第二讲三角恒等变换及解三角形.ppt

第二讲三角恒等变换与解三角形 知识回顾 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 1 sin 2 cos 3 tan sin cos cos sin cos cos sin sin 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 1 sin2 2 cos2 3 tan2 2sin cos cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 3 辅助角公式asinx bcosx sin x 其中tan 4 正弦定理及其变形在 ABC中 2R R为 ABC的外接圆半径 变形 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC sinA sinB sinC a b c sinA sinB sinC 5 余弦定理及其变形在 ABC中 a2 变形 b2 c2 a2 cosA 6 三角形面积公式S ABC absinC bcsinA acsinB b2 c2 2bccosA 2bccosA 易错提醒 1 忽视解的多种情况 如已知a b和A 应先用正弦定理求B 由A B C 求C 再由正弦定理或余弦定理求边c 但解可能有多种情况 2 忽略角的范围 应用正 余弦定理求解边 角等量的最值 范围 时 要注意角的范围 3 忽视解的实际意义 求解实际问题 要注意解得的结果要与实际相吻合 考题回访 1 2016 全国卷 若tan 则cos2 2sin2 解析 选A cos2 2sin2 2 2016 山东高考 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 已知b c a2 2b2 1 sinA 则A 解析 选C 因为b c a2 2b2 1 sinA 所以cosA 即cosA sinA 在 ABC中 A 3 2016 全国卷 在 ABC中 B BC边上的高等于BC 则cosA 解析 选C 设 ABC中角A B C所对的边分别为a b c 则由题意得S ABC 所以c a 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB a2 a2 2 a a a2 所以b a 所以cosA 4 2016 全国卷 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 若cosA cosC a 1 则b 解析 因为cosA cosC 所以sinA sinC sinB sin A C sinAcosC cosAsinC 由正弦定理得 解得答案 5 2014 全国卷 已知a b c分别为 ABC的三个内角A B C的对边 a 2 且 2 b sinA sinB c b sinC 则 ABC面积的最大值为 解析 由a 2 且 2 b sinA sinB c b sinC 即 a b sinA sinB c b sinC 由正弦定理得 a b a b c b c 所以b2 c2 a2 bc 又由余弦定理得cosA 所以A 60 所以b2 c2 4 bc 即b2 c2 bc 4 则bc 4 所以S ABC bcsinA 4 答案 热点考向一三角变换及求值命题解读 重点考查利用三角恒等变换解决化简求值 求角问题 以选择题 填空题为主 有时解答题也有出现 典例1 1 2016 全国卷 若 则sin2 2 2016 莱芜二模 若 且 0 则 3 如图 圆O与x轴的正半轴的交点为A 点C B在圆O上 且点C位于第一象限 点B的坐标为 AOC 若 BC 1 则cos2 sin cos 的值为 解题导引 1 利用诱导公式变换角 建立已知角和未知角的联系 利用三角恒等变换公式求值 2 利用两角和的正切公式 求出tan 的值 将所求式子进行化简求值 3 利用三角函数的定义及三角变换公式求解 规范解答 1 选D 因为sin2 2 选A 由又 0 所以sin 故 3 由题意得 OB BC 1 从而 OBC为等边三角形 所以sin AOB 又因为答案 规律方法 1 化简求值的方法与思路 1 方法 采用 切化弦 弦化切 来减少函数的种类 做到三角函数名称的统一 通过三角恒等变换 化繁为简 便于化简求值 2 基本思路 找差异 化同名 同角 化简求值 2 解决条件求值问题的三个关注点 1 分析已知角和未知角之间的关系 正确地用已知角来表示未知角 2 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示 3 求解三角函数中给值求角的问题时 要根据已知求这个角的某种三角函数值 然后结合角的取值范围 求出角的大小 题组过关 1 2016 枣庄二模 已知则sin的值是 解析 选D 2 若tan 2tan 则A 1B 2C 3D 4 解析 选C 3 2016 日照一模 若cos 2 sin 2 0 则 的值为 解析 因为cos 2 且 2 所以sin 2 因为sin 2 且 2 所以cos 2 所以cos cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 因为 所以 答案 加固训练 1 2015 全国卷 sin20 cos10 cos160 sin10 解析 选D 原式 sin20 cos10 cos20 sin10 sin30 2 2016 成都一模 A 4B 2C 2D 4 解析 选D 2 2016 德州一模 已知 则cos 等于 解析 选A 因为 所以 因为所以所以 热点考向二正弦定理与余弦定理命题解读 主要考查利用正弦 余弦定理求三角形的边长 角与面积等基础问题 或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形 或利用正 余弦定理解决实际问题 三种题型都有可能出现 命题角度一利用正 余弦定理进行边 角 面积的计算 典例2 2016 济南一模 在锐角 ABC中 a b c是角A B C的对边 且a 2csinA 1 求角C的大小 2 若c 且 ABC的面积为 求a b的值 题目拆解 解答本例第 2 问 可拆解成两个小题 求ab的值 求a b的值 规范解答 1 由正弦定理得 sinA 2sinCsinA 因为A C是锐角 所以sinC 所以C 60 2 由已知得 ABC的面积S absinC 所以ab 6 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC a b 2 3ab 所以 a b 2 25 所以a b 5 母题变式 1 在本例条件下 求sinA sinB的取值范围 解析 由本例可知C 60 所以A B 120 所以sinA sinB sinA sin 120 A sinA cosA sinA sinA cosA 又 ABC为锐角三角形 所以0 A 90 即A 30 所以sin A 30 故sinA sinB的取值范围为 2 在本例条件下 若c 求 ABC面积的最大值 解析 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab 即7 a2 b2 ab 2ab ab 所以ab 7 所以S ABC absinC 7 sin60 故 ABC面积的最大值为 命题角度二应用正 余弦定理解决实际问题 典例3 1 2016 成都一模 某气象仪器研究所按以下方案测试一种 弹射型 气象观测仪器的垂直弹射高度 在C处 点C在水平地面下方 O为CH与水平地面ABO的交点 进行该仪器的垂直弹射 水平地面上两个观察点A B两地相距100米 BAC 60 其中A到C的距离 比B到C的距离远40米 A地测得该仪器在C处的俯角为 OAC 15 A地测得最高点H的仰角为 HAO 30 则该仪器的垂直弹射高度CH为 A 210 米B 140米C 210米D 20 米 2 2016 泰安二模 如图 从气球A上测得正前方的河流的两岸B C的俯角分别为67 30 此时气球的高是46m 则河流的宽度BC约等于 m 用四舍五入法将结果精确到个位 参考数据 sin67 0 92 cos67 0 39 sin37 0 60 cos37 0 80 1 73 3 2016 烟台二模 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路北侧一山项D在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达B处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度CD m 解题导引 1 利用余弦定理求AC 再利用正弦定理求仪器的垂直弹射高度CH 2 结合图形构造适当的三角形 利用正弦定理求解 3 结合图形 求出 ACB的度数 再利用正弦定理求解 规范解答 1 选B 由题意 设AC x 则BC x 40 在 ABC内 由余弦定理 BC 2 BA 2 CA 2 2 BA CA cos BAC 即 x 40 2 x2 10000 100 x 解得x 420 在 ACH中 AC 420 CAH 30 15 45 CHA 90 30 60 由正弦定理 可得 CH AC 米 2 根据图中给出的数据构造适当的三角形求解 根据已知的图形可得AB 在 ABC中 BCA 30 BAC 37 由正弦定理 得所以BC 2 0 60 60 m 答案 60 3 由题意 在 ABC中 BAC 30 ABC 180 75 105 故 ACB 45 又AB 600m 故由正弦定理得解得BC 300m 在Rt BCD中 CD BC tan30 答案 100 规律方法 1 正 余弦定理的适用条件 1 已知两角和一边 或 已知两边和其中一边的对角 应采用正弦定理 2 已知两边和这两边的夹角 或 已知三角形的三边 应采用余弦定理 2 解三角形应用题的两种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 题组过关 1 2016 聊城二模 在 ABC中 A AB 6 AC 3 点D在BC边上 AD BD 则AD的长为 解析 选B 设 ABC的内角A B C所对边的长分别是a b c 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos BAC 3 2 62 2 3 6 cos 18 36 36 90 所以a 3 又由正弦定理得sinB 由题设知0 B 所以cosB 在 ABD中 由正弦定理得 2 2016 枣庄一模 在 ABC中 角A B C所对的边分别是a b c 已知sin B A sin B A 3sin2A 且c C 则 ABC的面积是 解析 选D sin B A sinBcosA cosBsinA sin B A sinBcosA cosBsinA sin2A 2sinAcosA sin B A sin B A 3sin2A 即2sinBcosA 6sinAcosA 当cosA 0时 由三角形面积公式知S 当cosA 0时 由2sinBcosA 6sinAcosA可得sinB 3sinA 根据正弦定理可知b 3a 再由余弦定理可知cosC 可得a 1 b 3 所以此时三角形的面积为综上可得三角形的面积为所以选D 3 2016 商丘二模 如图 在 ABC中 已知点D在BC边上 满足 0 sin BAC AB 3 BD 1 求AD的长 2 求cosC 解析 1 因为 0 所以AD AC 所以sin BAC sin cos BAD 因为sin BAC 所以cos BAD 在 ABD中 由余弦定理可知BD2 AB2 AD2 2AB ADcos BAD 即AD2 8AD 15 0 解之得AD 5或AD 3由于AB AD 所以AD 3 2 在 ABD中 由正弦定理可知又由cos BAD 可知sin BAD 所以sin ADB 因为 ADB DAC C DAC 所以cosC 加固训练 1 2016 烟台一模 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若bcosC ccosB asinA 则 ABC的形状为 A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不确定 解析 选A 由题可知sinBcosC sinCcosB sin2A 即sin B C sin2A sinA sin2A 因为sinA 0 所以sinA 1 因为0 A 所以A 所以 ABC为直角三角形 故选A 2 2016 南昌一模 已知平面图形ABCD为凸四边形 凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线 其余各边均在此直线的同侧 且AB 2 BC 4 CD 5 DA 3 则四边形ABCD面积S的最大值为 解析 选B 根据题意 连接BD 则S 2 3 sinA 4 5 sinC 3sinA 10sinC 根据余弦定理得 BD2 13 12cosA 41 40cosC 得10cosC 3cosA 7 两边同时平方得100cos2C 9cos2A 60cosCcosA 49 得100sin2C 9sin2A 60 60cosCcosA 而S2 3sinA 10sinC 2 100sin2C 9sin2A 60sinCsinA 60 60cosAcosC 60sinCsinA 60 60cos C A 120 所以S 2 3 2016 潍坊二模 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知 1 求A的大小 2 若a 6 求b c的取值范围 解析 1 因为所以cosA sinA 所以tanA 因为0 A 所以A 2 因为所以b 4sinB c 4sinC 所以b c 4sinB 4sinC 4 sinB sin A B 因为 所以6 12sin 12 即 b c 6 12 热点考向三与解三角形有关的交汇问题命题解读 以三角恒等变换 正 余弦定理为解题工具 常与三角函数 数列 向量 不等式等交汇命题 三种题型均可能出现 典例4 1 2016 郑州一模 设 ABC的三个内角为A B C 且tanA tanB tanC 2tanB成等差数列 则cos B A 2 2016 安阳一模 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且a c 已知 2 cosB b 3 求 a和c的值 cos B C 的值 解题导引 1 利用等差数列的性质及三角恒等变换求解 2 结合向量的数量积公式 将转化为cacosB的形式 再根据题目所给条件由余弦定理可列出关于a与c的方程组 然后求解出a c的值 由同角基本关系式结合正弦定理及两角差的余弦公式 可求出cos B C 的值 规范解答 1 选D 由条件 得tanC tanB tanA tanB 所以 ABC为锐角三角形 又tanA tan C B 得tanB 2 所以tanA 1 所以tan B A 因为B A 所以cos B A 2 由 2 得cacosB 2 又cosB 所以ac 6 由余弦定理 得a2 c2 b2 2accosB 又b 3 所以a2 c2 9 2 6 13 因为a c 所以a 3 c 2 在 ABC中 sinB 由正弦定理 得sinC 因为a b c 所以C是锐角 因此cosC 则cos B C cosBcosC sinBsinC 易错警示 解答本题 2 易出现以下三种错误 1 解题中易忽略条件 a c 而产生增解 2 解题中易忽略角B为三角形内角 即sinB 0 而产生增解 3 未注明角C的限制条件而产生错解 规律方法 与解三角形有关的交汇问题的关注点 1 根据条件恰当选择正弦 余弦定理完成边角互化 2 结合内角和定理 面积公式等 灵活运用三角恒等变换公式 题组过关 1 2016 肇庆一模 ABC中角A B C的对应边分别为a b c 满足 1 则角A的范围是 解析 选A 由 1 得b a b c a c a c a b 化简 得b2 c2 a2 bc 即即cosA 0 A 所以0 A 故选A 2 2014 山东高考 在 ABC中 已知 tanA 当A 时 ABC的面积为 解析 令角A B C的对边分别为a b c 答案 3 2016 成都一模 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 向量