江苏省南通市高考数学模拟试卷八解析版

2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（八）一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1函数 f（ x）=3sinxcosx 的最小正周期为4在一次满分为160 分的数学考试中，某班40 名学生的考试成绩分布如下：成绩（分）80 分以下 80， 100） 100，120） 120， 140） 140， 160人数881210211. 记等差数列 an 的前 n 项和为 sn，已知 a1=3，且数列 也为等差数列，则a11=212. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆c： x +（y 3）2=2，点 a 是 x 轴上的一个动点，ap ， aq 分别切圆c 于 p， q 两点，则线段pq 的取值范围是213. 已知 x y 0，且 x+y2，则+的最小值为14. 已知函数f（ x）=（xa）（x b） ，（b0），不等式f（ x）mxf （ x）对? x r 恒成立，则2m+ab=二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在 abc 中，角 a 、b 、c 的对边分别为a， b， c已知 cosc=（1） 若?=，求 abc 的面积；（2）设向量=（ 2sin，），=（ cosb，cos），且，求sin（ b a ）的值16. 如图，四边形a a 1 c1c 为矩形，四边形cc1b1 b 为菱形，且平面cc 1b 1 b a a 1 c1c， d， e 分别是 a 1 b1 和 c1 c 的中点求证： （ 1） bc 1平面 ab 1c；（2） de 平面 ab 1c17已知椭圆+=1（ ab 0）的离心率e=，一条准线方程为x=2 过椭圆的上顶点 a 作一条与x 轴、 y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点p， p 关于 x 轴的对称点为q（1） 求椭圆的方程；（2） 若直线 ap，aq 与 x 轴交点的横坐标分别为m，n，求证： mn 为常数， 并求出此常数18. 如图所示，某镇有一块空地 oab ，其中 oa=3km ， ob=3 km， aob=90 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 omn ，其中 m ， n 都在边 ab 上，且 mon=30 ，挖出的泥土堆放在 oam 地带上形成假山，剩下的 obn地带开设儿童游乐场为安全起见，需在 oan 的一周安装防护网（1） 当 am=km 时，求防护网的总长度；（2） 为节省投入资金，人工湖omn 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使omn 的面积最小？最小面积是多少？19. 已知函数f（ x） =+（ a，b， 为实常数）（1）若 = 1，a=1 当 b= 1 时，求函数f（ x）的图象在点（， f （）处的切线方程； 当 b 0 时，求函数f（x）在 ， 上的最大值（2）若 =1， b a，求证：不等式f（ x） 1 的解集构成的区间长度d 为定值20. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，设数列 bn 满足 bn=2（ sn+1 sn） sn n（ sn+1+sn）（nn * ）（1） 若数列 an 为等差数列，且bn=0，求数列 an 的通项公式；（2） 若 a1=1， a2=3，且数列 a2n1 的， a2n 都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等式b2nb2n 1 的所有正整数的n 集合四【选做题】本题包括21、22、23、 24 共 1 小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 选修 4-1 ：几何证明选讲21. 如图， ab 为圆 o 的切线， a 为切点， c 为线段 ab 的中点，过c 作圆 o 的割线 ced（e 在 c， d 之间），求证： cbe= bde 选修 4-2 ：矩阵与变换=22. 已知矩阵a=， a 的逆矩阵a 1（1） 求 a，b 的值；（2） 求 a 的特征值 选修 4-4 ：坐标系与参数方程23. 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线c：（s 为参数），直线 l：（ t为参数）设曲线c 与直线 l 交于 a ， b 两点，求线段ab 的长度 选修 4-5 ：不等式选讲24已知 x， y， z 都是正数且xyz=8 ，求证：（ 2+x）（ 2+y ）（2+z） 64四、【必做题】第25 题、第 26 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25. 某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5 名幸运之星 这 5 名幸运之星可获得a 、b 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3 的获得 a 奖品，抛掷点数不小于3 的获得 b 奖品（1） 求这 5 名幸运之星中获得a 奖品的人数大于获得b 奖品的人数的概率；（2） 设 x、y 分别为获得a、b 两种奖品的人数，并记=| x y | ，求随机变量的分布列及数学期望26. 在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线2y =2px（ p 0）的准线方程为x=，过点 m（0， 2）作抛物线的切线ma ，切点为a （异于点o）直线 l 过点 m 与抛物线交于两点b， c，与直线oa 交于点 n（1） 求抛物线的方程；（2） 试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（八）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1函数 f（ x）=3sinxcosx 的最小正周期为 【考点】 频率分布表【分析】 根据频率分布表，利用频率=，求出对应的频率即可【解答】 解：根据频率分布表，得；在这次考试中成绩在120 分以上的频数是10+2=12；随机抽取一名学生，该生在这次考试中成绩在120 分以上的概率为=0.3故答案为： 0.35函数 y=ln （x2 2） +的定义域为（ ，）【考点】 函数的定义域及其求法【分析】 由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0 联立不等式组求得答案【解答】 解：由，解得 x（ ）函数 y=lnx 22+的定义域为（，） 故答案为：（ ，）6. 如图，在平面四边形abcd 中， ac ， bd 相交于点o， e 为线段 ao 的中点，若（ ， r），则+=【考点】 平面向量的基本定理及其意义【分析】，可得由 e 为线段 ao 的中点， 可得，再利用平面向量基本定理即可得出【解答】 解：，e 为线段 ao 的中点， 2=， 解得 =，+=故答案为：7. 如图是一个算法流程图，则输出的x 的值为【考点】 程序框图【分析】 模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x， n 的值，当n=6 时，满足条件n5，退出循环，输出x 的值为【解答】 解：模拟执行算法流程，可得n=1， x=1 x=， n=2不满足条件 n 5， x= ， n=3 不满足条件 n 5， x= ， n=4 不满足条件 n 5， x= ， n=5 不满足条件 n 5， x= ， n=6满足条件 n 5，退出循环，输出 x 的值为 故答案为： 8. 用长度为24 的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为3【考点】 函数模型的选择与应用【分析】 若设矩形场地的宽为x，则长为，其面积为s=?x，整理得 x 的二次函数，能求出函数的最值以及对应的x 的值【解答】 解：如图所示，设矩形场地的宽为x，则长为，其面积为：s=?x=12x2（ x 2x = 22 6x+9）+18= 2（x 3） 2+18当 x=3 时， s 有最大值，为18；所以隔墙宽应为3 故答案为： 39. 四棱锥p abcd 中， pa底面 abcd ，底面 abcd是矩形， ab=2 ， ad=3 ，pa=， 点 e 为棱 cd 上一点，则三棱锥epab 的体积为【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】 由 pa平面 abcd可得 v epab=v p abe=【解答】 解：底面abcd 是矩形， e 在 cd 上，sabe =3pa底面 abcd ，v epab=v p abe=故答案为：10已知函数f（ x） =，x r，则 f（ x2 2x） f（3x 4）的解集是（ 1， 2）【考点】 其他不等式的解法【分析】 讨论 x 的符号， 去绝对值， 作出函数的图象，由图象可得原不等式或分别解出它们，再求并集即可【解答】 解：当 x0 时， f（ x）=1， 当 x 0 时， f（ x） =1作出 f（ x）的图象，可得f（ x）在（ ， 0）上递增， 不等式 f（ x22x） f（ 3x4）即为，或，解得 x 2 或 1 x， 即有 1 x 2则解集为（ 1， 2） 故答案为：（ 1， 2）11. 记等差数列 an 的前 n 项和为 sn，已知 a1=3，且数列 也为等差数列， 则 a11=63【考点】 等差数列的前n 项和【分析】 设等差数列 an 的公差为d，由 a1=3，且数列 也为等差数列，可得=+，即=+，解出 d，即可得出【解答】 解：设等差数列 an 的公差为d， a1=3，且数列 也为等差数列，=+，=+， 化 为 d2 12d+36=0 ， 解得 d=6 ，则 a11=3+10 6=63故答案为： 6312. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆c： x 2+（ y 3） 2=2，点 a 是 x 轴上的一个动点，ap ， aq 分别切圆c 于 p， q 两点，则线段pq 的取值范围是， 2）【考点】 圆的切线方程【分析】 考虑特殊位置，即可求出线段pq 的取值范围【解答】 解：由题意， a 在坐标原点时，sin poc=， cos poc=，sinpoq=，sinpcq=，cos pcq=，pq=，a 在 x 轴上无限远时，pq 接近直径 2，线段 pq 的取值范围是 ， 2），故答案为： ， 2）13. 已知 x y 0，且 x+y2，则+的最小值为【考点】 基本不等式【分析】 由条件可得x+3y 0， x y 0， （ x +3y） +（ x y） （+）=5+，运用基本不等式和不等式的性质，即可得到所求最小值【解答】 解：由 x y 0，可得 x+3y0， x y 0， （ x+3y）+（ x y） （+） =5+5+2=9，可得+=当且仅当2（ x y） =x +3y，即 x=5y=时，取得最小值 故答案为：14. 已知函数f（ x） =（x a）（ x b） 2，（b 0），不等式f（ x） mxf （ x）对? x r 恒成立，则2m+ab=【考点】 利用导数研究函数的单调性【分析】 由条件可得， （ x b） （ 1 3m）x2+ m（ 2a+b）（ a+b） x+ab 0 恒成立，可得 m=，故（ x b） （ a+2b） x 3ab 0 恒成立再利用二次函数的性质求出ab=0 即可【解答】 解： f（ x） mxf （ x ），（ xa）（x b） 2m?x（ x b） 3x（ 2a+b） ，（ x b） （ 1 3m） x2+ m（ 2a+b）（ a+b） x+ab 0若 m，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况， 总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，不满足条件m=，（ x b） （ a+2b）x 3ab 0 恒成立 若 a+2b=0，则有 a= 2b， a=b=0，（舍）若 a+2b 0，则x1=b，x2=，且b=b 0，则=1， a=b，即 a b=0 且 b 0 综上可得， m=，ab=0 ，2m+a b=， 故答案为：二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在 abc 中，角 a 、b 、c 的对边分别为a， b， c已知 cosc=（1） 若?=，求 abc 的面积；（2）设向量=（ 2sin，），=（ cosb，cos），且，求sin（ b a ）的值【考点】 两角和与差的正弦函数；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算【分析】（ 1）利用?=，求出 ab 的值，然后求解abc 的面积（2） 通过，求出 tanb 的值， 推出 b，转化 sin（ b a）=sin（a ）=sin（ c），利用两角和与差的三角函数求解即可【解答】 解：（ 1）由?=，得 abcosc=又因为 cosc=，所以 ab= 又 c 为 abc 的内角，所以sinc= 所以 abc 的面积 s=absinc=3 （2）因为，所以 2sincos=cosb，即 sinb=cosb 因为 cosb 0，所以 tanb=因为 b 为三角形的内角，所以b= 所以 a +c=，所以 a= c所以 sin（b a ）=sin （ a ） =sin（ c）=sinccosc=16. 如图，四边形a a 1 c1c 为矩形，四边形cc1b1 b 为菱形，且平面cc 1b 1 b a a 1 c1c， d， e 分别是 a 1 b1 和 c1 c 的中点求证： （ 1） bc 1平面 ab 1c；（2） de 平面 ab 1c【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，得到ac 平面 cc 1b 1 b，再由线面垂直的性质得到 ac bc 1，进一步利用菱形的性质得到b1cbc 1，利用线面垂直的判定定理可证；（2）取 aa 1 的中点，连接df ， ef，分别判断ef， df 与平面平面ab 1c 平行，得到面面平行，利用面面平行的性质可证【解答】 解：（ 1）四边形a a 1 c1c 为矩形， ac cc1， 又平面 cc 1b1 ba a 1 c1c， cc 1b 1 ba a 1 c1c=cc 1，ac 平面 cc 1b 1 b，bc 1? 平面 cc 1b 1 b，ac bc 1，四边形 cc 1b 1 b 为菱形， b 1c bc1，又 b 1cac=c ，ac ? 平面 a 1c， b1c? 平面 ab 1c，bc 1平面 ab 1c；（2）取 aa 1 的中点，连接df ， ef，四边形 a a 1 c1c 为矩形， e， f 分别是 c1c，aa 1 的中点，efac ，又 ef?平面平面ab 1c， ac ? 平面 ab 1c，ef平面 ab 1c，又 d ， f 分别是 a 1 b1 和 aa 1 的中点，df a b 1，又 df?平面 ab 1c， ab 1? 平面 ab 1c，df 平面 ab 1c，ef df=f， ef? 平面 def， df? 平面 def，平面 def平面 ab 1c，de ? 平面 def，de 平面 ab 1c17已知椭圆+=1（ ab 0）的离心率e=，一条准线方程为x=2 过椭圆的上顶点 a 作一条与x 轴、 y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点p， p 关于 x 轴的对称点为q（1） 求椭圆的方程；（2） 若直线 ap，aq 与 x 轴交点的横坐标分别为m，n，求证： mn 为常数， 并求出此常数【考点】 椭圆的简单性质【分析】（ 1）利用=，=2 ，及其 b=，解出即可得出（2）证法一：设p 点坐标为（ x1，y1），则 q 点坐标为（ x1， y 1）可得 k ap，直线 ap 的=1方程为 y=x+1令 y=0 ，解得 m同理可得n再利用（ x1，y1）在椭圆+y 2上，即可得出mn解法二：设直线ap 的斜率为k（ k 0），则 ap 的方程为y=kx +1，令 y=0 ，得 m联立，解得 p，则可得q 点的坐标可得k aq，可得直线aq 的方程，可得n，即可得出【解答】 解：（ 1）=，=2， 解得 a=， c=1 ，b=1故椭圆的方程为+y2=1（2）证法一：设p 点坐标为（ x1， y1），则 q 点坐标为（ x 1， y1）k ap=，直线 ap 的方程为y=x+1令 y=0 ，解得 m= k aq=，直线 aq 的方程为y=x+1令 y=0 ，解得 n=mn= = 又（ x1， y1）在椭圆+y2=1 上，=1 ，即 1=，mn=2 以 mn 为常数，且常数为2解法二：设直线ap 的斜率为k（ k 0），则 ap 的方程为y=kx +1，令 y=0 ，得 m= 联立消去 y，得（ 1+2k2） x2+4kx=0 ，解得 x a=0， xp=，y p=kxp+1=，则 q 点的坐标为（，）k aq=，故直线 aq 的方程为y=x+1 令 y=0 ，得 n= 2k ，mn= （）（ 2k ） =2mn 为常数，常数为218. 如图所示，某镇有一块空地 oab ，其中 oa=3km ， ob=3 km， aob=90 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 omn ，其中 m ， n 都在边 ab 上，且 mon=30 ，挖出的泥土堆放在 oam 地带上形成假山，剩下的 obn地带开设儿童游乐场为安全起见，需在 oan 的一周安装防护网（1） 当 am=km 时，求防护网的总长度；（2） 为节省投入资金，人工湖omn 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使omn 的面积最小？最小面积是多少？【考点】 解三角形的实际应用【分析】（1）证明 oan 为正三角形， 可得 oan 的周长为9，即防护网的总长度为9km ；（2）设 aom= ，在 aom 和 aon 中使用正弦定理求出om ， on ，得出 omn的面积关于 的函数，利用三角函数恒等变换化简，得出面积的最小值【解答】 解：（ 1） oa=3km ， ob=3km ， aob=90 ， a=60 ， ab=6 =oa在 oam 中，由余弦定理得：om 22+am 2 2oa ?am ?cosa=om=由正弦定理得：，即，sinaom= a=30 aon= aom +mon=60 oan 是等边三角形 oan 的周长 c=3oa=9 防护网的总长度为9km （2）设 aom= （ 0 60），则 aon= +30， oma=120 ， ona=90 在 oam 中，由正弦定理得，即=om=，在 aon 中，由正弦定理得，即=，on=，somn =当且仅当2+60=90，即 =15时，omn 的面积取最小值为=km 219. 已知函数f（ x） =+（ a，b， 为实常数）（1）若 = 1，a=1 当 b= 1 时，求函数f（ x）的图象在点（， f （）处的切线方程； 当 b 0 时，求函数f（x）在 ， 上的最大值（2）若 =1， b a，求证：不等式f（ x） 1 的解集构成的区间长度d 为定值【考点】 利用导数研究函数的单调性【分析】（ 1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式写出切线方程，利用导数求出函数在定区间的最大值；（2）根据一元二次不等式与二次函数的关系，通过分类讨论两根得出结论 当 x b 时， x a 0， x b0，此时解集为空集 当 a x b 时，不等式（* ）可化为（x a） +（x b）（ x a）（x b），（展开并整理得，x 2a+b+2） x+（ ab+a+b） 0，（设 g （ x）=x 2a+b+2） x+（ab+a+b），因为 =（ ab） 2+40，所以 g （ x）有两不同的零点，设为x1， x2（x 1 x 2），又 g （ a） =b a 0， g （ b）=a b 0，且 b a，因此 b x1 a x 2，所以当 a x b 时，不等式x 2（ a+b+2） x+（ ab+a+b） 0 的解为 b x x 1 当 x a 时，不等式（ * ）可化为（ xa） +（ xb）（ x a）（ xb），展开并整理得，x 2（ a+b+2） x+（ ab+a+b） 0，由 知，此时不等式的解为ax x 2综上所述， f（ x） 1 的解构成的区间为（b， x 1 （ a， x2 ，其长度为（ x 1 b） +（x2 a） =x 1+x2 a b=a+b+2 a b=2 故不等式f（ x） 1 的解集构成的区间长度d 为定值 220. 已知数列 an 的前 n 项和为 sn，设数列 bn 满足 bn=2（ sn+1 sn） sn n（ sn+1+sn）（nn * ）（1） 若数列 an 为等差数列，且bn=0，求数列 an 的通项公式；（2） 若 a1=1， a2=3，且数列 a2n1 的， a2n 都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等式b2nb2n 1 的所有正整数的n 集合【考点】 数列递推式；等比数列的性质【分析】（ 1）由 bn=2（ sn+1sn）snn（sn+1+sn ）（n n* ），得 bn=2an+1sn n（ 2sn+an+1），由 bn=0，得 a1d a1=0 对一切 n n * 都成立，由此能求出an=0 或 an=n（2）由题意得，=4 2n4，从而推导出 b2n b2n1=，设 f（n） =2n+ 8，记 g（n）=，则 g（ n+1） g（n）=，由此能求出满足条件的正整数 n 的集合【解答】 解：（ 1）设等差数列 an 的公差为d，则 an+1=a1+nd，由 bn=2（ sn+1 sn） sn n（ sn+1+sn）（n n* ），得 bn=2an+1sn n（ 2sn+an+1），bn=0 ，对一切 nn* 都成立，即 a1d a1=0 对一切*n n 都成立，令 n=1 ， n=2，解得经检验，符合题意，a1=d=0 或 a1=d=1 ，an=0 或 an=n （2）由题意得，n=42 4，=5s2n+1=s2n+a2n+1=4 2n 4+2n n4，22b2n=2a2n+1s2n 2n（ 2s2n+a2n+1）=2n（ 4 2n 4） 2n（ 82n 8+2n）=2n+1（ 2n+2 9n 4）+16n，b2n1=2a2ns2n 1（ 2n 1）（ 2s2n 1+a2n）=6n1（ 5 2n1 4）（ 2n1）（ 102n 18+3 2n 12）=2（n 1（ 30 2n 1 26n 11） +16n 8，b2nb2n 1=2n+1（n+229n 4） +16n 2n 1302n1 26n11）+16n 8=，设 f（n） =，即 f（ n） =2n+ 8， 记 g（ n）=，则 g（ n+1） g（ n） =，当 n=1 ， 2，3 时， g（n+1） g（ n） 0， 当 n n* 时， n4， g（ n+1） g（n） 0，n=1 时， g（ 1） =0， g（4） 0，且 g（ 6）= 0， g（ 7） = 0，f （n） =在 n 7（n n *）时，是单调递增函数，f（ 1） = 5 0， f（ 2） = 34 0， f（ 3）= 100 0， f（ 4） = 224 0， f（ 5） = 3600， f（ 6） =24 0，f（7） =3400 0，满足条件的正整数n 的集合为 1， 2， 3， 4， 5， 6 四【选做题】本题包括21、22、23、 24 共 1 小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 选修 4-1 ：几何证明选讲21. 如图， ab 为圆 o 的切线， a 为切点， c 为线段 ab 的中点，过c 作圆 o 的割线 ced（e 在 c， d 之间），求证： cbe= bde 【考点】 与圆有关的比例线段【分析】 由已知条件由切割线定理得ca2 =ce?cd ，利用 c 为线段 ab 的中点推导出2bc =ec?dc ，得到 bce dcb ，利用三角形相似的性质得到证明【解答】 证明：直线ab ，直线 cde 分别是 o 的切线和割线，由切割线定理得ca 2=ce ?cd ，c 为线段 ab 的中点bc，22=cabc 2=ce?cd ，在 bce 和 dcb 中， bce= dcb ， bce dcb ， cbe= bde 选修 4-2 ：矩阵与变换=22. 已知矩阵a=， a 的逆矩阵a 1（1） 求 a，b 的值；（2） 求 a 的特征值【考点】 特征向量的定义；逆矩阵的意义【分析】（ 1）利用矩阵a=， a 的逆矩阵a 1=，建立方程组，求a， b 的值；（2）确定 a 的特征多项式，可求a 的特征值【解答】 解：（ 1）因为 aa 1=，所以解得 a=1， b=（2）由（ 1）得 a=则 a 的特征多项式f（ ） =（3）（ 1）令 f（）=0，解得 a 的特征值1=1，2=3 选修 4-4 ：坐标系与参数方程23. 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线c：（s 为参数），直线 l：（ t为参数）设曲线c 与直线 l 交于 a ， b 两点，求线段ab 的长度【考点】 参数方程化成普通方程由直线【分析】 由曲线 c：（s 为参数），消去参数s 可得： y=x 2l代入抛物线方程可得=0，解得 t 即可得出【解答】 解：由曲线c：（ s 为参数），消去参数s 可得： y=x 2由直线 l代入抛物线方程可得=0，解得 t=0 或| ab | = 选修 4-5 ：不等式选讲24已知 x， y， z 都是正数且xyz=8