大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

同济上册高数总结微分公式与积分公式1(tgx)sec2 x2(arcsin x)21x(ctgx)(secx)cscsecxxtgx(arccos x)11x2(cscx)(ax )cscxax ln actgx( arctgx )11x2(log a x)1x ln a( arcctgx )11x2tgxdxln cos xcdx cos2 x2sec2xdxtgxc2ctgxdxln sin xcdxcscxdxctgxcsecxdxcscxdxln secxtgxcln csc xctgxcsinxsecx tgxdxsecxc22dx1 arctg xcaxaacscxxctgxdx axcscxcdx1xa22lnca dxcln axadxa2x22axa1 ln axc 2aaxshxdx chxdxchxcshxcdxa2x2xarcsinc adxln( x22xax2a2 )c2nisin n0xdx2cosn0xdxn1in 2nx2a 2 dxxx2a2 2xaln( x 22a 2x2a 2 )cx2a 2 dxx2a 22xln x2a 2x2a 2cxa 2x2 dxa 2x22arcsinc2 a三角函数的有理式积分：sin x2u2 ， cos x1u 22 ，utg x，dx2du21u1u21u两个重要极限：公式 1 limsin x1公式 2 lim (1x)1 / xex0xx0有关三角函数的常用公式和差角公式：和差化积公式：sin( cos(tg()sin)cos tg)cos cos tgcos sinsin sinsinsinsinsin2 sin22 cos2cos2sin2ctg (1tgctg)ctgtgctg1 ctgcoscoscoscos2cos22sin2cos2sin2三倍角公式 :半角公式：sin(3 )=3sin-4sin3()sin(/2)=(1- cos )/2cos(3 )=4cos3(-3c)os cos( /2)=(1+cos )/2降幂公式 :万能公式：sin2( )=-(c1os(2 )/2=versin(2 )/2 sin =2tan( /2)/1+tan2(/2) cos2( )=(1+cos(2 )/2=covers(2c)o/2s =1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan2( )=(-1cos(2 )/(1+cos(2 )tan =2tan( /2)-/ta1n2(/2)推导公式tan +cot =2/sin2t an -cot =-2cot2 1+cos2 =2cos2 1-cos2 =2sin2 1+sin =(sin/2+cos /2)2正弦定理：a sin ab sin bc2 rsin c余弦定理：c2a 2b 22ab cosc反三角函数性质 ： arcsin xarccos x2arctgxarcctgx2( 特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为0 即可）高阶导数公式莱布尼兹（leibniz）公式：(uv) ( n)nncku(nk 0k ) v( k)u( n)vnu( n1)vn(n2!1) u( n2) vn(n1) nk k!1) u( nk )v( k )uv(n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b)f ( a)f()( ba)柯西中值定理：f (b)f (a)f()f (b)f (a)f ()当f( x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds1y 2 dx, 其中ytg平均曲率：k.: 从m 点到 ms点，切线斜率的倾角变化量；s： mm弧长。m 点的曲率： klimds0sdsy.2 3(1y)直线： k0;半径为a的圆： k1 . a定积分的近似计算：bf ( x)a bba( y0ny1lyn 1 )f ( x)aba 1n2( y0yn )y1lyn 1 定积分应用相关公式：功： wfs水压力： fpa引力： fk m1m2 , k为引力系数r 2函数的平均值： yb1ba af ( x) dx均方根：b1ba af 2 (t )dt微分方程的相关概念：一阶微分方程： yf (x, y)或p( x, y)dxq(x, y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g( y)dyf (x)dx的形式，解法：g( y)dyf (x)dx得： g( y)f (x)c称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成 dydxf ( x, y)(x, y)，即写成y的函数，解法： x设uy，则 dyxdxux du， ududxdx(u)， dxxdu (u)分离变量，积分后将uy 代替u， x即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dydxp(x) yq( x)当q( x)0时,为齐次方程，yp ( x)dxce当q( x)0时，为非齐次方程，y(q(x)ep( x) dxdxc)ep ( x) dx2、贝努力方程： dydxp(x) yq( x) y n，(n0,1)全微分方程：如果 p(x, y) dxq( x, y) d