质

授课主题平行线1. 理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；-可编辑修改 -教学目的2. 掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1. 定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a 与 b 平行，记作a b 要点诠释：(1) 平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2) 有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行(3) 在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行3. 推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 要点诠释：(1) 平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质(2) 公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一（ 3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1： 同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：3 2ab cd （同位角相等，两直线平行）判定方法2： 内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：1 2ab cd （内错角相等，两直线平行）判定方法 3： 同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：4 2180ab cd （同旁内角互补，两直线平行）要点诠释： 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.要点三、平行线的性质性质 1： 两直线平行，同位角相等； 性质 2： 两直线平行，内错角相等；性质 3： 两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（ 1）“同位角相等、 内错角相等” 、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行” (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质 要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离要点诠释：（ 1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等要点五、命题、定理、证明1. 命题： 判断一件事情的语句，叫做命题 要点诠释：（ 1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（ 2）命题的表达形式： “如果，那么.”，也可写成： “若，则.”（ 3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2. 定理： 定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3. 证明： 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（ 1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等 .（ 2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可 要点六、平移1. 定义： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移 要点诠释：（ 1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离（ 2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1） 平移后，对应线段平行且相等；（2） 平移后，对应角相等；（3） 平移后，对应点所连线段平行且相等；（4） 平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、平行线例 1下列说法正确的是() a不相交的两条线段是平行线. b不相交的两条直线是平行线. c不相交的两条射线是平行线.d 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】 d例 2在同一平面内，下列说法：（ 1）过两点有且只有一条直线；（ 2）两条直线有且只有一个公共点；（3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（ 4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为： ()a 1 个b2 个c 3 个d 4 个【答案】 b【解析】正确的是： （ 1） (3).【变式 1】下列说法正确的个数是()（ 1）直线 a、 b、c、d，如果 a b、 c b、c d，则 a d.（ 2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（ 3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（ 4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行 a 1 个b .2 个c3 个d 4 个【答案】 b类型二、两直线平行的判定例 3. 如图，给出下列四个条件：（ 1）ac bd ；（ 2） dac bca ；（ 3） abd cdb ；（ 4） adb cbd,其中能使ad bc 的条件有（） . a （ 1）（2）b（ 3）（ 4）c（ 2）（ 4）d（ 1）（ 3）（ 4）【答案】 c【变式 2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后， 行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是 ()a 第一次向左拐30，第二次向右拐30b第一次向右拐50，第二次向左拐130c第一次向右拐50，第二次向右拐130d 第一次向左拐50，第二次向左拐130例 4. 如图所示，已知b 25， bcd 45， cde 30， e 10试说明ab ef 的理由 解法 1：如图所示，在bcd 的内部作 bcm 25，在 cde 的内部作 edn 10 b25， e10 (已知)， b bcm ， e edn( 等量代换 )ab cm， ef dn( 内错角相等，两直线平行) 又 bcd 45， cde 30 (已知 )， dcm 20， cdn 20 (等式性质 ) dcm cdn( 等量代换 )cm dn( 内错角相等，两直线平行)ab cm， ef dn( 已证)，ab ef(平行线的传递性)解法 2： 如图所示，分别向两方延长线段cd 交 ef 于 m 点、交 ab 于 n 点 bcd 45， ncb 135 b25， cnb 180- ncb- b 20 (三角形的内角和等于180 ) 又 cde 30，edm 150又e 10， emd 180 - edm- e 20 (三角形的内角和等于180 ) cnb emd( 等量代换 )所以 ab ef( 内错角相等，两直线平行)【变式 3】已知，如图， be 平分abd ，de 平分cdb ，且1 与2 互余，试判断直线ab、cd 的位置关系，请说明理由解： ab cd ，理由如下：be 平分 abd ，de 平分 cdb ， abd 2 1， cdb 2 2 又 1+ 290， abd+ cdb 180ab cd( 同旁内角互补，两直线平行)【变式 4】已知，如图，abbd 于 b， cdbd 于 d ，1+2=180，求证： cd/ef【答案】证明： abbd 于 b， cdbd 于 d ， ab cd 又1+2=180， ab ef cd/ef类型三、平行线的性质例 5 如图所示，如果ab df ， de bc，且 1 65那么你能说出2、 3、 4 的度数吗 ?为什么 解：de bc， 4 1 65(两直线平行，内错角相等)2+ 1 180 (两直线平行，同旁内角互补) 2 180 - 1 180 -65 115又df ab( 已知)， 3 2(两直线平行，同位角相等) 3 115 (等量代换 )【变式 5】如图，已知l1 / l 2 ,l3 / l4，且 1=48 ，则 2， 3， 4.【答案】 48， 132， 48【变式 6】如图所示，直线l 1l2，点 a、b 在直线 l2 上，点c、 d 在直线 l1 上，若 abc 的面积为s1， abd 的面积为 s2，则()a s1 s2b s1 s2c s1 s2d 不确定【答案】 b类型四、命题例 6 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的 ?画直线 ab ；两条直线相交，有几个交点；若a b，b c，则 a c；直角都相等；相等的角都是直角；如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角【答案】不是命题；是命题；是正确的命题；是错误的命题【 变式 8】把下列命题改写成“如果，那么”的形式（ 1）两直线平行，同位角相等；（2） 对顶角相等；（3） 同角的余角相等.【答案】解：（ 1）如果两直线平行，那么同位角相等.（ 2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（ 3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.类型四、平移例 7 (湖南益阳 )如图所示，将abc 沿直线 ab 向右平移后到达bde 的位置，若 cab 50， abc 100，则 cbe 的度数为 【答案】 30【变式 9】 (上海静安区一模 )如图所示，三角形 fde 经过怎样的平移可以得到三角形 abc( ) a 沿 ec 的方向移动 db 长b沿 bd 的方向移动 bd 长c沿 ec 的方向移动 cd 长d 沿 bd 的方向移动 dc 长【答案】 a类型五、平行的性质与判定综合应用例 8、 如图所示， ab ef，那么 bac+ ace+ cef () a 180b 270c 360d 540【答案】 c【解析】过点c 作 cd ab， cd ab， bac+ acd=180 (两直线平行，同旁内角互补)又ef ab ef cd dce+ cef=180 (两直线平行，同旁内角互补)又 ace acd+ dce bac+ ace+ cef bac+ acd+ dce+ cef=180 +180 =360【课后作业】一、选择题1. 下列说法中正确的有()一条直线的平行线只有一条过一点与已知直线平行的直线只有一条因为 a b， c d，所以 ad经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行a 1 个b 2 个c 3 个d 4 个2如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角()a 相等b互补c互余d 相等或互补3如图，能够判定de bc 的条件是()a dce+ dec 180b edc dcbc bgf dcbd cd ab ， gf ab 4一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是() a 第一次向右拐40，第二次向右拐140 b第一次向右拐40，第二次向左拐40c第一次向左拐40，第二次向右拐140 d 第一次向右拐140，第二次向左拐405如图所示，下列条件中，不能推出ab ce 成立的条件是()a a aceb b acec b ecdd b+ bce 1806.( 绍兴)学习了平行线后， 小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1) (4)） :从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行a.b. c. d. 二、填空题7. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是 8如图， df 平分 cde ， cdf 55， c 70，则 9. 规律探究：同一平面内有直线a1， a2， a3， a100，若 a1 a2，a2 a3， a3 a4，按此规律，a1 和 a100 的位置是 10. 已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40，则另一个角的度数是11. 直线 l 同侧有三点a 、b、c，如果 a 、b 两点确定的直线l与 b、c 两点确定的直线l都与 l 平行，则a 、b、c 三点，其依据是12. 如图， ab ef 于点 g， cd ef 于点 h ， gp 平分 egb ， hq 平分 chf ，则图中互相平行的直线有三、解答题13.如图， 1 60， 2 60， 3 100，要使ab ef， 4 应为多少度 ?说明理由14. 小敏有一块小画板(如图所示 )，她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?15. 如图， 把一张长芳形纸条abcd 沿 af 折叠，已知 adb 20，那么 baf 为多少度时， 才能使 ab bd?16. 如图所示，由1 2，bd 平分 abc ，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】 a【解析】只有正确，其它均错2. 【答案】 d3. 【答案】 b【解析】内错角相等，两直线平行4. 【答案】 b5. 【答案】 b【解析】 b 和 ace 不是两条直线被第三条直线所截所得到的角6. 【答案】 c【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点p 的折痕与虚线垂直 二、填空题7. 【答案】 0 或 1 或 2 或 3 个；8. 【答案】 bc， de ；【解析】 cfd 180 70 55 55，而 fde cdf 55，所以 cfd fde 9. 【答案】 a1 a100；【解析】为了方便，我们可以记为a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7a8 a9 a10 a97 a98a99 a100，因为 a1 a2 a3，所以 a1 a3，而 a3 a4，所