证明：阶是素数的群是循环群

1. 证明：阶是素数的群是循环群。分析：证明一个群是循环群的思路有三种：（ 1）利用循环群的定义证明群中每一个元都能表示为群中同一个元的方幂；（ 2）利用同构的思想，先构造一个恰当的循环群，再证明它和该群同构；（ 3）利用本节的知识，先在群中生成一个循环子群，若能证明子群就是该群即可；实际上，在上面的几种思路中，（ 3）是最佳选择。证明：任取阶为素数的群g设 g 的阶为素数pp 1ag, ae令 h(a)hg设 h 的阶为 m ( m1)m p mphgg 为循环群。2. 证明， 阶是p m 的群（p 是素数）一定包含一个阶是p 的子群。分析：若能找出群的子群，则可以观察是否有p 个元素的子群。如何找呢，由于题设与第一题的题设有类似的条件，可借用第一题的思路。证明：任取阶为pm 的群 gp 是素数pm 1ag,ae令 h( a), h #nhg, nz, z1又 n pmnp ii1,2, m令 h 1则 h 1(a pi(a pi1)1) 即为所求3. 假定 a 和 b 是一个群g 的两个元，并且abba 。又假定 a 的阶是 m ，b 的阶是 n ，并且( m,n)1 。证明： ab 的阶是 mn 。分析：本题的目标是证明某个正整数是某个元的阶，根据元的阶的定义， 可分为两步：一、证明元的该次幂等于单位元；二、证明该次幂是使的该元等于单位元的最小正方幂。证明：a 的阶是 m ， b 的阶是 na me, bne又abba(ab) mna mn b mn(a m ) n (bn ) meee设 ab 的阶为 k ,kzk mn又(ab)ka kb kea kb k(ak ) m(b k ) m即 ( am ) keke(b k ) mb kmn km又 (m, n)1nk同理可以证明：mk( m,n)1mnkkmn4. 假定 是一个群g 的元间的一个等价关系，并且对于 g 中的任意三个元a, x, x 来说有：ax axx x ，证明：与g 的单位元 e 等价的所有元作成的集合是g 的一个子群。分析：本题实际上是证明g 的一个子集是g 的子群，根据子群的定义及判定方法可分为两个部分：一、证明子集非空；二、利用子群的判定定理子集为子群。证明：令hx e x, xg为等价关系e eeh h对任意的a,bhe a, e bbb 1 b又 ax axx xb 1 e（ 1）b 1 ab 1 be ba1ba（2 ）由（ 1 ），（ 2）可知： h 为 g 的子群。5. 我们直接下右陪集ha 的定义如下：ha 刚好包含g的可以写成ha, hh 形式的元，由这个定义推出以下事实：g 的每一个元属于而且只属于一个右陪集。证明： g 中元必属其中一个ha对bgbebehbhbg 中元只能属于其中一个右陪集若bg ，使得：bhb, bhb 且 hbhbbeb,bhb这与 hb 只具有 hb 一种形式矛盾6. 若我们把同构的群看作一样，一共存在两个阶是4 的群。它们都是交换群。分析：若我们能将群的结构分析清楚，则可以看出是否为两种群。分析结构，可以从群的元着手，也可以从群的子群着手。证明：任取阶是4 的群 g则群 g 中必有非单位元的元任取一个记为ag（ 1 ）当 ag 的阶为 4 时令 h( a)则 g= (a) 为交换群。（ 2 ）当 g 中没有阶为4 的元则 ag 的阶为 2, g 中必有另一非单位元b则 g=e, a, b, ab，其运算表如下：eababeeababa aeabbb bbaea ababbae从上面两中情况都可以看出，阶是4 的群是交换群。7. 利用上题证明：一个非交换群至少有六个元。分析：考虑对阶是1 ，2， 3， 4 ， 5 的群的交换性进行讨论。证明：任取一个群g（ 1 ）当 g 的阶为 1 时：g=e ，交换群（ 2 ）当 g 的阶为 2 ， 3， 5 时根据本节题1 可知， g 为循环群。交换群。（ 3 ）当 g 的阶为 4 时根据题 4 ，群 g 为交换群。1. 假定群 g 的不变子群n 的阶是 2 。证明： g 的中心包含n。分析：子群n 的阶是 2，则 ne, a , ae, a 2e ,要证明 n 是不变子群，只需证明对bn, cg, 有 cbbc 即可。证明：设ne, a , ae, a 2e对cg, 有 ceece 为中心中的元素又 n 为不变子群cac 1n当 cac 1e 时， cac即 ae，不可能1cacacaac ，即 a 为中心中的元素2. 证明：两个不变子群的交集还是不变子群。证明：任取群g 及其两个子群h 1, h 2令 hh 1h 2对a, bh 有1a, bh 1 ， a,bh 2ab 1h 1 , abh 2ab 1hh 为子群3. 证明：指数是2 的子群一定是不变子群。证明：任取一个群g 及其指数为2 的子群 h故 h 有两个左陪集h、g h 及两个右陪集h、g h对ag当 ah 时， ahhha当 ah 时， ahghha故 h 为不变子群。4. 假定 h 是 g 的子群， n 是 g 的不变子群。证明：hn 是 g 的子群。证明：对h1 , h2h1 n1 , h2 n2h , n1 , n 2hn ，则n1又 n 是不变子群1h1n1n22nh2h1 n2n 3n ，使得11n1 n2h21h2n3111h n (h n ) 1h n nhh hnhn11221 122123hn 是子群。5. 举例证明：g 的不变子群n 的不变子群n1 未必是 g 的不变子群（取 gs4 ）6. 一个群 g 的可以写成a 1b1ab 形式的元叫换位子。证明：（ i）所有的有限个换位子的乘积作成的集合c 是 g 的一个不变子群。（ ii ）g / c 是交换群。（ iii ）若 n 是 g 的一个不变子群，并且g / n是交换群，那么nc1. 我们有一个集合a 到 a 上的满射。证明：若s 是 s 的逆象， s 一定是 s的象；但若s 是 s 的象， s 不一定是 s 的逆象。2. 假定群 g 与群 g 同态， n 是 g 的一个不变子群，n 是 n 的逆象。证明：g / ng / n3. 假定 g 和 g 是两个循环群，它们的阶各是m 和 n 。证明： g 与 g 同态，当而且只当nm证明：4. 假定 g 是一个循环群，n 是 g 的一个子群，证明，g / n也是循环群。证明：法一：设g(a)对b