反比例函数知识点及经典例题

反比例函数一、基础知识精品资料1. 定义： 一般地，形如 yk （ k 为常数， k xo）的函数称为反比例函数。(自变量 x 的取值:xo )2. 反比例函数的等价形式：k1y（xko） ykx( ko)xy=k( ko)3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以 o 为中心，沿 o 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像 :反比例函数的图像是双曲线，由两条曲线组成。双曲线永远不与坐标轴相交，但无限靠近坐标轴。反比例函数的图像是轴对称图形（对称轴是 yx 或 yx ），也是中心对称图形（原点）。4. 反比例函数性质如下表：k 的取值图像所在象限函数的增减性ko一、三象限在每个象限内 ， y 值随 x 的增大而减小ko二、四象限在每个象限内 ， y 值随 x 的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） k 的几何意义。6. 反比例函数yk （ k x0 ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线ykx（ k0）上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。7. 反比例函数的应用二、例题【例 1】如果函数 ykx2k 2 k2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数yk ，（ k x0）即 ykx1（ k0 ）又在第二，四象限内，则k0可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：2k 2k2k01解得k1或k12k0k1k1时函数 ykx2 k 2 k2 为 y1 x【例 2】在反比例函数 y1的图像上有三点xx1 ， y1， x2， y2， x3， y3。若 x1x20x3 则下列各式正确的是（）a. y3y1y2b. y3y2y1c. y1y2y3d. y1y3y2【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：由题意得y11， y2x11， y13x2x3x1x20x3 ，y3y1y2所以选 a解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y1 的图像x描出三个点，满足x1x20x3 观察图像直接得到y3y1y2 选 a解法三：用特殊值法x1x20x3 ,令x12, x21, x31y11 , y221, y31,y3y1y2【例 3】如果一次函数ymxn m0 与反比例函数 y3nm的图像x相交于点（ 1 ，2 ），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）2【解析】直线ymxn与双曲线 y3nm xx相交于1 2 ，21 mn2m22解得3nm1n1直线为 yx112 x1, 双曲线为 y1 解方程组xy2 x1y1x得y11x122y22另一个点为1， 1【例 4】 如图，在 rtaob 中，点 a 是直线 yxm 与双曲线 ym 在第一象x限的交点，且s aob2 ，则 m 的值是 .解:因为直线 yxm 与双曲线 y图m 过点 a,设 a 点的坐标为xx a , ya.则有 y ax am, y am .所以 m x ax a y a .又点 a 在第一象限 ,所以 obxax a , aby aya .所以 saob1 obab21 xyaa21 m.而已知 s2aob2 .所以 m4 .三、练习题1. 反比例函数y2 的图像位于（）xa第一、二象限b第一、三象限c第二、三象限d第二、四象限2. 若 y 与 x 成反比例， x 与z 成正比例，则 y 是 z 的（）a、正比例函数b、反比例函数c、一次函数d、不能确定3. 如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长 y cm与宽 x cm之间的函数图象大致为（）yyyyoxoxoxoxabcd4. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压p ( kpa )是气体体积 v ( m 3 )的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于120 kpa 时，气球将爆炸为了安全起见， 气球的体积应（）a、不小于 5 m3b、小于 5 m3c、不小于 4 m3d、小于 4 m344555. 如图 ，a、c 是函数y1 的图象上的任意两点，过a 作yxx 轴的垂线，垂足为b，过 c 作 y 轴的垂线，垂足为d，记rt aob 的面积为 s1 ，rtcod 的面积为 s2 则 （）a s 1 s2b s1 s2c s 1=s2d s1 与 s2 的大小关系不能确定aobxdc6. 关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数y=n1 的图象都经过点a（ -2，1）. x求：（1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）两函数图象的另一个交点b的坐标；（3）aob 的面积k7. 如图所示，一次函数yax b 的图象与反比例函数yx的图象交于 a、b1两点，与 x 轴交于点 c已知点 a 的坐标为（ 2，1），点 b 的坐标为（1） 求反比例函数和一次函数的解析式；，m）2（2） 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围aocb8. 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6 小时可将满池水全部排空（1） 蓄水池的容积是多少？（2） 如果增加排水管，使每小时的排水量达到q（m3），那么将满池水排空所需的时间 t（h）将如何变化？（3） 写出 t 与 q 的关系式（4） 如果准备在 5 小时内将满池水排空， 那么每小时的排水量至少为多少？（5） 已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？.9. 某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60 元，在营销中发现，该衬衣的日销售量 y（件）是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100 元/件时，每日可售出 30 件.（1） ）请写出 y 关于 x 的函数关系式；（2） ）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800 元，则其售价应为多少元？10 如图，在直角坐标系 xoy 中，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数ymx的图象交于 a(-2 ，1)、b(1 ， n)两点。(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求aob 的面积。四、课后作业1. 对与反比例函数y2 ，下列说法不正确的是（）xa. 点（2,1 ）在它的图像上b. 它的图像在第一、三象限c. 当 x0 时，y随x的增大而增大d. 当 x0 时，y随x的增大而减小2. 已知反比例函数y经过（）kk0 x的图象经过点（ 1，-2），则这个函数的图象一定1a、（2，1）b、（ 2， -1）c、（2，4）d、（ -1，-2）3. 在同一直角坐标平面内，如果直线和k 2 的关系一定是（）yk1x 与双曲线 yk2 没有交点，那么 k xa.k1+ k2 =0b.k1 k2 0d. k1 = k2k4. 反比例函数 yx的图象过点 p（ 1.5 ，2），则 k 15. 点 p（2m3，1）在反比例函数y的图象上，则 m x6. 已知反比例函数的图象经过点 （m，2）和（ 2，3）则 m 的值为 7. 已知反比例函数y12m 的图象上两点xa x1, y1 , bx2 , y2，当 x10x2 时，有 y1y2 ，则 m 的取值范围是？8. 已知 y 与 x-1 成反比例，并且x -2 时 y 7，求：(