球面距离计算公式的推导及举例

.球面距离的计算及其计算公式在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离（也叫球面上的短程线或测地线）如图 1， a 、b 为球面上不在同一直径上的两点，o 为圆心，o 为过 a 、 b 的大圆， o 为过 a、;.b 的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内（见图1）设aob2，ao b2，球半径为 r ，半径为 r 则有 ab 大圆弧长 l2r，ab 小圆弧长 l2rl2rrl2ra r（ 1）但 ab2rsin2r sin，即 rrsin sinsin（ 2）将（ 2）代入（ 1）得 llsinasinsin（ 3）rr，由（ 2）式知.由于0，故只需证明函数fx 2sin x在0.x2内为单调递减即可 . fxx cos xsin xcos x xtan x0 ,x2x2当 x0,时，有2tan xx ）fx在0,2单调递减 ,由（ 3）式不难得到ll1 ，即 ll . 故大圆劣弧最短。球面距离公式：设一个球面的半径为r ，球面上有两点a1 ,1、 b2 ,2. 其中1 ，2 为点的经度数，1 、2 为点的纬度数，过a 、 b 两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有arccoscos12cos1 cos2sin1sin2 （弧度）a 、b 间的球面距离为：lrr arccoscos12cos1 cos2sin1sin2 证明： 如图 1， o1 与 o2 分别为过a 、b 的纬度圈，过a 、c 的大圆，过b 、d 的大圆分别为a 、b 的经度圈， 而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作 ae面 o2 bc ，垂足 e 位于o2c 上，连结 eb 、ab . 则ae 2o o 2oooo2rsinrsin2r2 sinsin212121212在o2be 中，由余弦定理，得：be 2o e 2o b 22o2 eo2 bcos12222o1 a2o2b2o1 ao2 b cos1212r cos2r cos22 r cos1r cos2 cos12r2cos2cos22 cos1cos2cos1112故 ab 2ae 2be 2r 2 22 sin1 sin22 cos1 cos2 cos12 又 ab222rsin24r2 sin222r2 1cos，比较上述两式，化简整理得：coscos11 cos1 cos2sin1 sin2 ，从而可证得关于与 l 的两个式子 .计算球面距离的三种类型现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考1. 位于同一纬度线上两点的球面距离例 1已知 a ， b 两地都位于北纬45 ，又分别位于东经30 和 60 ，设地球半径为r，求 a ， b 的球面距离分析：要求两点a ， b 的球面距离，过a， b 作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角aob的大小（见图1），而要求aob往往首先要求弦ab 的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离解： 作出直观图（见图2），设 o 为球心，o1 为北纬 45 圈的圆心，连结oa， ob ， o1 ao1b ，ab 由于地轴 ns平面ao1b oao1 与obo1 为纬度 45 ，ao1 b 为二面角a - oo1 - b的平面角ao1 b603030 （经度差）rt oao1 中，o1 aoa cosoao1r cos 452 r 2 o1ab 中，由余弦定理，ab 2o a2o b22o1 ao1 b cosao1 b11222 r2 r2222 r22 r cos 30223 r2 2 oab 中，由余弦定理：cosaoboa2ob 2ab2r2r223 r2，2232aob21 ab 的球面距离约为r 1802oa ob2r4217r 602. 位于同一经线上两点的球面距离例 2求东经 57线上，纬度分别为北纬68 和 38 的两地 a ， b 的球面距离 （设地球半径为r ）解： 经过a、b 两地的大圆就是已知经线aob6838;.30 ， ab30rr18063. 位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例 3a 地位于北纬30 ，东经 60 ，b 地位于北纬60 ，东经 90 ，求 a ，b 两地之间的球面距离 （见图 4）;.解：设 o为球心，o1 ，o2 分别为北纬30 和北纬 60 圈的圆心， 连结 oa，ob ，ab rt oo1 a 中，由纬度为30知oao130 ，o1oao1oa sinoa cosoao1oao1rsin 30r cos301 r ,232r rt oo 2b 中，obo260 ， o2or sin 603r ， o2 b2r cos 60r, o1o22oo 23131oo1rrr 222注意到o1 a 与 o2 b 是异面直线，它们的公垂线为o1o2 ，所成的角为经度差906030 ，利用异面直线上两点间的距离公式ab 2o a 2o b 2o o 22o a o b cos（为经度差）121212223 r