概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一事件及其概率1. 设 a, b, c 为三个事件，试写出下列事件的表达式：精品资料(1)a, b, c 都不发生； (2)a, b, c 不都发生； (3)a, b, c 至少有一个发生； (4)a, b, c 至多有一个发生。解： (1)abcabc(2) abcabc(3) abc(4) bcacab2. 设a , b 为两相互独立的随机事件, p( a)0.4 , p(b)0.6 ,求p( ab),p( ab ),p( a | b) 。解： p( ab)p( a)p(b)p( ab )p( a)p(b)p( a)p( b)0.76 ；p( ab)p( ab )p( a)p( b)0.16,p( a | b)p(a)0.4 。3. 设a, b 互斥，p(a)0.5 ，p(ab)0.9 ，求p( b ),p( ab) 。解： p(b)p(ab)p( a)0.4, p( ab)p( a)0.5 。4. 设p( a)0.5, p(b)0.6, p( a | b)0.5，求p( ab),p( ab) 。解： p( ab )p( b)p( a | b)0.3, p( ab)p( a)p( b)p( ab)0.8,p( ab )p( ab)p(a)p( ab )0.2 。5. 设a, b, c 独立且p( a)0.9,p( b)0.8, p(c )0.7,求 p( abc) 。解： p( abc)1p( abc )1p( abc )1p( a)p(b) p(c)0.994 。6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解： (1)p211cccc c2152815。24；(2)p4610107. 从 0 9 十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。c c112c12。3解： p15108. 从 (0,1) 中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。10.80.8解： p20.32。19. 甲袋中装有5 只红球， 15 只白球，乙袋中装有4 只红球， 5 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中， 再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设 a“从甲袋中取出的是红球”， b“从乙袋中取出的是红球”，则：p( a)1 , p( a)3 , p(b | a)1 , p( b | a)2 ,4425由全概率公式得：17p(b)p(a)p( b | a)p( a) p(b | a)。4010. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50% 、40% 、10% ，而三厂产品的合格率分别为95% 、85% 、80% ，求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解： (1)设 a1 , a2 , a3 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，b 表示买到合格品，则p( a1 )0.5, p( a2 )0.4, p( a3 )0.1, p(b |a1 )0.95,p( b | a2 )0.85, p( b | a3)0.8,由全概率公式得p( b)3p( ai )p(b | ai )0.895 ；i 1(2)p( a1| b)。p( a1 b)p( a1) p( b | a1 )0.47595p(b)p(b)0.895179二一维随机变量及其数字特征1. 已知 x 的概率密度函数f ( x)kx1,0x2，求 k , px1 , ex 。0,else2解：f(x)dx2( kx01)dx12k21k,2xpx1211dx9ex2 x1 x1 dx21，。222160232. 设 x b(3 ,0.1) ，求 px2 , p x1 。223解： p x2c3 (0.1) (0.9)0.027, p x11p x010.90.271。373. 设三次独立随机试验中事件a 出现的概率相同，已知事件 a 至少出现一次的概率为验中出现的概率p 。，求 a 在一次试64cp3解：三次试验中a 出现的次数x b(3,p) ，由题意：p x11p x0100 (1p) 31(1p)33764p1 。44. 某种灯管的寿命x （单位：小时）的概率密度函数为f ( x)1000x2,x1000，0,else(1) 求 p x1500 ；(2) 任取 5只灯管，求其中至少有2 只寿命大于 1500的概率。10002解： (1)p x15001500x2dx3 ；(2) 设 5 只灯管中寿命大于1500 的个数为 y ，则y b5, 2，故354py21p y0p y111521232 。3332435. 设 x b(n, p), ex1.6, dx1.28,求 n, p 。解： exnp1.6,dxnp(1p)1.28n8, p0.2 。6. 设 x(2) ，求p x2,e( x 22 x3) 。解： p x213e 2 ，e( x 22 x3)e( x 2 )2ex32exdx2 ex342437 。7. 设 x u 1,6 ，求 p4x2 。解 ： f1 ,1x6(x)7， p4x22f ( x)dx10 dx2 1 dx3。0,else441 778. 设 x 服从 (1,5) 上的均匀分布，求方程t 2xt10有实根的概率。解 ： f1 ,1x(x)65， p02p x405 11dx。0,else2 629. 设 x u 1,3 ，求ex ,dx , e1。x解： ex2, dx2(31)1 ,f (x)1 ,1x3 , e13 1 1 dx1 ln 3 。12320,elsex1 x 2210. 设某机器生产的螺丝长度x n (10.05,0.0036)。规定长度在范围10.050.12 内为合格，求螺丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为p 10.050.12x10.050.120.12p0.06x10.050.060.120.06(2)(2)2( 2)10.9544故螺丝不合格的概率为10.95440.0456 。11. 设 x n (0,4) ， y2 x3000 ，求 ey 、 dy 及 y 的分布。解： ey2 ex30003000, dy4 dx16, y n (3000,16) 。12. 设 x 与 y 独立，且x n (1,1), y n (1,3), 求 e (2 xy ),d (2 xy ) 。解： e (2 xy )2exey1, d (2 xy)4 dxdy7 。13. 设 x(4), y b4, 12,xy0.6,求 d (3 x2y ) 。解： d(3x2y)9dx4dy12xydxdy25.6。14. 设 x u 1,2 ，求 yx 的概率密度函数。解： fy ( y)p yyp xy(1) 当 y0 时，fy ( y)0 ；y 12(2) 当 0y1 时，fy ( y)dxy ；y 331y 1y1(3) 当 1y2 时，fy ( y)0dxdx；y1 33(4) 当 y2 时，fy ( y)1 ；0,y02 y,0y12 ,0y13故 f ( y)3， f( y)f ( y)1,1y2 。yy1yy,1y231,y230,else三二维随机变量及其数字特征1. 已知( x , y) 的联合分布律为：y112x50.10.4050.2a0.2(1) 求 a ；(2) 求 px0,y1 , p y1| x5 ；(3) 求x ,y 的边缘分布律；(4) 求xy ；(5) 判断 x , y 是否独立。解： (1)a0.1;(2)0.3, 0.2 ；(3)x : 0.5, 0.5; y : 0.3, 0.5, 0.2 ；(4)ex0, ey0.6, e( xy )0cov( x ,y)0,xy0 ；(5)0.10.40.20.1，不独立。2. 已知 ( x , y) 的联合分布律为：x102y0a1196111b93且 x 与y 相互独立，求：(1) a,b 的值；(2) (2)p xy0 ；(3) x , y 的边缘分布律；(4) (4)ex ,ey, dx, dy ；(5) zxy 的分布律。11解： (1)a96a1 , b2 ;1b11899345(2)p xy01p xy01；99(3)11112x :,; y :,；63233(4)ex5 , ex 213 , dxex 2(ex ) 253 , ey2 , ey 22 , dyey2( ey) 22 ；6636339151(5)p z1, p z0, p z2。9933. 已知( x ,y ) 的概率密度函数为f ( x, y)c( xy),0x2,0y1，求：0,else(1) 常数 c；(2) 关于变量x 的边缘概率密度函数f x ( x) ；(3) (3)e ( xy ) 。21211解： (1)f ( x, y) dxdydxc(xy)dycxdx2cc3c1c；000231 1 ( xy)dy1x1,0x2(2)f x (x)f (x, y) dy0 3320,；else(3)e( xy )( xy) f( x, y) dxdy2 dx1 1 ( x00 3216y) dy。94. 设 ( x ,y) 的概率密度函数为：f ( x, y)axy,0x1, 0yx，0,else(1) 求 a ；(2) 求f x ( x ),f y ( y ) ；(3) 判断 x , y 是否独立；(4) 求 py1, pxy1；2(5) 求 cov( x ,y) 。解： (1)1 dxx axydya1a8 ；(2)00f x (x)8f (x, y)dyx8 xydy04 x3 ,0x1，0,elsef y ( y)f (x, y)dx18 xydxy4 y(1y2 ),0y1；0,else(3)f ( x, y)f x ( x)fy ( y)x , y 不独立；(4) px1 21 4x3dx1215， pxy1161/2dy01 y18 xydx；y64844(5) ex, ey, e( xy), cov( x ,y)e( xy )e( x ) e(y)。5159225四中心极限定理1.某种电器元件的寿命服从指数分布e (0.01)（单位：小时） ，现随机抽取 16 只，求其寿命之和大于1920小时的概率。解：设第 i 只电器元件的寿命为xi(i1,2,16),则 e(x i )100, d( xi )10000 。令16xx i ，i 1则 ex1600, dx160000。由中心极限定理得px1920px1600192016000.81(0.8)0.2119 。1600004002. 生产灯泡的合格率为0.8 ，记 10000 个灯泡中合格灯泡数为x ，求(1)e( x ) 与d ( x ) ；(2) 合格灯泡数在7960 8040之间的概率。解： (1)x b(10000,0,8),e( x )100000.88000,d( x )100000.80.21600 ；(2) 由中心极限定理得p 7960x8040p7960408000x8000408040800040(1)(1)2(1)10.6826 。3. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80% 的长度不小于3m ，现从这批木柱中随机地取100根，问至少有 30根短于3m 的概率是多少？解：设这 100 根木柱中短于3m的个数为x ，则x b (100,0.2), ex1000.220, dx1000.20.816 ；由中心极限定理得px30pxex dx3020162.51(2.5)0.0062。4. 某单位设置一电话总机，共有200 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻每个分机有0.05 的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于0.9 的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?解：设至少需要k 条外线。使用外线的分机数x b (200,0.05) ，ex2000.0510, dx2000.050.959.5 。由中心极限定理得：pxkpxexk10k100.9dxk101.28k9.59.59.513.9452 。五抽样分布1.从一批零件中抽取6 个样本，测得其直径为1.5,2,2.3,1.7,2.5,1.8 ，求x, s2 。162162解： xxi1.9667, s( xix )0.1427 。6 i 15 i 12. 设x 1 , x 2 是来自正态总体n (0,9) 的简单随机样本，已知ya( x 1x) 2 服从2 分布，求 a 。2x1x 22x1x221解： x1x 2 n (0,18) n (0,1)(1)a。1818183. 总体x n (72,100) ，(1) 对容量 n50 的样本，求样本均值x 大于 70 的概率；(2) 为使 x 大于 70 的概率不小于0.95，样本容量至少应为多少？解： (1)x n72,2 , p( x707270)11(2)(2)0.92 ；21007072nn(2)x n72, p( x70)110.95nn1.6455n67.65 。100 / n554. 设10x , x , x取自正态总体n (0,0.09) ，求 px 21.44。1210ii 1解：由于n2( x i)i 12102(n) ，故 p21.44p2(10)160.1。xii 15. 设x 1,x 2,x n 来自总体x n(,2 ) ，s2 为样本方差，求es2 ,ds2 。222( n1)s解：2 ( n1), e(s2 )e2 ( n1)(n1)2 ,2n1n1244d( s2 )d2 (n1)2(n1)2。n1(n1)2n1六参数估计1. 设随机变量x b(n,p) ，其中 n 已知。 x 为样本均值 , 求 p 的矩估计量。解： exnpxp?x 。n2. 设总体 x 的概率密度函数为：1,f (x)1x1，其中是未知参数，求的矩估计量。解： ex120,x?2 x1 。else3. 设总体 x 的分布律为x123p12现有样本： 1,1,1, 3,1, 2, 3, 2, 2,1, 2, 2, 3,1,1, 2 ，求的矩估计值与最大似然估计值。解： (1)ex23(12)33x?3x3，将 x75?代入得；412763(2)似然函数lp x11, x 21,x 162p x11 p x 21p x 162(12)对数似然函数ln l13ln3ln(12) ，令ln l13613?0 ，得。12234. 设总体 x 的概率密度函数为f (x)x1 ,0x1。0,else现测得 x 的 8 个数据： 0.6, 0.4, 0.8, 0.6, 0.8, 0.7, 0.6, 0.6 ，求的矩估计值和最大似然估计值。解： (1)e( x )xf ( x)dx1xx1dx，令01e( x )x ，得?x0.63751x10.63751.76；nnn1n(2)似然函数lf ( x )x1nx，对数似然函数ln ln ln(1)lnx ，令i 1ln lnnii 1i?i 1iii 1n8ln xii 10 ，得nln xii 13.76262.13 。5. 设轴承内环的锻压零件的平均高度x 服从正态分布n (,0.4 2 ) 。现在从中抽取20 只内环，其平均高度x32.3毫米，求内环平均高度的置信度为95% 的置信区间。2解：已知，置信区间为xz , xz。将 x32.3,0.4,n 20,z 0.0251.96代入，n2n2得所求置信区间为(32.125, 32.475) 。6. 为了估计一批钢索所能承受的平均张应力(单位：千克力/ 平方米 )，从中随机地选取了10 个样品作实验,由实验所得数据算得：x6720, s220 ，设钢索所能承受的张应力服从正态分布,试在置信水平95%下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。2ss解：未知，置信区间为xt(nn21) , xt(nn21)。将 x6720, s220, n10, t0.025 (9)2.2622 代入，得所求置信区间为(6562.6, 6877.4) 。7. 冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取10 根，测试折断力，得数据为578 ， 572 ， 570 ， 568 ， 572 ， 570 ， 570 ， 596 ， 584 ， 572求： (1)样本均值和样本方差；(2)方差的置信区间（0.05 ） 。11102102解： (1)xxi575.2, s( xix)75.73 ；10 i 19 i 1(n1)s2(n1)s2975.73975.73(2)未知，置信区间为2 (n1) ,2(n1,1)19.02282.7004(35.83, 252.40) 。22七假设检验1. 某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量(单位： 千克 )服从正态总体分布n (, 4 )，今随机地抽查了 9 袋，称出它们的重量如下：50 ， 48， 49 ，52 ， 51， 47， 49 ， 50， 50问在显著性水平0.05下能否认为袋装糖的平均重量为50 千克？2x0解：由题意需检验h 0 :50,h 1 :50 。已知，拒绝域为uz1.96 ，将/n2x49.5556,050,2n