大一高等数学(上)期中测试

;.高等数学（上）期中测试题一 填空题：（每小题4 分，共 32 分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）1;.1. 设f ( x)(1x) x, x0在(,) 上 处 处 连 续 ， 则xa,x0ea-1。111解lim1xxlim1xxe 1x0x0limxaa ,有连续性有ae-1x02. 已知f(3)2,则 limf (3h)1f (3)。h02hf (3)f (3h)解 已知f3lim2则 limf (3h0h)fh(3)1limf (3)f (3h)h02h2 h0h1f3121223. 函数f ( x)x2cosx 在0,上的最大值为326解 令fx12sin x0 得 x6f02f3f6622则最大值为6x35(tsint)dyd2 y14. 设，则t0y5(1cost)dxdy0, dx2t0 20dy解dxt0dt dxdtt05sint051costt0ddy2ddydxdydxdtdtdx2t0dxdxt0t0cost1cost1costsin2 t2151cost205. 设yx1x ( x0) ，则yt0x x1xx ln x解 两边取对数有ln y两边关于x 求导得y1xln xln x1x,整理后即得结果yx6. 设函数dyyy( x)ysin xy1由方程xydx。cos(xy)0确定，则1x sin xy解 对方程两边关于x 求导得 :1y -sin xyyxy0yysin xy1则 dyysin xy1dx1x sin xy1x sinxy7. 曲线ye 2 x 在点 m(0,1)45处的曲率 k25y2 x解x02ex02yx04e 2 x4x 0y445则 k331y 2212 22258. 函数f ( x)xxe在x01处的二阶泰勒公式为f ( x)e2ex13ex123ex1 326xn解 由fxnxe,代入泰勒公式即得二选择题： （每小题4 分，共32 分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里）1. 当 x0时，下列函数中为无穷小的函数是（d）。1a.lg sin x ；b. cosx；c.sin 1x1x2；d.e。1解 a. limlgsin xb. limcos不存在x0x0x1c. limsin1不存在d. limex02x0xx02. 设f ( x)x sin 1, xx20f(，则x)在点 x0处（ c ）。0, x0a. 极限不存在；b. 极限存在，但不连续；c连续，但不可导；d.可导。解 由 limx sin10f0x0x 2则f (x)在点 x0处连续2x sin 1又f0limfxf0limxx0x011x0xlimsin2 不存在则f (x0xxx)在点 x0处不可导3. 设 ysinarccosx，则21y () 2（ a ） 。1a.；b.23；c.213；d.。22yarccosx解x1cos11122221xx1224. 曲线xt cost在 t处的切线方程是（b ） 。yt sint4a.y24 ( x2) ；848b.y24( x2) ；848c.yx；d.yx。dy解dydtdx tdxsinttcosttcost4sint t444dtt4242则切线方程为yx424425. 已知函数ye2 xcosx ，则y(40)（ a ） 。a.240e2 xcosx ；b.240e2 xsin x；e2 xc.cosx ；d.e2 xsin x。e2 xn解2ne2 xncosxcosxn 2则即得结果a356. 曲线yxx的凹区间是（b ） 。a.(,0) ； b. 0,； c. (,) ； d.以上都不对。解y15 x 3y52 x3102133393x当 x0,+时, y0,则曲线是凹的7.若f (x)f ( x ),(x) ，在 (,0) 内f( x)0且f(x)0，则在 (0,) 内有（c ）。a.fc.f( x)0, f( x)0, f( x)0；b.f( x)0；d.f( x)0, f( x)0, f( x)0；( x)0。解 设 x0,则x,0f-xfxf- xfx又f- x0fxfx由则ff- xx0fx且fx008. 函数yf ( x)对一切x 满足xf(x)3 x f( x)21e x，若f( x0 )0，( x00)则（b ） 。a.fb.f( x0 )是( x0 )是f ( x)的极大值； f ( x)的极小值；c.(x0,f ( x0 ) 是曲线yf (x) 的拐点；d.f( x0)不是f ( x)的极值，( x0 ,f ( x0 )也不是曲线yf (x) 的拐点。1e x0ex0 100解fx0xx ex0当 x00fx 00， 当 x0 0fx00也即fx00，则xx0 不是拐点又fx00,则f ( x0 )是f ( x)的极小值三解答题：ln2x1. 求函数f ( x)的单调区间与极值。 （ 8 分）x解 定义区间为0,122ln xxxlnx2ln xln2x令fxx2x20有x1 或者xe20,111,e2e2e2 ,fxfx极小值极大值则在 (0,1e2,) 单调减少 ,在1,e2上单调增加极小值 :f10,极大值 :fe24e22. 求下列极限。 （每小题6 分）(1) lim 1 (11)x0xsin xtan x1 x2解 原 式lim1 (1cosx )lim 121x0xsinxx0xx2( 2 )limlncos(x1)x11sinx 2解应用洛比塔法则,有1sinx1原式limcos x1x1cosx 22tanx1sec2x1 4limlim22x1x1cosx 22sinx223. 确定函数f ( x)1x1e1x的间断点，并指出间断点所属的类型。（ 8 分）解 函数在 x0,x=1处无定义 .由于lim1xe1x1e00x0故 limfx,从而 x0是fx的无穷间断点x0xx又 lim,lim,故x11xx11xxxlim e1xe0,lim e1xex1x1所以f10,f11,因此 x1是 fx的跳跃间断点4.（ 8分）设函数f ( x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且1f (0)f (1)0,1f ()1，证明： 2(1) 存在(,1)，使 2f ()；( 2 ) 存在(0,1) ，使得f()f ()1。证(1) 设 fxfxx由f ( x)在0,1 上连续，在(0,1) 内可导则 fx在1 ,12上连续 ,可导111111在,1上 ff1