集合典型例题

1.集合的含义及其表示（一）集合元素的互异性-可编辑修改 -1. 已知 xr ，则集合3,x, x 22x 中元素 x 所应满足的条件为变式：已知集合a a2,( a1)2 , a23a3，若 1a ，则实数 a 的值为 2. ma, b, c中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 等腰三角形（二）集合的表示方法1. 用列举法表示下列集合（ 1） a x | x| a | b |, a, b为非零实数 ab变式：已知a,b,c 为非零实数 ,则abcabc| a | b | c | abc |的值组成的集合为 （ 2）a( x, y) | y6z , x3x12n * a( 1,3),( 2,6), (4,6), (5,3),(6,2), (9,1)变式 1 ：ax xn,n6x变式 2 ： ax, yxy6, xn, yn（ 3）集合 a x | xz ,2x62, b y | yx2 , xa,*用列举法表示集合b（ 4）已知集合m= az |5a6n ，则集合m 中的元素为*变式：已知集合m= 5az | an ，则集合m 中的元素为2. 用描述法表示下列集合（ 1）直角坐标系中坐标轴上的点 变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点 （x, y) yx, xr（ 2）能被 3 整除的整数 x x3n, nz.3. 已知集合a0，1 ， bx xa ， cx xa（ 1）用列举法写出集合b,c；（ 2 ）研究集合a, b,c之间的包含或属于关系4. 命题(1)0x20；(2) 00,0；(3) 0；(4) 0n 表述正确的是.5. 使用和和数集符号来替代下列自然语言：（ 1） “255 是正整数 ”（ 2） “2 的平方根不是有理数”（ 3） “3.1416是正有理数 ”（ 4 ） “-1 是整数 ”（ 5） “x 不是实数 ”6. 用列举法表示下列集合：（ 1）不超过30 的素数（ 2）五边形abcde 的对角线（ 3）左右对称的大写英文字母（ 4 ）60 的正约数7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合e ， ae, be（ 1）平面上以a 为圆心， 5 为半径的圆上所有点的集合为 pe pa5（ 2）说明下列集合的几何意义：pe pa5 ； pe papb8. 当a,b 满足什么条件时，集合xaxb0 是有限集？无限集？空集？9. 元素 0、空集、 0 、三者的区别？10. 请用描述法写出一些集合a ，使它满足：（ i）集合 a为单元素集，即a 中只含有一个元素；（ ii ）集合 a 只含有两个元素；（ iii）集合 a为空集11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合j ，孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢？这是关键问题。设所有的鸡蛋组成集合d ，要确定 d 的元素，就得立个标准， 说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。（三）空集的性质1. 若?x|x2a， ar ，则实数a 的取值范围是 2. 已知 a 是实数，若集合x| ax 1是任何集合的子集，则a 的值是 .03. 下列三个集合中表示空集的是(1) 0 ； (2) ( x, y)|y2 =- x2 ,xr ，yr ；(3) xn|2 x2 +3 x-2=0.变式 1 ：若集合a y | yx, b x | y1x, 则ab = 变式 2 ：若集合a1,0,1， by | ycos(x),xa ，则 ab 1,1（四）集合相等1. 已知 集合 a=ba,1a，b=a 2 , ab,0，若 a=b ，则 a 2004b 2003 2. 已知集合a1,1x,12x ，集合 b1, y, y2，且 ab ，求实数 x 和 y 的值 .3. 已知 a2, 2010, x21, b0, 2010, x23 x,且ab ，则 x 的值为 4. 已知 a x， xy， lg( xy )， b 0 ，|x|， y，且 a b，试求 x， y 的值5. 已知集合p1,1d,12d, q1,q, q2, 且 pq ，则 d , q 6. 两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：（ 1）用列举法分别写出下列集合：aaz2a4 ； bbz2b4（ 2）请你判断两集合a 和集合 b 是否相等？2.集合方程问题1. 若集合ax| ax2bx10, xr（ 1 ）若 a1,1，求 a,b 的值；（ 2 ）若 a1 ，求a, b 的值2. 若集合 x | ax 2x10 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为.3. 设yx2axb, ax yxa，求a,b .4. 已知集合2ax ax2x10, xr， a 为实数 .（ 1）若 a 是空集，求a 的取值范围；（ 2）若 a 是单元素集，求a 的值；（ 3）若 a 中至多只有一个元素，求a 的取值范围5. 已知集合aa 关于x 的方程 x4 1 有惟一解，用列举法表示集合a 为.2xa变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？3.子集、全集、补集1. 集合 a x | kx10 ，集合 b x | xky20 ，若 ab ，k 的取值集合 为 2. 设集合 u=( x， y)| y=3 x 1 ， a=(x， y)|x1 =3 ，则 cu a=.3. m=x|2x5, n=x| a+1x2a1. 若 mn，实数 a 的取值范围为.4. 若 ax x22(a1) xa 210 ，b=x|x 2 -4x=0 ，c=x|x 2-8x+16=0 ， 若 ab c, 求实数 a 的取值范围5. a x x1 或 x2 ，b x 4xa0 ， 当 ba时，实数 a 的取值范围为 6. 已知集合a x1ax2 ，b x x1 ，满足 ab ，则实数 a 的取值范围为 变式：已知集合ax0ax15 ，集合 bx1x22（ 1）若 ab ，求实数a 的取值范围（ 2）若 ba，求实数a 的取值范围（ 3） a、b 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由7. 已知集合mx | 3a1x2a， nx |1x3，若 n c r m，实数 a 的取值范围为 8. 已知全集u=1 ， 2，3 ， 4 ，5 ， 6 ， 7， 8 ， 9 ， ab 2,(cu a)(cu b)1,9,2(cu a)b 4,6,8，则 a,b.9. 设ur ，集合ax | x23x20， bx | x(m1)xm0, 若(cu a)b， m = 10. 已知全集 u 0,1,2,3 ，若cu m1,3, a 2a，则 a 的值为 11. 若集合 a x | 0x2.分别求出当全集为下列集合时的eu a .(1) ur ； (2) u x | x1 ； (3) u x | 0x3 .12. 若集合 m x x2x60 ， n x( x2)( xa)0 ，且 nm ，则实数 a的值为 13. 已知集合a 2,4,6,8,9 ， b1,2,3,5,8，是否存在集合c，使 c 中的每个元素加上 2 就变成了a 的一个子集， 且 c 中的每个元素减去2 就变成了b 的一个子集？若存在，求出集合 c ；若不存在，说明理由14. u1,2 ， a x x 2pxq0 ， cu a1 ，则 pq 15. 写出满足条件 ama ， b， c ， d 的集合m16.已知 a=0 ， 2 ， 4 ， c ua=-1 ， 1 ， c ub=-1 ， 0， 2，求 b=17. 设集合 a1,2,3,4,5,6, b4,5,6,7,则满足 sa 且 sb的集合 s 的个数为 5618. 已知集合ax x2pxq0, bx qx2px10同时满足：ab,-2a ，求实数p, q 的值 .解：两式相减，得p5 , q 21或p1,q2或p3, q219. 已知集合ay y2x1,0x1 , bx( xa) x(a3)0，分别根据下列条件，求实数a 的取值范围 .（ 1） aba ；（ 2） ab（ 1 ） -2，-1 ；（ 2）-4,120. ax ax4xa0， bx x 24x30 ， cx 2x2mx80（ 1）若 3a，求 a 的取值范围； （ 2）若 4a，求 a 的取值范围；（ 3）若 bcc ，求 m 的取值范围 . （4 ）若 bc，求 m 的取值范围21. 有限集中有一个特殊的集合，约定 “空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？任何一个约定式定义，它必须遵循： 规定的必要性； 规定的合理性。（ 1）必要性： 从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；（ 2）合理性： 由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的 “任何一个集合”，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立，这就是约定的合理性。22. 请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。a, b1, 1等等；【拓展思考】请你给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，可以只含有这两个元素吗？c1,2, 1 , 2；可以，集合d,23. 元素和相等的子集（ i）设集合 m1,3,4,6,8,9,是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？（ ii）在 1 9 这 9 个数字中任取6 个不同的数组成集合m ，请问符合条件（1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？【拓展思考】若将集合 m 的元素个数变为79 种的任一个，结论如何？24. 与其子集元素个数一样多的集合是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？【拓展思考】请你写出几个符合条件的无限集25. 约数集的个数设非空集合sn ，且满足条件 “如果 x16s ，那么s ” x（ i）请你写出一个只含有一个元素的集合s ；（ ii）只含有三个元素的集合s 只有是否唯一？若不唯一，请写出两个不同的集合s？（ iii ）满足题设的集合s共有几个？（ iv ）对非空集合sn ，若使集合 s 所含元素的个数不超过四个，那么题设条件可以改为 4.交集、并集运算1. 已知ax yx1 , by y2x1, xr，则 ab 变式 1 ：若集合 m y | y2x , p y | yx1 ，则 m p=:2. 设集合 a x | x10 或 x40, b x | 2 axa2（ 1）若 ab，则实数 a 的取值范围为 （ 2）若 abb ，则实数 a 的取值范围为 3. 已知集合a = x | y1x2 , xz , b y | y2x1, xa ,则 ab =4. 已知集合ax a1xa4， bx x2或x5，全集 ur（ 1）若 ab,求实数 a 的取值范围22（ 2）若 acu b ，求实数a 的取值范围5. 集合ax | x2axa2190， bx | x5x60， cx| x2x80满足 ab, ， ac, 实数 a 的值为6. 已知全集ux| 0x9 , ax |1xa ，若非空集合au ，则实数a 的取值范围是 7. 若集合 a x2x1 或 x1 ， b x axb ， 且 ab x x2 ，ab x 1x3 ，则 a ， b 8. 已知集合a x xa，b x 1x2 ，且 a(cr b)r ，则实数 a 的取值范围是9. 已知非空集合a x 2 a 1x3a 5 ，b x 3x22 ，则能使 a(ab)成立的所有 a 值的集合是123410.已知a=a 1， a2 ， a3， a4 ， b=a 2 , a 2 , a2 ,a 2 ，其中a1a 2 a 3 a 4 ， a 1， a2， a 3 ，a4 n，若 ab=a 1，a 4 ， a 1+a 4=10 ，且 a b 所有元素和为124 ，则集合a=b=11. 设集合 a直线 ， b圆 ，则 ab 的元素个数为 12. 设集合 ax x24a(a4) x, ar ， bx x 245x（ 1）若 aba，求实数 a 的值（ 2）求 ab , ab .13. 如图， u 是全集， m、p、s 是 u 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是14. 若全集 ir,f( x)与g (x) 都为二次函数，px f ( x)0 ， qx g(x)0 ，则不等式f ( x)g(x)0的解集可用0p,q 表示为 15. 已知集合a2，1 ， b1，2，则 ab 16. 若集合 p x | 2xa0 ， q x | 3xb0， a, bn ，且pqn1 ，则满足条件的整数对(a, b) 的个数为 变式： 已知集合a x | 2 x53 x15 , bx | x32 x112a , 且 ab 只有 5 个整数解，则 a 的取值范围是 .6a217.设 a2, 1, a2 a +1 ，bb, 7, a + 1， m 1, 7 ，abm（ 1）设全集 ua，求cu m；（ 2）若 an ,求 a 和 b 的值18. 集合ma,0， nx2 x23 x0, xz，如果 mn，则 a19. 集合 a x | log 1 x22 ， b(a,) ，若 aba时 a 的取值范围是(c,) ，则 c = 20. 已知全集ur ，则正确表示集合m 1,0,1 和 n x|x2x 0 关系的韦恩 (venn)图是 21.已知集合m 0,1,2 ， n x|x 2a， am，则集合mn .22. (2009 年高考江西卷改编)已知全集 ua b 中有 m 个元素， (? ua) (? ub)中有 n 个元素. 若 ab 非空，则ab 的元素个数为 23. 已知函数f(x)6 1 的定义域为集合a，函数 g(x) lg( x2 2 x m)的定义x 1域为集合 b.（ 1）当 m 3 时，求 a( ?r b)；（ 2）若 ab x|1 x4 ，求实数m 的值24.已知集合a xr |ax2 3x 2 0 （ 1）若 a ?，求实数a 的取值范围；（ 2）若 a 是单元素集，求a 的值及集合a；（ 3）求集合m a r|a? 25. 设集合 a x | x23 x20, b x | x22(a1)x(a 25)0（ 1）若 ab2 ，求实数 a 的值；（ 2）若 aba，求实数 a 的取值范围；（ 3）若 ur, acu ba ，求实数 a 的取值范围解：（ 1） a3, a1 ；（ 2） a3（ 3） a3或 a1或 a1+3 或 a1326. 集合px x2250, qx x2 n1, nz , 若sp且sq,则 s 的子集个数最多为 1627.m x xn,61xn ,qx x6,tn, xn,则1tmq 1,228. 已知 an * , bx 2xx 230 , 则cu ba 29. 设方程 2x3 y7 的全体解组成集合u ，方程 3 xy5 的全体解组成集合v ，则u和v 分别如何用集合表示？则uv(2,1)30. 设 m直线 ab上的点， n直线 cd上的点，若直线ab, cd交于点 p ，则 mnp ；若ab/ cd ，则 mn；还有其它情况吗？231. 方程 x290 的解集为 a3，- 3，方程 x23 x20 的解集为 b1,2 。则 ab3,3,1,2是方程x9x3x20 的解集。所以对于右端为零的方程，2如果能将其左端分解为几个因式的乘积，就能使求解的问题简化，这也是数学里常常把方程化成一端为零的形式的原因。32. 如果集合a和b 各有 12 个元素，它们的并集有20 个元素，那么，这两个集合有多少个共同的元素？33. 如果集合a中有 3 个元素，集合b 中有 2 个元素，试问：（ 1） ab 中最多有几个元素？最少有几个元素？（ 2） ab 中最多有几个元素？最少有几个元素？34. 设方程组f1( x, y)f2 ( x, y)0的解集为0f , 方程f1( x, y)0 与 f2 (x, y)0 的解集分别是f1和 f2 ，则 ff1f2例：若全集ir,f( x)与g( x) 都为二次函数，px f ( x)0 ， qx g(x)0 ，则不等式f ( x)g(x)0的解集可用0p,q 表示为 35. 设全集 ir, 非空集合 pqi ，若含p,q 的一个集合运算表达式运算结果为空集，则这个表达式可以是 .已知集合ay | y1 ,x2 xr， by | ylog 2 ( x1),xr ，则 ab 5.简单的数论问题1. 设 a, b均为整数，把形如ab5 的一切数构成的集合记作m，设x, ym ，试判断xy, xy, xy,x是否属于集合m，并说明理由.22y2. 已知集合ax xmn ,mz, nz，求证： (1)3a；(2)2k1a, kz(3)偶数 4k2 kz不属于 a.3. 以某些整数为元素的集合p 具有下列性质：p 中的元素有正数，有负数；p 中的元素有奇数，有偶数；1p ；若 x ， yp ，则 xyp 试判断实数0 和 2 与集合 p 的关系4. 设集合a= x | x2k, kz ， b= x | x2 k1, kz ， c= x | x4k1, kz ，若 aa,bb ，则 ab（填集合 a 或 b 或 c）变式 1:若 ac,bb ，则 ab（填集合 a 或 b 或 c ）n变式 2:已知 a= a | a, mn, nm2n ，若 aa,baa ，则下列元素属于集合a 的为（填序号）ab ； ab ； ab , b0 b变式 3:a,bz ，集合 a= (x, y) | ( xa)23b6 y，点 (2,1)a, (1,0)a, (3,2)a ，求 a 与 b 的值5. 已知 m a， n b，且集合a x|x 2 a，a z， b x|x 2 a 1， a z，又c x|x 4a 1 ，a z，判断 m n 属于哪一个集合？6. 已知集合a x|x a1b，az，b x|x 621，b z，c x|x3c1 ，c z，则26a、 b、c 之间的关系是 6.新定义集合问题1. 给定集合a、b，定义一种新运算： a*b= x | xa或xb, 但xab，又已知 a=0 ，1， 2 ， b=1 ，2 ， 3 ，用列举法写出a* b2. 设 a 是整数集的一个非空子集，对于ka ，如果 k1a 且 k1a，那么 k 是a 的一个“孤立元”，给定 s1,2,3,4,5,6,7,8,，由 s 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个3. 整数集 z 中，被 5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”， 记为 k，即k=5n+k丨 n z ， k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： 2011 1；-3 3 ； z=0 1 2 3 4 ;“整数a， b 属于同一“类”， 则“a-b 0”其中正确结论的序号是 （填写所有满足条件的序号）4. 设集合 pn1，2 ，n ， nn * 记f (n) 为同时满足下列条件的集合a 的个数： apn ；若 xa ，则 2xa ；若 xc p n a ，则 2xcpa，nf (4) = 5. 设 a，b，c 为实数， f（x） =（ x+a ） ( x2bxc), g( x)(ax1)(cx2bx1) . 记集合s=x f ( x)0, xr,tx g( x)0, xr, 若 s ， t 分别为集合元素s ， t 的元素个数，则下列结论不可能的是 （填满足条件的字母）a s =1 且 t =0b s1 且 t =1c s =2 且 t =2d s =2 且 t =36. 如图所示的韦恩图中，a, b 是非空集合， 定义集合a# b 为阴影部分表示的集合，即a# b x | xa,或xb，且 xab .若 a x | yx3x ， b y | yx21, x1 , 则a# b 7. 集合 a0,1, ba2 ,2 a，其中 ar, 我们把集合x xxx , xa, xb,1212记作 ab ，若集合ab 中的最大元素是2a1 ，则 a 的取值范围是.8.（ 2010 四川）设 s 为复数集c 的非空子集 .若对任意x, ys ，都有 xy,xy,xys ， 则称 s 为封闭集下列命题： 集合 s a b3 | a,b 为整数 为封闭集；若 s 为封闭集，则一定有0s； 封闭集一定是无限集；若 s 为封闭集，则满足str 的任意集合 t 也是封闭集.其中真命题是（写出所有真命题的序号）9. 已知点集a( x, y) x2y24x8 y160, b(x, y)yxm4, mr ，点集 a 所表示的平面区域与点集b 所表示的平面区域的边界的交点为m , n ，若点d(m,4) 在点集 a所表示的平面区域内 （不在边界上） ，则dmn 的面积的最大值为 10. 设集合 p1,2,3,4，qx3x2，则集合ax xp且xq （用列举法表示）变：设集合px log 2 x1 ，qx 1x3 ，则集合ax xp且xq 变：对任意两个集合x 和y , 定义xyx xx 且xy, xy(xy )(yx ) ,设 ay y1 , xr且x0, by y2cos x, xr,则 ab 2x2,02,11. 集合的 “差 ”运算设 m , p 是两个非空集合，定义m 与 p 的差集 m - px xm且xp（ i）设集合 b2,4,6,8，请你分别用列举法和描述法写出一个集合a ，使得 ab5 ，试问满足条件的集合a共有多少个？（ ii）请写出两组集合a，b ，使得 ab5；（ iii ）从（ ii ）中选出一组a， b ，计算 a( ab) ，在此基础上， 请你写出有关集合a，b的其他表达式，使其结果与集合a( ab) 相等。12. 市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了 500 个市民，调查结果显示：订阅日报的有 334 人，订阅晚报的有 297 人，其中两样都订的有 150 人.（ 1）只订日报不订晚报的有多少人？（ 2）只订晚报不订日报的有多少人？（ 3）至少订一种报纸的有多少人？（ 4）有多少人不订报纸？13. 某文化补习学校在学期末统计了参加补习的 198 名学生的成绩，统计结果表明， 179人语文及格，153 人数学及格，其中两门都及格的有130 人.（ 1）这个统计数字是否正确？请说明理由；（ 2）经查实，却有 7 人两门都不及格，而原来统计中语文和数学的及格人数是对的，那么，到底有多少人两门都及格？14. 某社区学院一个月 30 天课程安排情形如下：有 15 天有数学课，有 14 天有语文课， 有 14 天有英语课 . 有数学又有语文的有 7 天，有数学又有英语的有 6 天，有语文又有英语的有 6 天，三门课都有的有 3 天. 那么，有几天不上课？有几天只上一门课？有几天只上两门课？7. 集合中一类动态问题的研究1. 某中学高一（ 1 ）班有 45 人，其中参加数学兴趣小组有