必修四三角函数模型的简单应用(附答案)

.三角函数模型的简单应用 学习目标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.实际问题抽象为三角函数模型知识点一利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、 智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1) 收集数据，画出“散点图”；(2) 观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3) 注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析 思考 1三角函数的周期性2yasin(x ) ( 0)的周期是t |；|2;.yacos(x ) ( 0)的周期是 t |；yatan(x) ( 0)的周期是t |.|思考 2如图，某地一天从6 14 时的温度变化曲线近似满足函数yasin( x ) b.根据图象可知， 一天中的温差是；这段曲线的函数解析式是yx答案2010sin(834 ) 20， x6,14知识点二三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y asin( x )来表示运动的位移y随时间 x 的变化规律，其中：(1) a 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；2(2) t称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间； (3) f 1 称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数t2题型一三角函数模型在物理中的应用例 1已知电流i 与时间 t 的关系为i asin( t )(1) 如图所示的是i asin(t )( 0， | 2)在一个周期内的图象，根据图中数据求i asin( t )的解析式；(2) 如果 t 在任意一段1秒的时间内， 电流 i asin(t)都能取得最大值和最小值，那么 150的最小正整数值是多少？解(1) 由图知 a 300，设 t 1 ， t 1 ，19002111180则周期 t2(t2 t1) 2180900 75.2t1又当 t150 .1时， i 0，即 sin 1500，180180 6而|0)，150150300942，又 n* ，故所求最小正整数 943.跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置)的位移 s(单位： cm) 与时间 t(单位： s)的函数关系是：s 6sin(2 t 6(1) 画出它的图象；(2) 回答以下问题：小球开始摆动(即 t 0)，离开平衡位置是多少？小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？小球来回摆动一次需要多少时间？解(1) 周期 t2 1(s) 2列表：t015612211312162t 3622226sin(26t6)360 603描点画图：(2) 小球开始摆动 (t 0)，离开平衡位置为3 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.小球来回摆动一次需要1 s(即周期 ) 题型二三角函数模型在生活中的应用例 2某港口水深y(米)是时间 t (0 t24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时 )03691215182124y( 米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y asin tb 的图象(1) 试根据数据表和曲线，求出y asin t b 的解析式；(2) 一般情况下， 船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 米是安全的， 如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为 7 米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间).又解(1) 从拟合的曲线可知，函数y asin t b 的一个周期为12 小时，因此2 t6ymin7， ymax 13，a12(ymax ymin) 3，2b 1(ymax ymin) 10.t 10 (0 t 24)函数的解析式为y3sin6(2) 由题意，得水深y 4.57，即 y 3sin6t10 11.5， t 0,24 ，sin1 2k5， k 0,1，66t 2， 6t 2k ， 6t 1,5 或 t 13,17 ，所以，该船在1 00 至 5 00 或 13 00 至 17 00 能安全进港若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16 小时跟踪训练2如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 秒转动一圈， 图中 oa 与地面垂直， 以 oa 为始边，逆时针转动角到 ob，设 b 点与地面距离为h.(1) 求 h 与 之间的函数关系式；(2) 设从 oa 开始转动，经过t 秒后到达ob，求 h 与 t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？解(1) 以圆心 o 为原点，建立如图所示的坐标系，则以ox 为始边，ob 为终边的角为2.2) ，4.8sin()2故 b 点坐标为 (4.8cos( )， 0 ， )h 5.64.8sin( 2(2) 点 a 在圆上转动的角速度是30，故 t 秒转过的弧度数为30t ，h 5.64.8sin( 30t 2)， t 0 ， )到达最高点时，h 10.4 m.由 sin(30t 2) 1. 得30t2 2， t 30.缆车到达最高点时，用的时间最少为30 秒利用三角函数线证明三角不等式例 3心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmhg 为标准值，设某人的血压满足方程式 p(t) 115 25sin(160 t) ，其中 p(t)为血压 (mmhg) ， t 为时间 (min) ，试回答下列问题：(1) 求函数 p(t)的周期；(2) 求此人每分钟心跳的次数；(3) 画出函数p(t)的草图；(4) 求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较分析(1)利用周期公式可以求出函数p(t)的周期； (2)每分钟心跳的次数即频率；(3)用“ 五点法 ” 作出函数的简图；(4)此人的收缩压、 舒张分别是函数p(t)的最大值和最小值，故可求出此人的血压在血压计上的计数，可得 t解(1) 由于 160，代入周期公式t221(min) ，160 80所以函数 p(t)的周期为180 min.1(2) 函数 p(t)的频率 f t 80( 次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3) 列表：32016032080p(t)/mmhg11514011590115t/min01131描点、连线并左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示(4) 此人的收缩压为115 25 140(mmhg) ，舒张压为115 25 90(mmhg) ，与标准值120/80 mmhg 相比较，此人血压偏高.的最小正周期为1. 函 数 y|sin 1x1()|232a 2b c 4d. 2. 一根长 l cm 的线，一端固定， 另一端悬挂一个小球， 小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间 t(s) 的函数关系式为s 3cosgg 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长lcm.l t 3 ，其中3. 某城市一年中12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y aacos6 x 6(x 1,2,3， 12， a0) 来表示，已知6 月份的月平均气温最高，为28， 12 月份的月平均气温最低，为18，则 10 月份的平均气温值为 .4. 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动， 每 30 s 转一圈， 且当摩天轮上某人经过点p 处(点 p 与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1) 求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2) 在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置o 的距离 s cm 和时间 t;.;.s 的函数关系式为s 6sin(100t6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为()11a. 50 sb.100 sc 50 sd 100 s2. 电流强度i(a) 随时间 t(s)变化的关系式是i 5sin(100i 为()3t)，则当t1200s 时， 电流强度a 5 ab 2.5 ac 2 ad 5 a3. 如图所示，设点a 是单位圆上的一定点，动点p 从点 a 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点p 所旋转过的弧ap 的长为 l，弦 ap 的长为 d，则函数 d f(l )的图象大致是()4. 电流强度i (安)随时间 t(秒) 变化的函数iasin( t )(a0，0,0 0， 0,0 0)， f(6) f(3) ，且 f(x)在区间 ( 36， )上有最小值，无最大值，则10. 如图所示，某地夏天从 8 14 时的用电量变化曲线近似满足函数 y)asin( x ) b(0 2(1) 求这一天的最大用电量及最小用电量；(2) 写出这段曲线的函数解析式11. 如图， 一个水轮的半径为 4 m，水轮圆心 o 距离水面 2 m，已知水轮每分钟转动 5 圈，如果当水轮上点 p 从水中浮现时 (图中点 p0)开始计算时间(1) 将点 p 距离水面的高度 z(m) 表示为时间 t(s)的函数；(2) 点 p 第一次到达最高点大约需要多少时间？t (时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.512已知某海滨浴场海浪的高度下表是某日各时的浪高数据：y(米)是时间 t(0 t 24，单位： 小时)的函数， 记作： y f(t)，经长期观测， y f(t)的曲线可近似地看成是函数y acos t b.(1) 根据以上数据，求函数y acos t b 的最小正周期t，振幅 a 及函数表达式；(2) 依据规定，当海浪高度高于1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午 800 时至晚上20 00 时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？当堂检测答案21. 答案a g2. 答案4解析t 2 1， gg2 ， l2.gl 4l3 答案20.5解析由题意得a a 28， a a 18，a 23，a 5，6y 23 5cos x6，1当 x 10 时， y 235 2 20.5.4 解(1) 设在 t s 时，摩天轮上某人在高h m 处这时此人所转过的角为2 t t，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h 10sin15t 12(t 0) 30151(2) 由 10sin 1217，得 sin5 t 25.15t15t 2，则 22故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课时精练答案一、选择题1. 答案a2. 答案b解析当 t 1时， i 5sin( 2.5.2002 3) 5cos 33. 答案c.解析d f(l) 2sinl24. 答案a解析由图象知a 10， t4 1 1 ，22300300100t 100 ， i 10sin(100t)1(300， 10)为五点中的第二个点，100 1 3002. 6 ， i 10sin(100t)， 61当 t100秒时， i 5 安5 答案c，4解析 p0(2，2)， p0ox 按逆时针转时间t 后得 pop0 t， pox t 4，4)，此时 p 点纵坐标为2sin( t d 2|sin( t4) |.当 t 0 时， d2，排除 a 、d ；当 t4时， d0，排除 b.二、填空题6 答案26,27,28，又 解析 t 6m2 6 33m4 ，8m9，且 m z ，m 26,27,28.47. 答案3，解析取 k ， l 中点 n，则 mn 12因此 a由 t 2 得 .1. 2，函数为偶函数，0， 2f(x) 1cos2x， f(1)613cos.264t8. 答案10sin 60解析将解析式可写为d asin(t)的形式，由题意易知a 10，当 t 0 时， d 0，得 0；当 t 30 时， d 10，可得 60，所以d 10sint .60149. 答案3 63解析依题意， x2 4时， y 有最小值，sin( 4 3) 1，34 3 2k 2 (k z )8k 14 3 (k z )，因为 f(x)在区间 (6，3)上有最小值，无最大值，所以 ，4314即 12，令 k 0，得 3 .三、解答题10. 解(1)最大用电量为50 万 kwh， 最小用电量为30 万 kwh.(2) 观察图象可知从8 14 时的图象是y asin(x ) b 的半个周期的图象，a1(50 30) 10，b21 (50 30) 40.212