轴对称、等腰三角形经典练习题

.【知识点回顾】轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。线段垂直平分线的性质 ：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线的判定 ：到线段两端距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论 2：等边三角形的各角都相等， 并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中， 如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半【典型例题】;.例 1. 如图，abc 中， abac，a100，bd 平分abc 。求证： adbdbc 。ad1b2efc分析： 从要证明的结论出发，在bc 上截取 bfbd ，只需证明 cfad ，考虑到12 ，想到在 bc 上截取 beba ，连结 de，易得，则有 adfd ，只需证明 decf ，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出cfdfde 。证明： 在 bc 上截取 beba，bfbd ，连结 de、df在abd 和ebd 中， babe，12，bdbdabdebd (sas)adde ，beda100def80又abac ，a100abcc1 (1802100 )401而bd2140202bfbfddefbdfdfe1 (1802802)1 (1802dedf20 )80dfe80 ，c40fdcdfec804040fdccdffcaddedffcbcbffcbdad即adbdbc【随堂作业】1、下列图形中，不是轴对称图形的是（）a有两个内角相等的三角形b. 有一个内角是45直角三角形c. 有一个内角是 30的直角三角形d.有两个角分别是30和 120的三角形2、下列说法中正确的是（） 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 角是轴对称图形线段不是轴对称图形 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等a.b.c.d. 3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示实际时间是（）a21： 10b. 10：21c. 10：51d. 12： 014、下列推理中，错误的是()a a b c ， abc是等边三角形b abac，且 b c， abc是等边三角形 c a 60， b 60， abc是等边三角形d abac， b 60， abc是等边三角形5、等腰三角形两边的长分别为2cm和 5cm，则这个三角形的周长是() a9cmb12cmc9cm和 12cmd在 9cm与 12cm之间6、若等腰三角形的一个外角为130，则它的底角为 .7、如图， abc 是等边三角形，cbd90 ， bdbc ，则1 的度数是 ca213db.8、如图，在等腰三角形中，点是底边上一个动点，分别是的中点，若的最小值为 2，则的周长是（）abcd9、在等边三角形 abc中， cd是 acb的平分线，过 d作 debc交 ac于 e，若abc的边长为 a，则 ade的周长为()a2ab 4 a 3c.1.5 ad a10、如图，在中，点为的中点， 于点，则等于（c）a. bcd11、如图 7111，在 rtabc中， b 为直角， de是 ac的垂直平分线， e 在 bc上， bae： bac 1： 5，则 c .12、如图 7112，bac 30，am是 bac的平分线，过 m作 meba交 ac于 e，作 mdba，垂足为 d，me 10cm，则 md .13、已知：如图 7 120，等腰直角三角形 abc中， a90，d 为 bc中点，e、f分别为 ab、ac上的点，且满足ea cf求证： de df14、已知：如图abc 中，ab=ac ，ad 和 be 是高，它们交于点 h，且 ae=be， 求证： ah=2bd aeh;.bdc【课后作业】1、如图：等边三角形abc 中， bdce，ad 与 be 相交于点 p，a则ape 的度数是（）a45b55ec60d75p2、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两bc部分的差为 3cm，则腰长为（）da. 2cmb. 8cmc. 2cm 或 8cmd.以上都不对3、如图， abc 中， ab ac， a36， bd、ce 分别为 abc 与 acb的角平分线，且相交于点f，则图中的等腰三角形有（）a. 6 个b. 7 个c. 8 个d. 9 个a 36edfbc4、如图 , mpn 25 ,又 pa ab bc cd,则 dcm 度。5、 已知：在 abc中, a=20 ,d 为 ab 上一点 ,ad=dc,且 acd bcd=2 3, 则 abc= 6、等边 abc 中，点 p 在abc 内，点 q 在 abc 外，且 abp= acq， bp=cq，问 apq 是什么形状的三角形？试说明你的结论aqpbc7、已知：如图，ad 平分 bac ， ef 垂直平分ad 交 bc 延长线于f，连结 af 求证： b= caf.;.8、 如图， abc 中，abc=2 c，ad 是 bc 边上的高， b 到点 e，使 be=bd求证： af=fcafbdec一、选择题（每小题3 分，共 30 分）1下列图案中是轴对称图形的是()2以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是()3到三角形的三个顶点距离相等的点是()a 三条角平分线的交点b三条中线的交点c三条高的交点d三条边的垂直平分线的交点 4已知点p 在线段 ab 的中垂线上，点q 在线段 ab 的中垂线外，则()a pa pbqa qbb pa pbqa qbcpa pb qa qbd不能确定5等腰三角形的一个外角等于100，则与它不相邻的两个内角的度数分别为()a 40 ， 40b 80， 20c 50， 50d 50， 50或 80 ， 206. 下列说法：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；等腰三角形的两腰上的中线长相等；等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；等腰三角形的一边长为8，一边长为 16，那么它的周长是32 或 40其中不正确的个数是()a 1b 2c 3d 47. 在 abc 中， ab ac ，bd 平分 abc ，若 bdc 75，则 a 的度数为()a30b 40c 45d 608. 在等腰三角形abc 中， ab ac ，中线 bd 将这个三角形的周长分为15 和 12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()a7b 11c 7 或 11d 7 或 109. 如图，在 abc 中， ac ad bd ， dac 80，则 b 的度数是()a 40b35c 25d 2010. 如图，直线 l 是一条河， p，q 两地相距8 km ，p，q 两地到 l 的距离分别为2 km ，5 km， 欲在 l 上的某点m 处修建一个水泵站，向p，q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是()二、填空题（每小题3 分，共 24 分）11. 粗圆体的汉字 “口”“天”等都是轴对称图形， 请再写出至少三个以上这样的汉字 12. 如图， abc 中， de 垂直平分ac ，与 ac 交于点 e，与 bc 交于点 d ， c 15，bad 60，则 abc 是 三角形13. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20，则其顶角的大小为 14. 如图，已知abc 中， ab ac ，ab 边上的垂直平分线de 交 ac 于点 e， d 为垂足， 若 abe ： ebc 2： 1，则 a 15. 在 abc 中， ab ac ， a 36，角平分线be 与 cd 相交于点f，如果不添加其他线和字母，那么图中等腰三角形有 个16. 如图， ad 是 abc的中线， adc 60， bc 4，把 adc 沿直线 ad 折叠后， 点 c 落在 c的位置上，那么bc的长为 17. 如图，在abc 中， ab ac ， ad 是 bac 的平分线，点e 是 ad 的任一点，若abc 的面积为12 cm，则图中阴影部分的面积是 cm 18. abc 是等边三角形， 点 d 是 bc 边上的任意一点，de ab 于点 e，df ac 于点 f， bn ac 于点 n，则 de， df， bn 三者的数量关系为 三、解答题（共46 分）19（ 6 分）（ 2013盐城）如图是3x3 正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形abcd的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有几种？20（ 6 分）已知：如图，bce 、 acd 分别是以be、ad 为斜边的直角三角形，且bead ， cde 是等边三角形求证：abc 是等边三角形答案：考点精练1 82.5 2 30a 3 220 4 1055 368 6 7 秒或 25 秒7 （ 2， ?-23 ）8 10 9 d 10 b 11 b 12 b13 7cm 或 11cm 14关系： de=db， cd=ce， e= edc， 又 acb=60， e=30， 又 dbc=30， e= dbc，? db=de15（ 1）或（ 2）已知求证abc是等腰三角形证：先证 ebo dco得 ob=oc，得 dbc= ecb abc=acb即 abc是等腰三角形 16（ 1） def是等边三角形，提示证 adf bed cfe即得 def是等边三角形（ 2） ad=be=cf成立证略【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律1例 1在 abc中， ab=ac， 1=21 abc， 2=2 acb，bd与 ce相交于点o，如图， boc的大小与 a 的大小有什么关系？若 1= 1 abc， 2= 1acb，则 boc与 a 大33小关系如何？若1= 1 abc，2= 1 acb，则 boc与nna 大小关系如何？【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，根据等腰三角形的性质，1= 2， abd= ace，即可得到 1= 12 abc， 2= 12 acb时， boc=90 + 12a； 1= 1 abc， 2= 1 acb时， boc=120 + 1 a；333 1= 1 abc， 2= 1 acb时，nboc=1 180 + annn【点评 】在例 1 图中，若规律仍然存在ae=1nab，ad=1nac类似上题方法同样可证得bd=ce?上述会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例 2如图，等腰三角形abc中， ab=ac，一腰上的中线bd?将这个等腰三角形周长分成15 和 6 两部分， 求这个三角形的腰长及底边长【分析】要分ab+ad=15， cd+bc=6和 ab+ad=6， cd+bc=15两种情况讨论利用等腰三角形的性质证线段相等例 3（ 2006 年常德市）如图，p 是等边三角形abc内的一点，连结 pa、pb、pc， ?以 bp为边作 pbq=60，且 bq=bp，连结 cq（ 1）观察并猜想ap 与 cq之间的大小关系，并证明你的结论（ 2）若 pa：pb：pc=3： 4： 5，连结 pq，试判断 pqc的形状，并说明理由【分析】（1）把 abp绕点 b 顺时针旋转60即可得到 cbq ? 利 用 等 边 三 角 形 的 性 质 证 abp cbq， 得 到ap=cq（ 2）连接 pq，则 pbq是等边三角形pq=pb， ap=cq故 cq：pq：pc=pa：pb：pc=3：4：5， pqc是直角三角形【点评 】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明【考点精练】一、基础训练1. 如图 1，在 abc中， ab=ac， a=50， bd为 abc的平分线，则bdc= （ 1）（ 2）（ 3）2. 如图 2，是由 9 个等边三角形拼成的六边形，?若已知中间的小等边三角形的边长是a， 则六边形的周长是 3. 如图 3，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2= 度4（ 2006 年烟台市）如图4，在等腰直角abc中， b=90，将 abc绕顶点 a 逆时针方向旋转 60后得到 abc，则 bac等于 （ 4）（5）（6）5（ 2006 年包头市）如图5，沿 ac方向开山修渠，为了加快施工进度，?要在小山的另一边 同时施工从ac上的一点b 取 abd=135， bd=520米， d=45，如果要使a、c、e 成一直线，那么开挖点e 离 d 的距离约为 米（精确到1 米）6（ 2006 年诸暨市）等腰abc的底边 bc=8cm，腰长 ab=5cm，一动点p 在底边上从点b 开始向点 c 以 0.25cm/ 秒的速度运动， 当点 p 运动到 pa与腰垂直的位置时，点 p?运动的时间应为 7如图 6，等边 abc，b 点在坐标原点，c 点的坐标为（ 4， 0），点 a 关于 x 轴对称点a?的坐标为 8（ 2006 年江阴市） 如图 7，在 abc中，ab=ac， bad=20?，且 ae=?ad，则 cde= （7）（ 8）（ 9）9（ 2005 年常州市）如图8，在等腰三角形abc中， ab=ac， a=44， cd ab于 d，则 dcb等于（）a 44b68c 46d 2210（ 2006 年海南省）如图 9，要在离地面 5m 处引拉线固定电线杆， ?使拉线和地面成 60 角，若考虑既要符合设计要求， 又要节省材料， 则在库存的 l 1=5.2m ，l 2=6.2m ，l 3=7.8m ， l 4=10m 的四种备用拉线材料中，拉线 ac 最好选用（ ）a