解析几何的经典结论

有关解析几何的经典结论一、椭圆1. 点 p 处的切线 pt 平分pf 1f 2 在点 p 处的外角.2. pt 平分pf 1f2 在点 p 处的外角，则焦点在直线pt 上的射影 h 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 pq 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径pf 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.精品资料5.若 p0 (x0,y0 )x2在椭圆y1 上，则过x0 xy0 yp0 的椭圆的切线方程是1.222abx2y2a2b 2x0 xy0 y6.若 p0 (x0,x2y0 )y2在椭圆221 外 ，则过 po 作椭圆的两条切线切点为p1 、p 2，则切点弦 p 1p 2 的直线方程是ab221 .ab7. 椭圆221ab(a b 0) 的左右焦点分别为f1 ，f 2，点 p 为椭圆上任意一点f1pf2，则椭圆的焦点角形的面积为12s f pfx2b2 tan.2y28. 椭圆a2b 21 （ a b 0）的焦半径公式：| mf1 |aex0 , | mf 2 |aex0 ( f1 (c,0),f2 (c,0)m ( x0 , y0 ) ).9. 设过椭圆焦点f 作直线与椭圆相交p、q 两点， a 为椭圆长轴上一个顶点，连结 ap 和 aq 分别交相应于焦点f 的椭圆准线于m、n 两点，则 mf nf.10. 过椭圆一个焦点f 的直线与椭圆交于两点p、q,a1 、a2 为椭圆长轴上的顶点，a1 p 和 a2 q 交于点 m， a 2p 和 a 1q 交于点 n，则mf nf.x2y2b211. ab 是椭圆221 的不平行于对称轴的弦，m ( x0 , y0 ) abb2 x为 ab 的中点，则komkab2 ，a即 k ab0 。a 2 y0x2y2x xy yx 2y 212. 若 p (x , y) 在椭圆1 内，则被 po 所平分的中点弦的方程是0000.000a 2b2x2y2a 2x2y2b2a2b 2x xy y13. 若 p (x , y) 在椭圆1 内，则过 po 的弦中点的轨迹方程是00.000a 2b2a2b 2a 2b2二、双曲线1. 点 p 处的切线 pt 平分pf 1 f2 在点 p 处的内角.2. pt 平分pf 1f2 在点 p 处的内角，则焦点在直线pt 上的射影 h 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 pq 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径pf 1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切： p 在右支；外切：p 在左支）25. 若 p (x, y )x2在双曲线y1 （a 0,b 0）上，则过x0 xy0 yp 的双曲线的切线方程是1.000a 2b 2x2y20a 2b 26.若 p0 (x0 , y0 )在双曲线221 （ a 0,b 0）外，则过 po 作双曲线的两条切线切点为p1 、p2 ，则切点弦p1 p2 的直abx0 xy0 y线方程是a2x2y2b21.7. 双曲线221 （ a 0,b o）的左右焦点分别为f1，f 2 ，点 p 为双曲线上任意一点abf1 pf2，则双曲线的焦点角形的面积为x2s f1 pf2y2b2co t.28. 双曲线221 （ a 0,b o）的焦半径公式：( f1 ( abc,0),f2 (c,0)当 m (x0 , y0 ) 在右支上时，| mf1 |ex0a , | mf2 |ex0a .当 m (x0 , y0 ) 在左支上时，| mf1 |ex0a , | mf2 |ex0a9. 设过双曲线焦点f 作直线与双曲线相交p、q 两点， a 为双曲线长轴上一个顶点，连结ap 和 aq 分别交相应于焦点f 的双曲线准线于m、n 两点，则 mf nf.10. 过双曲线一个焦点f 的直线与双曲线交于两点p、q, a 1 、a2 为双曲线实轴上的顶点，a1 p 和 a2 q 交于点 m，a2 p 和 a 1q 交于点 n，则 mf nf.x2y211. ab 是双曲线1（ a 0,b 0 ）的不平行于对称轴的弦，m ( x , y ) 为 ab 的中点，则kkb2 x0，a2b2b2 x00omab20ay即 k ab02。a y0x2y2x xy yx 2y 212.若 p0 (x0 , y0 )在双曲线1 （a 0,b 0）内，则被po 所平分的中点弦的方程是0000.13.若 p (x, y )a 2x2在双曲线b 2y21 （a 0,b 0）内，则过po 的弦中点的轨迹方程是a2x2y2b2a 2b 2x0 xy0 y.000a 2b 2a 2b 2a 2b 2椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆x2y21. 椭圆221 （ab o）的两个顶点为aba1 (a,0) ,a2 (a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于p 1、p 2 时 a 1p 1 与 a2 p2 交x2点的轨迹方程是a 2y2b21 .x2y22. 过椭圆221ab(a 0, b 0) 上任一点a(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于b,c 两点，则直线 bc 有定向且 kbcb2x a2 y0（常数） .0x2y23. 若 p 为椭圆ac221 （ a b 0 ）上异于长轴端点的任一点,f 1, f 2 是焦点 ,abpf1 f2,pf2 f1，则tanco t.ac22x2y24. 设椭圆221（ a b 0）的两个焦点为f1 、f2,p（异于长轴端点） 为椭圆上任意一点， 在pf 1f2 中，记abf1pf2,pf1 f2,f f p，则有since .12sinsinax2y25. 若椭圆221 （ a b 0）的左、右焦点分别为f1、f 2，左准线为l，则当 0 e21 时，可在椭圆上求一点p，ab使得 pf 1 是 p 到对应准线距离d 与 pf 2 的比例中项 .x2y26. p为 椭 圆221ab（ a b 0 ） 上 任 一 点 ,f1 ,f 2为 二 焦 点 ， a为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则2a| af2| | pa | pf1 |2a| af1 | ,当且仅当a, f2 , p 三点共线时，等号成立.( xx ) 2( yy ) 27. 椭圆00a2b21与直线axby 0c有公共点的充要条件是a2a 2b 2b 2x2( ax 0y2by0c)2 .11118. 已知椭圆2ab 21（ a b 0），o 为坐标原点，p 、q 为椭圆上两动点， 且opoq （.1）2| oq |2;a2b 2（ 2） |op| 2+|oq| 2 的最大值为224a b22;（ 3） s的最小值是a b.| op |x2y2a 2b2opqa 2b29. 过椭圆| pf221 （a b 0 ）的右焦点f 作直线交该椭圆右支于m,n两点，弦mn 的垂直平分线交x 轴于 p，则ab|e.| mn |2x2y210. 已知椭圆221 （ a b0 ）,a 、b、是椭圆上的两点，线段ab 的垂直平分线与x 轴相交于点abp(x0 ,0) , 则a 2b 2a 2b2x0.aax211. 设p点 是 椭 圆a2y2b21 （a b 0 ） 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,f 1 、 f2 为 其 焦 点 记f1pf2， 则(1) | pf1| pf2 |2b 21cos.(2)s pf fb2 tan.1 22x212. 设 a 、b 是椭圆a 2y22b 21（ a b 0）的长轴两端点， p 是椭圆上的一点，pab,pba,bpa，2ab 2| cos|2 a 2b 2c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1) | pa |a2c2cos2.(2)tantan1e .(3)s pabb 2a 2cot.x2y213. 已知椭圆221（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点e ，过椭圆右焦点f 的直线与椭圆相交于a 、b 两点,点 cab在右准线 l 上，且 bcx 轴，则直线ac 经过线段ef 的中点 .14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注: 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.x2y2双曲线1. 双曲线221（a 0,b 0）的两个顶点为aba1(a,0), a2 (a,0)，与 y 轴平行的直线交双曲线于p1 、p 2 时 a1 p 1x2y2与 a 2p 2 交点的轨迹方程是221.abx2y22. 过双曲线221（a 0,b o）上任一点aba( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于b,c 两点，则直线bc 有定向且kbcb2 x00a2 y（常数） .x2y23. 若 p 为双曲线221 （ a 0,b 0 ）右（或左）支上除顶点外的任一点,f 1, f 2 是焦点 ,abpf1 f2,pf2f1ca，则tancaco t22ca（或tancaco t） .22x2y24. 设双曲线221 （ a 0,b 0 ）的两个焦点为f1 、f2 ,p （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在pf 1 f2 中，ab记f1pf2,pf1f2,f1 f2 p，则有sin(sinsin)ce.ax25. 若双曲线a 2y2b21 （ a 0,b 0 ）的左、右焦点分别为f1 、f2 ，左准线为l，则当 1e 21 时，可在双曲线上求一点 p，使得 pf 1 是 p 到对应准线距离d 与 pf 2 的比例中项 .x26. p 为双曲线2ay2b21（a 0,b 0）上任一点 ,f 1 ,f2 为二焦点，a 为双曲线内一定点， 则 | af2 |2a| pa | pf1 | ,当且仅当a, f2 , p 三点共线且p 和a, f2 在 y 轴同侧时，等号成立.x27. 双曲线2ay1 （a 0,b 0）与直线2b 2x2y2axbyc0 有公共点的充要条件是a2 a 2b 2 b 2c 2 .8. 已知双曲线221 （b a 0）， o 为坐标原点， p、q 为双曲线上两动点，且opoq .ab1111（ 1）2222;（2 ）|op| 2+|oq| 2 的最小值为4a 2b 222;（ 3） sopq 的最小值是a 2b 222 .| op| oq |abbabax2y29. 过双曲线221 （ a 0,b 0 ）的右焦点f 作直线交该双曲线的右支于m,n 两点，弦 mn 的垂直平分线交x 轴ab于 p，则| pf |e.| mn |2 x2y210. 已知双曲线221（ a 0,b 0）,a 、b 是双曲线上的两点， 线段 ab 的垂直平分线与x 轴相交于点abp(x0 ,0) , 则a2b 2x0a或 x0x2a 2b2.ay211. 设 p 点是双曲线221 （ a 0,b 0 ）上异于实轴端点的任一点,f 1 、f 2 为其焦点记ab2b 2f1pf2，则(1) | pf | pf|.(2)sb 2 cot.121cosx2y2pf1f 2212. 设a 、 b是 双 曲 线221 （ a 0,b 0 ） 的 长 轴 两 端 点 ， p是 双 曲 线 上 的 一 点 ，pab,ab2pba,bpa，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) | pa |22ab| cos|.(2) (2)tantan1e .(3)s pab2a2b2 b2a 2cot.| a 2c2cos2|x213. 已知双曲线2ay2b 21 （a 0,b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点e ，过双曲线右焦点f 的直线与双曲线相交于a、b 两点,点 c 在右准线 l 上，且 bcx轴，则直线ac 经过线段 ef 的中点 .14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1 、 连 结圆 锥 曲线 上 两 个点 的 线 段称 为 圆锥 曲 线的 弦 ， 利用 方 程的 根 与 系 数 关 系来 计 算 弦 长 ， 常用 的 弦 长 公 式：2ab1kx1x211k 2y1y22、直线的一般式方程：任何直线均可写成(a,b 不同时为0)的形式。3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0 的直线 )与直线垂直的直线可表示为。4 、两平行线间的距离为。5、若直线则（斜率）且与直线（在平行轴上截距）（充要条件）