高中数学数列讲义-二轮复习-精华

数列概念知识清单1数列的概念（1） ）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第2 项，序号为 n的项叫第 n 项（也叫通项）记作an ；数列的一般形式：a1 ， a2 ， a3 ，an ，简记作an。（2） ）通项公式的定义：如果数列个公式就叫这个数列的通项公式。 an的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这例如，数列的通项公式是an =n （ n7， nn），n数列的通项公式是a =1 （ nn）。n说明： an表示数列，an 表示数列中的第 n 项，an =fn表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，nan = ( 1) =1,n1,n2k1(kz) ；2k不是每个数列都有通项公式。例如，1， 1.4 ，1.41 ，1.414 ，（3） 数列的函数特征与图象表示：序号： 123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看， 数列实质上是定义域为正整数集n （或它的有限子集） 的函数f (n)当自变量 n 从1 开始依次取值时对应的一系列函数值fn，其图象是一群孤立点。f (1), f(2),f (3),， f (n)，通常用an 来代替（4） ）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5） ）递推公式定义：如果已知数列an的第 1 项（或前几项），且任一项an 与它的前一项an 1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。s1( n1)（6） ） 数列课前预习an 的前 n 项和sn 与通项an 的关系： ansnsn 1( n 2)1. 根据数列前 4 项，写出它的通项公式：（ 1） 1， 3， 5， 7；2（ 2） 22132，3142，41521，；5（ 3）1 1*2，1 2*3，13*4，1。4*52. 数列an中，已知 ann2n 31 ( nn ) ，（1） 写出a10 ， an1 ， an2 ；yb5c5b4c4b3c3b2c2b1c10a1a2a3a4a5a6x（ 2） 79 23是否是数列中的项？若是，是第几项？3（1）已知数列a适合： a1 ， a2an，写出前五项并写出其通项公式；n1n 1an2（2） 用上面的数列5 项。an，通过等式 bnanan1 构造新数列bn，写出 bn ，并写出bn的前4. 设平面内有 n 条直线 (n3) ，其中有且仅有两条直线互相平行， 任意三条直线不过同一点 若用 f (n)表示这 n 条直线交点的个数， 则f (4)= ； 当 n4 时，f(n)（用n 表示）。5. 在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内。等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 anan 1d(n2) 或 an 1and (n1) 。2、等差数列的通项公式：ana1(n1) d ；说明：等差数列（通常可称为a p 数列）的单调性： d0 为递增数列， d0 为常数列， d0为递减数列。3、等差中项的概念：定义：如果 a ， a ， b 成等差数列，那么a 叫做 a 与b 的等差中项。其中aab2a ， a， b成等差数列aab 。24、等差数列的前 n 和的求和公式： snn(a1an )na1n( n1) d 。225、等差数列的性质：（1） ）在等差数列（2） ）在等差数列an中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；an中，相隔等距离的项组成的数列是ap ，如： a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，； a3 ， a8 ， a13 ， a18 ，；（3） ）在等差数列a中，对任意 m ， nn， aa( nm)d ， danam(mn) ；（4） ）在等差数列nnman中，若 m ， n ， p ， qn且mnpq ，则 amnmanapaq ；说明：设数列 an 是等差数列，且公差为d ，（）若项数为偶数，设共有2n 项，则 s 奇s 偶nd ； s奇s偶an；an 1（）若项数为奇数，设共有2n1项，则 s 偶s 奇s奇n中aa；。6、数列最值ns偶n1（ 1） a10 ， d0 时， sn 有最大值；a10 ， d0 时，sn 有最小值；（ 2） sn 最值的求法：若已知sn ，可用二次函数最值的求法（nn）；若已知an ，则 sn最值时 n 的值（ nn）可如下确定课前预习an0或an 10an0。an 101. 设 sn 是数列 an 的前 n 项和，且 sn=n2，则 an 是（）a. 等比数列，但不是等差数列b.等差数列，但不是等比数列c.等差数列，而且也是等比数列d.既非等比数列又非等差数列2. 设 an是公差为正数的等差数列， 若 a1a2a315 ，a1 a2 a380 ，则 a11a2131a（）a 120b 105c 90d 753. 若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有（）a.13 项b.12 项c.11 项d.10 项4. 设数列 an 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）a.1b.2c.4d.65. 设 sn 是等差数列 an的前 n 项和，若s31，则s63s6 s12a. 310b. 13c. 18d. 19sn6. 设an为等差数列， sn 为数列 an的前 n 项和，已知 s77，s15 75，tn 为数列n的前 n 项和，求 tn。7已知数列 bn是等差数列， b1=1，b1+b2+b10=100.（）求数列 bn的通项 bn；（）设数列an的通项 an=l g（1+ 1 ），记 sn 是数列 an的前 n 项和，试比较 sn 与 1 l gbn+1bn2的大小，并证明你的结论。8. 设 an（ n n*）是等差数列， sn 是其前 n 项的和，且 s5s6， s6s7 s8，则下列结论错误的是（）a.d0b.a7 0c.s9s5d.s6 与 s7 均为 sn 的最大值9等差数列 an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（）a.130b.170c.210d.260等比数列知识清单1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比； 公比通常用字母 q 表示 (q0) ，即：an 1 ：anq(q0) 数列对于数列（ 1）（2）（ 3）都是等比数列，它们的公比依次是 2，5，1 。（注意：2“从第二项起”、“常数” q 、等比数列的公比和项都不为零）2. 等比数列通项公式为：anaq n1 ( aq0) 。11说明：（ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d1 时该数列既是等比数列也是等差数列；（ 2）等比数列的通项公式知：若 an 为等比数列，则amanqm n 。3. 等比中项如果在a与b中间插入一个数 g ，使 a, g,b 成等比数列，那么 g 叫做a与b 的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4. 等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列a1, a2 , a3,an ,的前n 项和是 sna1a2a3an ，当 q1 时，a (1qn )aa qnns1或s1n；当 q=1 时， snna1（错位相减法）。1q1q1说明：（ 1） a1, q,n, sn和a1, an, q, sn各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是q n ，通项公式中是 q n不要混淆；（ 3）应用求和公式时 q1 ，必要时应讨论 q1 的情况。5. 等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果an 是等比数列的第n 项，am 是等差数列的第m 项，且mn ，公比为 q ，则有 ana m qn m ； 对于 等 比 数 列an， 若nmuv， 则a1 ananamauav， 也 就 是 ：a1ana2an 1a3an 2，如图所示：a1 , a2 , a3 , an2 , an1 , an 。a2 an 1若数列列。an是等比数列，sn 是其前 n 项的和， kn * ，那么sk ， s2ksk ， s3ks2k成等比数如下图所示：s3 ka1a2a3skakak1s2 ka2kska2k1s3 ks2 ka3k课前预习1. 在等比数列a中, a12, q3 2 ,则a .n7192. 23 和 23 的等比中项为 () .(a) 1(b )1(c )1(d ) 23. 在等比数列an中， a22 ， a554 ，求a8 ，4. 在等比数列a中, a 和 a是方程 2x25x10 的两个根 ,则 aa()n11047( a)52( b)2 2(c) 1 2(d) 125. 在等比数列an，已知 a15 ， a 9a10100 ，求a18 .6. 在等比数列an中, a12 ,前 n 项和为sn ,若数列an1 也是等比数列，则sn 等于（）a 2n 12b3nc 2nd 3n17. 设f (n)2242721023n10 (nn ) ，则f (n)等于（）a 2 (8n1)7b 2 (8n 11)7c 2 (8n 31)7d 2 (8n 41)78. 设等比数列 an的前 n 项和为 sn，若 s3s6 2s9，求数列的公比q；9. 在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a13，前三项和为 21，则 a3a4a5（）（a）33（b）72（c）84（d）18910在等差数列 an中，若a10 0，则有等式a1+a2+ an=a1 +a2+ a19n（n19， nn ) 成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若 b9 1，则有等式成立。数列的通项公式及求和知识清单1. 数列求通项与和sn（1） ）数列前 n 项和 sn 与通项 an 的关系式： an=s1（2） ）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；sn 1n2 。n1累差叠加法。最基本的形式是：an=(an an1)+(an 1+an 2)+(a2a1)+a1；归纳、猜想法。（3） ）数列前 n 项和重要公式： 1+2+n= 1 n(n+1)；212+22+n2=1 n(n+1)(2n+1)；613+23+n3=(1+2+2122；+n)=n (n+1)4等差数列中， sm+n=sm+sn+mnd；等比数列中， sm+n=sn+qnsm=sm+qmsn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1) f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：an( an1b)( anc)1(1cbanb1) 、anc1n( n= 1 1)n1、n n！ =(n+1)! n! 、n1r 1rrn11cn1=cn cn 1 、(n=1)!n!(n等。1)!错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。anbncn , 其 中 bn是等差数列，cn是等比数列，记 snb1c1b2c2bn 1cn 1bn cn ，则 qsnb1c2bn 1cnbn cn 1 ，并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。通项分解法： an2. 递归数列bncn数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k 1,an+k 2,an)称为数列的递归关系。由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由 an+1=2an+1，及 a1 =1，确定的数列即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1） 归纳、猜想、数学归纳法证明。（2） 迭代法。（3） 代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4） 作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。 2n1课前预习1已知数列an为等差数列，且公差不为0，首项也不为 0，求和：n1。i 1 ai ai12求111 211 2 311 2 3 4112 3,(n nn* )。3. 设 a 为常数，求数列a，2a2，3a3， nan，的前 n 项和。4. 已知 a0, a1 ，数列an是首项为 a，公比也为 a的等比数列，令 bnanlgan (nn ) ，求数列 bn的前 n 项和sn 。5. 求 s3c16c 23nc n 。nnnn01n6. 设数列an是公差为 d ，且首项为 a 0d 的等差数列，求和：sn 1a0na1nannccc7求数列 1， 3+5，7+9+11，13+15+17+19，前 n 项和。典型例题一、有关通项问题1、利用 ans1(nsnsn 1(n1)求通项 2)neg ： 数列 a 的前 n 项和sn 21 （ 1）试写出数列的前5 项；（ 2）数列 a 是等差数列吗？（3）nn你能写出数列 an 的通项公式吗？变式题 1、设数列 an 的前 n 项和为 sn=2n 2，求数列 an 的通项公式；变式题 2、数列 an 的前 n 项和为 sn，且 a1=1， an 1 an 的通项公式1 s ，n=1， 2， 3，求a2， a3， a4 的值及数列n3变式题 3、已知数列a的首项 a5, 前 n 项和为 s ，且 ssn5(nn * ) ，证明数列a1 是n1nn 1nn等比数列2、解方程求通项：eg ： 在等差数列 an 中，（ 1）已知 s848, s12168, 求a1和d；（ 2 ）已知 a610, s55, 求a8 和s8 ；(3) 已知 a3a1540, 求s17 .变式题 1、 an 是首项a11 ，公差 d3的等差数列，如果an2005 ，则序号 n 等于（ a ） 667（ b） 668（ c）669（ d） 6703、待定系数求通项：eg ： 写出下列数列an的前 5 项：（ 1） a11, an24an 11(n1).变式题 1、已知数列4、由前几项猜想通项：an满足 a11,an 12an1(nn * ).求数列an的通项公式；eg ： 根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（ 1）（ 4）（ 7）（）（）变式题 1、如下图，第（ 1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，如此类推. 设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为an ，则 a6；1111.a3a4a5a99变式题2、观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为.a 40 个b 45 个c 50 个d 55 个2 条 直 线 相交，最多有 1 个交点3 条 直 线 相交，最多有 3 个交点4 条 直 线 相交，最多有 6 个交点二、有关等差、等比数列性质问题eg ： 一个等比数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为（）a 83b 108c 75d 63变式 1、一个等差数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为60，则前 3 n 项的和为。变式 2、等比数列 an的各项为正数，且a5a6a4 a718, 则log 3 a1log3 a2log3 a10（）a 12b 10c 8d 2+ log3 5eg ：设数列 an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）a 1b.2c.4d.8变式题 1、在各项都为正数的等比数列 an中，首项a13 ，前三项和为21，则 a3a4a5a 33b72c84d189三、数列求和问题eg ：已知 an是等差数列，其中a131 ，公差 d8 。（ 1）求数列 an 的通项公式，并作出它的图像；（ 2）数列 an 从哪一项开始小于0？（ 3）求数列 an 前 n 项和的最大值，并求出对应n 的值变式题 1、已知 an 是各项不为零的等差数列，其中a10 ，公差 d0 ，若s100 ,求数列 an 前 n 项和的最大值变式题 2、在等差数列 an 中，a125 ，s17s9 ，求sn 的最大值eg ：求和：sn2n 112 x3 xnx变式题 1、已知数列 an4n2 和 b2n4n 1，设 cnan，求数列bn cn 的前 n 项和 tn 变式题 2、设 an是等差数列， bn 是各项都为正数的等比数列，且 a1b11 ，a3b521 ，a5b313（）求 an ， bn的通项公式；（）求数列an的前 n 项和bnsn 变式题2设等比数列 an的公比为q，前n项和为sn，若sn+1 ,sn ， sn+2 成等差数列，则q 的值为.3、利用等比数列的前n 项和公式证明an 1bn 1eg： anan 1ban2b 2abn 1bn =( nn , a ab0, b0)变式题 、已知 una nan 1ban 2 b 2abn 1bn( nn, a0,b0) .当 ab 时，求数列u n的前 n 项和sn eg ： （ 1）已知数列 an 的通项公式为an1n(n，求前 n 项的和；（ 2）已知数列1) an 的通项公式为a1nnn1，求前 n 项的和变式题 1、已知数列 an的通项公式为an n1，设tn2111aaaaaa， 求tn 1324nn 2变式题 2、数列a n 中， a1 8， a4 2，且满足： an+2 2an+1 an0（ n n* ），（）求数列a n 的通项公式；（） 设 bn1n(12( nan )n * )，snb1b2bn ，是否存在最大的整数m，使得任意的n 均有smn32总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由实战训练 a1. 在等比数列 an 中， a28，a1 64，则公比 q 为（ a）2（b）3（c）4（d）82. 若等差数列 an 的前三项和 s39 且a11 ，则 a 2 等于（ ）a 3b.4c.5d. 63. 设an 为公 比q1的等 比数 列， 若a2004 和a 2005是方 程4 x 2 8 x30 的 两根 ， 则a2006a 2007 .4. 设等差数列an的公差 d 不为 0，a19d 若 ak是a1 与a2k的等比中项， 则 k（）2 4 6 85等差数列 an 中， a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 sn =100,则 n= (a)9(b)10(c)11(d)126. 等差数列 an 的前 n 项和为 sn，若 s22, s410, 则s6等于（a） 12（b） 18（c）24（d） 427. 已知数列的通项 an5n2 ，则其前 n 项和 sn8. 已知an是等差数列，a1010，其前 10 项和s1070，则其公差 d（）231123339. 已知 a，b， c，d 成等比数列，且曲线yx22 x3 的顶点是 (b， c) ，则