高二数学圆与方程(有练习,有答案,有讲解,有例题)

.【典型例题】例 1. 已知点 b（ 1， 4）， c（ 16， 2），点 a 在直线 x3y 3 = 0 上，并且使abc 的面积等于 21，求点 a 的坐标。【解析】 直线 bc 方程为 2x 5y 22 = 0， |bc| =，设点 a 坐标（ 3y 3， y），则可求a 到 bc 的距离为，abc 面积为 21， 故点 a 坐标为（）或（） .例 2. 已知直线l 的方程为3x+4y 12=0， 求直线 l的方程，使得：（ 1） l 与 l 平行，且过点（ 1， 3） ;（ 2） l 与 l 垂直，且 l与两轴围成的三角形面积为4.【解析】 （1） 由条件，可设 l的方程为3x+4y+m=0 ， 以 x= 1， y=3 代入，得 3+12+m=0 ， 即得 m= 9，直线 l的方程为3x+4y 9=0;（ 2） 由条件，可设 l 的方程为4x 3y+n=0， 令 y=0， 得，令 x=0， 得，于是由三角形面积， 得 n2=96 ， 直线 l的方程是或例 3. 过原点的两条直线把直线2x 3y 12 = 0 在坐标轴间的线段分成三等分，求这两条直线的夹角。【解析】 设直线 2x 3y 12 = 0 与两坐标轴交于a，b 两点， 则 a（ 0，4），b（ 6，0）， 设分点为 c，d ，设为所求角。， c（ 2，） .又， d（ 4，），.，.;.例 4. 圆 x2 y2 x6y c = 0 与直线 x2y 3 = 0 相交于 p，q 两点，求 c 为何值时，op oq（ o 为原点） .【解析】 解方程组消x 得 5y2 20y12 c = 0， 消 y 得 5x2 10x 4c27 = 0 ， opoq，解得 c = 3.例 5. 已知直线y =2x b 与圆 x2 y2 4x 2y 15 = 0 相切，求b 的值和切点的坐标.【解析】 把 y = 2xb 代入 x2 y2 4x2y 15 = 0， 整理得 5x2 4（ b 2） x b2 2b 15 = 0 ，令= 0 得 b = 7 或 b =13 ，方程有等根， 得 x =2 或 x = 6 ， 代入 y = 2x 7 与 y = 2x13 得 y = 3 或 y = 1，所求切点坐标为（2， 3）或（ 6， 1）.例 6. 已知 |a| 1， |b| 1，|c| 1，求证： abc+2 a+b+c.【证明】 设线段的方程为y=f （ x）=（ bc 1）x+2 b c，其中 |b|1， |c| 1， |x| 1， 且 1 b1. f（ 1）=1 bc+2b c=（1 bc） +（ 1 b） +（1 c） 0f（ 1） =bc1+2 bc=（ 1 b）（ 1 c） 0线段 y=（ bc 1） x+2 bc（ 1 x1在 x 轴上方， 这就是说，当|a|1， |b| 1， |c| 1 时，恒有abc+2 a+b+c.例 7. 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费， 他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出， 已知镜框对桌面的倾斜角为（90 180），镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m， b m，（ a b） .问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？【解析】 建立如图所示的直角坐标系，ao 为镜框边， ab 为画的宽度， o 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点c （ x， 0）（ x 0），欲使看画的效果最佳，应使acb 取得最大值 .由三角函数的定义知：a、b 两点坐标分别为（acos，asin）、（ bcos， bsin），于是直线ac、bc 的斜率分别为：kac = tanxca=，于是 tanacb=由于 acb 为锐角，且x 0，则 tanacb ，当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时acb 取最大值，对应的点为c （， 0），因此，学生距离镜框下缘cm 处时，视角最大，即看画效果最佳.例 8. 预算用 2000 元购买单件为50 元的桌子和20 元的椅子， 希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5 倍，问桌、椅各买多少才行？【解析】 设桌椅分别买x， y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由 a 点的坐标为（，）由 b 点的坐标为（25，）所以满足约束条件的可行域是以a（，）， b（ 25，）， o（ 0， 0）为顶点的三角形区域（如上图）由图形直观可知，目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为（25，），但注意到xn ， yn *，故取 y=37.故有买桌子25 张，椅子37 张是最好选择.例 9. 已知甲、乙、丙三种食物的维生素a、b 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各 x 千克， y 千克， z 千克配成100 千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000 单位维生素 a 和 63000 单位维生素b.甲乙丙维生素 a（单位 /千克）600700400维生素 b（单位 /千克）800400500成本（元 /千克）1194（）用x， y 表示混合食物成本c 元；（）确定x， y，z 的值，使成本最低.【解析】（） 由题，又，所以，.（）由得，所以，所以，当且仅当时等号成立 .所以，当 x=50 千克， y=20 千克， z=30 千克时，混合物成本最低，为850 元.点评 ：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最大的点 . 不难发现，应在点m （ 50， 20）处取得 .例 10. 如果实数满足，求的最大值、 2x y 的最小值。【解析】 （ 1）问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值，由图形性质可知，由原点向圆作切线，其中切线斜率的最大值即为的最大值。设过原点的直线为y=kx，即 kx-y=0，由，解得或（ 2）x， y 满足，。例 11. 自点 a （ 3， 3）发出的光线射到 x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在的直线方程。【解析】 由已知可得圆c：关于x 轴对称的圆c的方程为，其圆心c（ 2， -2），则与圆 c相切，设:y-3=k （ x+3），整理得 12k2+ 25k+12=0 ，解得或，所以所求直线方程为y-3=（ x+3）或y-3=（x+3）， 即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 。例 12. 过抛物线x2=4y 的对称轴上任一点p（ 0，m）（ m0 ）作直线与抛物线交于a ，b两点，点 q 是点 p 关于原点的对称点。（ i）设点 p 分有向线段所成的比为，证明 :（ ii）设直线ab 的方程是x-2y+12=0 ，过 a ， b 两点的圆c 与抛物线在点a 处有共同的切线，求圆c 的方程 .【解析】 （）依题意，设直线ab 的方程为代入抛物线方程， 得设 a 、b 两点的坐标分别是、是方程的两根.所以由点 p（ 0， m）分有向线段所成的比为，得又点 q 是点 p 关于原点的对称点，故点q 的坐标是（ 0， m），从而.所以（）由由得得点 a、 b 的坐标分别是（所 以 抛 物 线6， 9）、（ 4， 4） .在 点a处 切 线 的 斜 率 为设圆 c 的方程是则解之得所以圆 c 的方程是即【模拟试题】1. 直线与圆没有公共点，则的取值范围是（）a. b.c.d.2. 设直线过点（0，a），其斜率为1， 且与圆 x 2+y2 =2 相切，则a 的值为（）a. b.2b. 2d. 43. “ a=b”是“直线”的（）a.充分不必要条件c.充分必要条件b. 必要不充分条件d.既不充分又不必要条件4. 圆（ x2 ） 2 y25 关于原点（ 0， 0）对称的圆的方程为（）a. （ x2 ） 2 y25b. x2 （ y2 ） 25.2c. （x2 ）2（ y2 ）25d. x2（ y2 ） 5 。5. 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）a. b.c.d.6. 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（）a.b.c.d.7. 已知直线8. 若直线ykx 2与圆（与圆2（ yx 2）相切，则的值为3） 2 1 有两个不同的交点，则。k 的取值范围是.9. 已知两条直线若，则 .10. 如图， 圆 o1 与圆 o2 的半径都是1，o1o2=4，过动点 p 分别作圆o1、圆 o2 的切线 pm 、pn（ m 、n 分别为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点p 的轨迹方程 .11. 已知圆 c:x2+y2-2x+4y-4=0 ，是否存在斜率为1 的直线 l，使以 l 被圆 c 截得弦 ab为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由12. 已知过原点o 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于a、b 两点，分别过点a、b 作 y轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于c、 d 两点 .（ 1）证明：点c、d 和原点 o 在同一直线上 .（ 2）当 bc 平行于 x 轴时，求点a 的坐标 .13. 设数列 an 的前 n 项和 sn=na+n（ n 1） b，（ n=1， 2，）， a、b 是常数且b 0.（ 1）证明： an 是等差数列 .（2）证明：以（ an， 1）为坐标的点pn（n=1， 2，）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程 .（ 3）设 a=1 ，b=，c 是以（ r，r ）为圆心， r 为半径的圆（ r 0），求使得点p1、p2、p3 都落在圆 c 外时， r 的取值范围 .【试题答案】1. 解：由圆的圆心到直线大于，且，选a 。2. 解析：设直线过点（ 0，a），其斜率为1， 且与圆 x2+y2=2 相切，设直线方程为，圆心（ 0， 0）到直线的距离等于半径，a 的值 2，选 b.3. a4. a5. b6. 解析：圆整理为，圆心坐标为（ 2，2），半径为 3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， ，直线的倾斜角的取值范围是，选 b.7. 解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为（1， 0），半径为1，由已知可得，所以 a 的值为 18 或 8。8. 解：由直线y kx 2 与圆（ x 2）2（ y 3）2 1 有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即1，解得 k（ 0，）9. 解：两条直线若，则2.10. 解：如图， 以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则两圆心分别为.设，则，同理.，即，即. 这就是动点的轨迹方程 .211. 解:设直线 l 的斜率为，且l 的方程为y=x+b，则消元得方程 x2+（ 2b+2） x+b+4b-4=0 ，设此方程两根为x1， x2，则 x1 x2（ b+1）， y1+y 2= x1x2+2b=b-1，则中点为，又弦长为，由题意可列式解得 b=1 或 b=-9，经检验 b=-9 不合题意 . 所以所求直线方程为y=x+112. （ 1）证明：设a、b 的横坐标分别为x1、x2，由题设知x 11， x2 1， 点 a（ x1， log8 x1）， b（ x2， log8x2） .因为 a、b 在过点 o 的直线上，所以，又点 c、d 的坐标分别为（x1， log 2x1）、（ x 2， log2x2） .由于 log 2x1=3log 8x1 ，log 2x2=3log 8x2，则由此得 koc=kod，即 o、c、d 在同一直线上.（ 2）解：由bc 平行于 x 轴，有 log 2x1=log 8x2，又 log2x1=3log 8 x11 x2=x 31将其代入，得 x3log8x1=3 x1log 8x1，1 =3 x由于 x1 1 知 log8x 10，故 x 31x2=，于是） .a（，log 813. 解：（ 1）证明：由条件，得a1=s1=a，当 n2时，有 an=sn sn1= na+n（n 1） b（ n 1） a+（ n 1）（ n 2） b =a+2 （n 1）b.因此，当 n2时，有 an an 1= a+2（ n 1） b a+2（ n 2） b =2b.所以 an 是以 a 为首项， 2b 为公差的等差数列.（ 2）证明：