线性代数矩阵习题

精品资料一.单项选择题习题课1. 设 a 为 n 阶可逆矩阵 ,为 a 的一个特征根 ,则 a的伴随矩阵的特征根之一为()a. 1 |a |nb. 1 | a |c. | a |121d. |a |n2. 设为非奇异矩阵a 的一个特征值,则矩阵 (a )3有一特征值为()4311a. b.c.d.34243.n 阶方阵 a 有 n 个不同的特征值是a与对角阵相似的()a. 充分必要条件b. 充分而非必要条件c.必要而非充分条件d.既非充分也非必要条件4. 设a, b 为 n 阶矩阵 ,且 a 与 b 相似 , e 为 n 阶单位矩阵 ,则()a. eaebb. a与 b 有相同的特征值与特征向量c. a与 b 都相似于一对角矩阵d. 对任意常数t ,有 te二.填空题a 与 teb 相似111111. 若四阶矩阵a 与 b 相似,矩阵 a 的特征值为,*2234, 则行列式 | be | 511111111111111112. 设 n 阶方阵 a 伴随矩阵为a* ,且| a |0, 若 a 有特征值, 则 ( a )e 的特征值为3. 矩阵a的非零特征值为4.n 阶矩阵 a 的元素全是1, 则 a 的 n 个特征值为三、计算题0011. 设ax1y有三个线性无关的特征向量,求 x 和 y应满足的条件.1002. 设三阶实对称矩阵a 的特征值为1,2,3; 矩阵 a 的属于特征值1,2, 的特征向量分别为1(1,1,1)t ,(1,2,1)t ,2（ 1 ）求 a的属于特征值3 的特征向量 ;（ 2 ）求矩阵a .3. 设(1,1,211)t 为 a5a1b13的一特征向量.223(1) 求 a, b 及特征值;(2)a 可否对角化 ?4. 设三阶矩阵a 满足 aiii (i1,2,3), 其中1(1,2,2)t ,( 2,2,1)t ,(2,1,2) t ,试求矩阵a .3225. 设矩阵 ak1 42k,问 k 为何值时 ,存在可逆矩阵p ,使得3p 1 ap 为对角矩阵？并求出p 和相应的对角矩阵.答案*一.单项选择题1 、解: b.设 a(为 a的属于的一个特征向量),则a* aa, 即| a |a*,从而 a*(1 | a |).注:一般地 ,我们有 :若为 a的一个特征根,则(1) at 的特征根为;k(2) ak 的特征根为;(3) aa 的特征根为a;(4) 若 a 可逆, 则 a1 的特征根为1 ;(5) 若0 ,则a* 的特征根为1 | a | ;(6) ake 的特征根为k .2 、解: b.设 a(为 a的属于的一个特征向量),则 a 22, aa 2a2, ( a 为实数 ),1 a 2 )11213征值为(2)=334所以 ,(的一个特.3 、解: b.4 、解: d. 二.填空题1 、解: 24.设 a(为 a的属于的一个特征向量),a 可逆 ,11则 a, ( a1e)(11),即a 1e 的特征值为1 -1,从而 | a1e |(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.另一方面 ,a与 b 相似 ,所以 ,存在可逆矩阵p 使得p 1 apb ,即 b 1p 1 a1 p,b 1ep 1 a 1 pp 1epp 1 ( a 1e)p ,所 以 b 1e 与 a 1e 相似 ,相似矩阵有相同的行列式,因此,| a | 2| b 1e |24.2 、解:21.*| a |*2| a | 2若 a 的特征值为,则 a 的特征值为, ( a )的特征值为2,所以 ,( a* )2e 的特征值为| a |221.3 、解: 4.计算特征行列式1|ea |111111111111(4)111100001110000(4)30所以 ,非零特征值为4.4 、解:n,0, 其中 0 为 n-1 重根 .(计算方法如上 )。三、计算题01 、解:|ea |x111y(1) 2 (1)00所以 ,a 的特征值为121,31 .因为 a有三个线性无关的特征向量,所以特征值1 有两个线性无关的特征向量,即r( ea )=3-2=1,1eax10001y 11x 00001y 01由秩为 1 可得:x1y0 ,即 x 和 y 满足 xy0 .2 、解 (1) 设 a的属于特征值3 的特征向量为3(x , x , x )t ,123矩阵 a的属于不同特征值的特征向量正交,所以tt313即2t3( x1 , x2 , x3 )0 ,为下列方程组的非零解:x1x2x30 x12 x2x30解得基础解系为(1,0,1)t.所以 a的属于特征值3 的全部特征向量为3k(1,0,1) t , k 为任意实数 .(2)记 p11112110 , 则 pap1110002000 ,30 .100所以 ,ap020 p1,00313计算得p 1161211331311, 代入得a12366501225102 .2133 、解: (1)设 a1(为 a 的属于特征值的一个特征向量),则a2a3b,解得1,a3,b0(2) 将 a3, b0 代入 a得|ea |(1) 3 ,所以 1 为 a的三重特征根.31而ea521023,r（ea)12.所以 a 不能对角化 .4 、解:由题意得a(1 ,2 ,3 )( a1 , a2 , a3 )(1 ,22 ,33 ) ,令p(1 ,2 ,3 ),b(1 ,22 ,313 ) , 则apb,22abp1 ,用初等行变换计算得7p 112920221,121代入得a05232225 、解: 先计算特征值和特征向量:3|ea |k221k(2)2 (1)042所以,a 的特征值为1321,31.4224eak0kk对121,求解特征矩阵方程(ea) x0220k422000要使 a 可以对角化 ,重特征根对应矩阵方程的基础解系包含向量个数应等于它的重数,所以应有 r (ea)321 , 即k =0.进一步求得属于121