南昌大学线性代数期末考试试题及答案.doc

南昌大学 20082009学年第一学期期末考试试卷 试卷编号： 教33 ( A)卷课程编号： H55010001 课程名称： 线 性 代 数 考试形式： 闭 卷 适用班级： 理工类（本科）姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 2009年1月8日 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分151591111111297 100得分考生注意事项：1、本试卷共 7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、 填空题(每空3分，共15分) 得分评阅人 1、若齐次线性方程组 有非零解，则.2、若、为同阶方阵，则成立的充分必要条件是3、设，若，则4、已知矩阵，的一个特征值为，则5、若二次型是正定的，则的取值范围是二、选择题(每小题3分，共15分)得分评阅人 1、已知四阶行列式的第三列元素依次为，并且第三列元素的余子式依次为，则（ ） 2、设为三阶方阵，则其伴随矩阵的行列式（ ） 3、均为阶方阵，下列各式中成立的为（ ） 4、设是矩阵，则齐次线性方程组（ ） 无解。 只有零解。有非零解 。 不一定有非零解 。5、阶方阵的个特征值互异，是与对角矩阵相似的（ ） 充分条件 必要条件充分必要条件 既不充分也非必要条件三、（9分）证明： （ 其中为正整数）得分评阅人 第 12 页 共 12页四、（11分）已知向量组，.求的一个最大无关组。将其余向量用此最大无关组线性表示。 得分评阅人 五、（11分）设、均为三阶方阵，且满足，其中：， 求：；.得分评阅人 六、（11分）设有线性方程组 问取何值时，此方程组： 有唯一解； 无解； 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解。得分评阅人 七、（12分）求矩阵的特征值和特征向量。得分评阅人 八、（9分）已知二次型 的秩为，求及此二次型对应矩阵的特征值。得分评阅人 九、设三阶方阵、满足，其中，为三阶单位矩阵，为的伴随矩阵，试求：三阶方阵. （7分）得分评阅人 一、1；2；3 ；4 ；5 。二、1（B）； 2（B）； 3（D）； 4（C）； 5（A）。三、当时，等式显然成立。 1分 设时成立，即设： 3分 要证时成立。此时有： 4分 5分 7分 9分四、令并对矩阵作初等行变换 2分 4分 6分则，为该向量组的一个最大无关组。 7分 9分 11分 南昌大学0809学年第一学期线性代数期末考试（A卷）评分标准五、 2分 4分 6分 8分 11分六、对方程组的增广矩阵作初等行变换，得： 1分 3分 由此可见：当且时，此时原方程组有唯一解。 4分当时，方程组无解； 5分当时，（未知量的个数）此时原方程组有无穷多个解。 6分 当时，阶梯形矩阵为： 7分 求得非齐次方程的一个特解和对应齐次方程的基础解系： ； 10分由此便得通解是：（为任意实数） 11分七、= 3分解得特征值为：，. 4分对应于根据，有 ，即 取，则易求得。 得基础解系为， 的属于特征值的全部特征向量为， （其中为任意非零常数） 8分对应于根据，有 ，即 取，则易求得。得基础解系为 的属于特征值的全部特征向量为 （其中为任意非零常数） 12分八、 二次型对应的矩阵为 2分 由题意知，则 4分 即， 5分 解得：. 6分 矩阵的特征