高中数学：函数解析式的十一种方法

高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法二、待定系数法三、换元（或代换）法四、配凑法五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法八、累加法 九、归纳法 十、递推法十一、微积分法一、定义法：【例 1】设f (x1)x 23 x2 ，求f ( x) .f (x1)x 23x2( x1)1 23( x1)12=( x1) 25( x1)6f ( x)x25 x6【例 2】设f f( x)x1， 求 fx2x1x(x) .111【解析】设f f ( x)x2x11111xf ( x)1x【例 3】设f ( x11 )x2x211 , g (x1 )x3 x2x1213 ，求xf g( x) .2【解析】f ( x)x x2(x)2xxf (x)x2又g( x1)x31xx3( x1 ) 3x3(x1 )xg( x)x 33 x故 f g( x)(x33x) 22x 66 x49 x22【例 4】设f (cos x)cos17 x,求f (sinx) .【解析】f (sin x)f cos(2x)cos17 (x) 2cos(817x)2cos(217 x)sin17 x .二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。【例 1】设f ( x)是一次函数，且f f ( x)4x3 ，求f (x)【解析】 设f (x)axb(a0) ，则f f ( x)af ( x)ba( axb)ba 2 xabba 24abb3a 2a2或b 1b3f ( x)2x1或f ( x)2 x3【例 2】已知f (x2)2x29 x13 ，求f (x) .【解析】显然，f (x)是一个一元二次函数。设f ( x)ax 2bxc(a0)则 f ( x2)a( x2)2b( x2)cax 2(b4a) x(4a2bc)又 f ( x2)2 x29 x13比较系数得：a 2b 4a4a2b9c 13a2解得：b1c3f ( x)2 x2x3三、换元（或代换）法：已知复合函数f g(x) 的表达式时，还可以用换元法求f ( x) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。【例 1】 已知 f (x1)x2x ，求f ( x1)【解析】 令 tx1，则 t1， x(t1) 2f (x1)x2xf (t )(t1) 22(t1)t 21,f ( x)2x1(x1)f ( x1)( x1) 21x 22x( x0)【例 2】 已知f (1x) x2x11 , 求x 2xf ( x) .1x【解析】 设1t ,则 x则f (t )f (1x)x 21111212x11(1) 2t111(t11)2xx(t1)t 2t1xf ( x)xxx 2x1t1t1【例 3】 设f (cos x1)cos2x ，求f ( x) .解：令 tcos x1,cos xt1 又1cos x1,2cos x10 即2t0f (t)(t1) 2 ,(2t0) 即 f (x)x1(x1)2 ,x2,0【例 4】 若f (x)f ()1x x（1）)x11在（ 1）式中以x1代替 x 得xf ( x1 xf (x) x1x1x1 x即 f ( x1) xf (1)x12 x1 x（ 2）又以1代替（ 1）式中的 x 得： f (1) x1x1f ( x)x2x1（3）(1)(3)(2) 得 :2 f ( x)1xx22 x1x3x21f ( x)x3x21x1xx( x1)2x( x1)【例 5】设f ( x) 满足af ( x)bf ( 1 )xcx(其中 a, b, c均不为 0，且ab) ，求f (x) 。【解析】af (x)1bf ()cxx（1）用acx21 来代替 x ，得xbc1af () xbf ( x)1cxacx2（ 2）bc由 a(1)b(2) 得 :(a 2b2 )f ( x)abxf ( x)(a 2b2 )x【例 6】已知f (a x 1 )x 22 ，求f (x) .a【解析】设 ta x 10 ，则 x1log a t即 xlog a t1代入已知等式中，得：f (t )(log a t1) 22log 2 t2 log a t3f ( x)log 2 x2 log a x3a四、配凑法已知复合函数f g( x) 的表达式， 要求f (x)的解析式时， 若f g(x) 表达式右边易配成g( x) 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。【例 1】已知 f (x1)x2x, 求f ( x) 的解析式。【解析】x2x 可配凑成可用配凑法由 f (x1)x2x(x) 21x0令tx1t1则 f (t)t21即 f (x)x21(x1)当然，上例也可直接使用换元法令tx1则tx12x(t1)得22f (t )(t1)2(t1)t1即f (x)2x1(x1)由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。【 例 2 】已知f (x1 )x21 , 求f (x) .2xx【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。1211 2由 f ( x)x2( x)2xxx令tx1 xx2tx10由0 即t 240 得trf ( t )2t2即： f(x)x22( xr)实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。五、函数方程组法。函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。f ( x) 混合运算，则要充分【 例 1】设f ( x) 满足1f (x)2 f ()xx, 求f (x)的解析式。【解析】要求f ( x)可消去1f () ,为此，可根据题中的条件再找一个关于1f ( x) 与的等式，x通过解方程组达到消元的目的。1f () xf ( x)2 f ()xx显然， x0 ,将 x 换成 1 得x11f ()2 f ( x).xxf ( x)2 f ( 1 )x由x11f ()2 f ( x)xx消去1，得f ( x)f () x1 x233xf ()小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x) 、1x；互为相反数，如f(x) 、 f(-x) ，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x) 的解析式。【 例 2 】已知f (a x 1 )x 22，求f (x) .a【解析】设 ta x 10 ，则 x1log a t即 xlog a t1代入已知等式中，得：f (t )(log a t1) 22log 2 t2 log a t3f ( x)log 2 x2 log a x3【例 3 】设f (x)a为偶函数，g (x) 为奇函数，又f ( x)g( x)1,试求x1f ( x)和g ( x) 的解析式【解析】f (x)为偶函数，g( x)为奇函数，f (x)f (x), g(x)g (x)又 f ( x)g( x)1 ，x1用x 替换 x 得： f (x)g(x)1x1即 f ( x)g (x)1x1解联立的方程组，得2f ( x)1，x1g(x)1x 2x六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）【例 1】设f (x)是定义在 n上的函数，满足f (1)1 ，对于任意正整数x, y ，均有f ( x)f ( y)f ( xy)xy ，求 f ( x) .解：由f (1)1 ， f(x)f ( y)f ( xy)xy设 y1 得：f ( x)1f ( x1)x即 ： f ( x1)f ( x)x1在上式中，x 分别用 1,2,3, t1 代替，然后各式相加可得：f (t )1 (t22)(t1)11 t 21 t22f ( x)1 x221 x( xn) 2【例 2】 已知：f ( 0)1 ，对于任意实数x、y，等式f ( xy)f ( x)y(2 xy1) 恒成立，求f (x)【解析】对于任意实数x、 y，等式f ( xy)f ( x)y(2xy1) 恒成立，不妨令 x0 ，则有f (y)f (0)y(y1)1y( y1)y2y1再令yx得函数解析式为：f ( x)x2x1七利用给定的特性求解析式.【例 1】设f ( x)是偶函数，当x 0 时，f (x)ex 2ex ，求当 x 0 时，f ( x) 的表达式 .【解析】对x r，f (x) 满足f ( x)f ( x1) ，且当 x 1， 0 时，f (x)x 22 x 求当 x 9 ， 10时 f ( x)的表达式 .七利用给定的特性求解析式.八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似）1x 1【例 1】若f (1)lg，且当 x a2 时, 满足f ( x1)f ( x)lg a, (a0, xn) ，求f ( x) .【解析】f ( x)f ( x1)lg a x 1(a0, xn)递推得：f ( x1)f ( x2)lg ax 2f (x2)f ( x3)lg a x 3f (3)f (2)lg a 2f ( 2)f (1)lg a以上 ( x1) 个等式两边分别相加，得：f ( x)f (1)lg alg a 2lg a x 2lg a x 1f (1)1 2lg a(x 2)( x 1)1lglg a ax( x 1) 2lg ax( x 1) 12 x( x1) 21 lg a九、归纳法：【例 1】已知f (x1)21 f ( x),( x 21n) 且1f (1)a ，求1f (x) .【解析】f (1)a,f (2)2f (1)22a42a22f (3)21 f (2)221 (221 a)24201 a22f ( 4)2f ( 5)21 f (3)21f ( 4)21 (32112(31 a)41a)42 1421 a 2321a222824，依此类推，得f ( x)423 x12 x 1 a再用数学归纳法证明之。十、递推法 ： 若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。【 例1 】设f ( x)是 定 义 在n上 的 函 数 ， 满 足f (1)1 ， 对 任 意 的 自 然 数a,b都 有f (a)f (b)f ( ab)ab ，求f ( x)【解析】f (a)f (b)f (ab)ab， a, bn，不妨令 ax, b1 ，得：f (x)f (1)f ( x1)x ，又 f (1)1,故f ( x1)f ( x)x1分别令式中的x1,2n1得：f (2)f (3)f (1)2,f (2)3,f (n)f (n1)n,将上述各式相加得：f (n)f (1)23n，f (n)f ( x)121 x 223n1x, x2n(n1)2n十一、微积分法：（当你学了导数和微积分之后，