大一高数期末考试试题

2011 学年第一学期高等数学（ 2-1 ）期末模拟试卷专业班级页号一二三四五六总分得分注意 事项1. 请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2. 答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3. 本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.;(a)连续点 ;(b)可去间断点 ;(c)跳跃间断点 ;(d)无穷间断点 .三计算题（共5 小题，每小题6 分，共计 30 分）处的切线的方程.4. 设f ( x)x cos(x2 0t )dt，求f ( x) .本页满分15 分本页得n (nxn1)( n2)( n3)( 2n)lim xn分5设n，求 n.四应用题（共3 小题，每小题9 分，共计 27 分）1. 求由曲线yx 2 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.本页满分18 分本页得22dxy2. 设平面图形由2 x 与 yx 所确定， 试求 d 绕直线 x2分旋转一周所生成的旋转体的体积.t3. 设 a最小值 .1, f (t)aat 在 (,) 内的驻点为t (a).问 a 为何值时t(a)最小 ? 并求本页满分7 分本页得五证明题（7 分）分设函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导且f (0 ) f =1( 1 )f20，,()1试证明至少存在一点(0,1) , 使得 f()=1.一填空题（每小题4 分， 5 题共 20 分）：112lim( exx) x1x01x 121x2005e 2 .exe xdx4 e .x yt2dy3. 设函数y y( x) 由方程1xedtxx 0确定，则dxe1.1 22 x4. 设 fx 可导，且1tf (t) dtf( x)，f (0)1 ，则 fxxe 2.5. 微分方程y4 y4 y0 的通解为y(c1c2 x)e.二选择题（每小题4 分， 4 题共 16 分）：1. 设常数 k0 ，则函数f ( x)ln xxke在 ( 0,) 内零点的个数为（b） .(a)3个;(b)2个;(c)1个;(d)0个.2. 微分方程 y4 y3 cos 2 x 的特解形式为（c）*（ a ）yacos2x ；（ b）yaxcos2 x ；（ c）yaxcos2 xbx sin 2x ；（ d ） ya sin 2 x3. 下列结论不一定成立的是（ a ）(a)(b) (a)若(c)c,da,b, 则必有dfx dxcbfx dxa;(d) (b)若f ( x)0 在 a, b上可积 , 则bfx dx0a;(e) (c)若fx是 周 期 为t的 连 续 函 数 ,则 对 任 意 常 数 a都 有a tfx dxtfx dxa0;(f) (d)若可积函数xfx为奇函数 , 则0t ftdt也为奇函数 .fx4. 设11e x 123e x,则 x0 是 f( x)的（c） .(a) 连续点 ;(b)可去间断点 ;(c)跳跃间断点 ;(d)无穷间断点 .三 计算题 （每小题6 分， 5 题共 30 分）：1. 计算定积分22 x 3 e02x dx.23x 22 1t12t设 xt , 则解：01te t 2 20x edx2 e t dt0tedt0 2-2tde20-2e 21 e t 212023 e 22-22. 计算不定积分x sin x cos5 xdx .x sinx dx1xd(1)1xdx解：cos5 x4cos4 x4cos4 xcos4 x-3x4 cos4 x1(tan 2 x 41) dtan xx4 cos4 x1 tan3 x121 tan xc 4-33. 求摆线x a(ty a(1sin t ), cost ), 在 t2 处的切线的方程.解：切点为(a(21),a)-2kdyas i ntdx t2a(1c o st) t21-2切线方程为yaxa(1)y2即x( 2)a2.-2x24. 设f (x)cos(x0t) )dt，则f ( x)22 x cos x(2x21) cos( xx) .n (nxn1)( n2)( n3)( 2n)lim xn5. 设n，求 n.ln xn解：1 nn i 1l n 1(i ) nni11-2limnln xnlimnln(1)i 1nnln( 10x)dx0-2x ln(1=x) 11 x1dx01x2 ln 21-2lim xe2 ln 2 14故nn =e四应用题（每小题9 分， 3 题共 27 分）1. 求由曲线yx2 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为（ x0 , y0 ) ，则过原点的切线方程为y1x2x02，由于点（ x0 , y0 ) 在切线上，带入切线方程，解得切点为x04, y02 .-3过原点和点2(4,2y2) 的切线方程为22x22 -3s( y面积0222 y) dy3=-321s或0 22xdx41(x222x2) dx223dx22. 设平面图形由旋转体的体积 .y22 x 与 yx 所确定，试求d 绕直线 x2 旋转一周所生成的解：法一： v1v1v2212(101y 2 )dy(2y )2 dy0121y 20( y1) 2 dy-621 ( y4311) 3 102(1)432-32法二： v=( 2x)(2xx0x)dx12(20x)2xx2 dx21(2x0x2 )dx- 51(22 x)2 xx 2022 xx2 dx43330432124122323232 ( 2 xx2 ) 2 12114- 43. 设 a1, f(t )atat 在 (,) 内的驻点为t( a).问 a 为何值时t(a) 最小 ? 并求最小值 .由f (t)解:at ln aaln ln a10得t( a)1ln ln a . ln ae- 3又由 t(a)a( l na) 20得唯一驻点 ae-3e当ae 时, t(a)0;当aee 时, t(a)0,于是 aee 为t (a )的极小值点. -2aee为t (a )的最小值点故,最小值为t (ee )1ln e e11 .e-1五证明题（7 分）1设函数f ( x)在0,1 上连续，在 (0,1) 内可导且f (0)= f(1)0,f ()1， 2试证明至少存在一点(0,1) , 使得 f()=1.证明：设f (x)f (x)x ， f ( x) 在0,1 上连续在 (0,1) 可导，因f (0)= f(1)=0 ,有 f (0)f (0)00, f (1)f (1)11 ,21111111 ，f ()=1又由2，知f ()= f 2()- 2=1-2=， 22 在2