理科数学全国2卷VIP

2015 年高考理科数学试卷全国卷一、选择题：本大题共12 道小题， 每小题 5 分1. 已知集合a 2， 1,0，1,2， bx (x1)( x20, 则 ab（）a a1,0b0,1c1,0,1d0,1,22. 若 a 为实数且 (2ai )( a2i )4i ，则 a（）a1b 0c 1d 23. 根据下面给出的2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（）a. 逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著b. 2007 年我国治理二氧化硫排放显现c. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势d. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 已知等比数列an满足 a1=3， a1a3a5 =21 ，则 a3a5a7（）a 21b 42c 63d 841log 2 (2x), x1,5. 设函数f (x)2x1 , x1,f (2)f (log 2 12)（）a 3b 6c 9d 12 6一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）a 1b 1c 1d 187657. 过三点a(1,3) ， b(4,2)， c (1, 7) 的圆交 y 轴于 m， n两点，则 | mn |（）a 26b 8c 46d 108. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术 中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入a, b 分别为 14,18 ，则输出的a（）a 0b 2c 4d149 已 知a, b是 球 o 的 球 面 上 两 点 ，aob90 , c 为该球面上的动点，若三棱锥 oabc 体积的最大值为36，则球 o 的表面积为（）a 36b. 64c.144d. 25610. 如图，长方形abcd的边 ab2 ， bc1 ， o 是 ab 的中点，点p 沿着边 bc ，cd 与 da 运动，记bopx 将动 p 到 a 、b 两点距离之和表示为x 的函数 f ( x) ，则 yf(x)的图像大致为（）yyyy2222(a)(b)(c)x3x3x3x3424424424424(d)11. 已知 a， b 为双曲线e 的左，右顶点，点m在 e 上， ?abm为等腰三角形，且顶角为120，则e 的离心率为（）a5b 2c3d 212 设 函 数f ( x)是 奇 函 数f ( x) (xr)的 导 函 数 ，f (1)0， 当 x0 时 ，xf ( x)f ( x)0，则使得f ( x)0 成立的 x 的取值范围是（）a (,1)(0,1)b (1,0)(1,)c (,1)(1,0)d (0,1)(1,)二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13. 设向量 a ， b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数 xy10，14. 若 x，y 满足约束条件x2 yx2 y0,20,，则 zxy 的最大值为 15 (ax)(1x) 4 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则 a 16设sn 是数列an的前 n 项和，且a11 ， an 1snsn1 ，则sn 三、解答题17（本题满分12 分）abc 中， d 是 bc 上的点， ad 平分bac，abd 面积是adc 面积的 2 倍（）求 sinb ；sinc2（）若ad1， dc，求 bd 和 ac 的长218（本题满分12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从a ， b 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：a 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89b 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（） 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记时间 c：“a 地区用户的满意度等级高于b 地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 c 的概率19（本题满分12 分）如图，长方体abcda1 b1c1 d1 中,ab=16，bc =10，aa18 ，点 e ， f 分别在a1b1 ， c1d1 上，a1ed1f4 过点 e ， f 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线af 与平面所成角的正弦值20（本题满分12 分）已知椭圆c : 9 x2y 2m2 ( m0) , 直线 l 不过原点 o 且不平行于坐标轴，l 与 c 有两个交点a ， b ，线段 ab 的中点为 m （）证明：直线om 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（）若 l 过点 ( m , m) ，延长线段 om 与 c 交于点 p ，四边形 oapb能否为平行四边3形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由21（本题满分12 分）设函数f ( x)emxxmx （）证明：f ( x)在 (,0) 单调递减，在(0,) 单调递增；（）若对于任意x1 , x21,1，都有f (x1)f (x2 )e1，求 m 的取值范围22（本小题满分10 分）选修4 1：几何证明选讲如图， o 为等腰三角形abc 内一点，圆 o 与abc 的底边 bc 交于 m 、 n 两点与底边上的高ad 交于点 g ，与 ab 、 ac 分别相切于e 、 f 两点（）证明：ef / / bc ；（）若 ag 等于o 的半径，且aemn23 ，求四边形ebcf 的面积23（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程xt cos,在直角坐标系xoy 中，曲线c1 :yt sin,（ t 为参数， t0 ），其中 0，在以 o 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线c2 :2sin， 曲 线c3 :23 cos（）求c 2 与 c1 交点的直角坐标；（）若c 2 与 c1 相交于点a ， c3 与 c1 相交于点b ，求ab 的最大值224（本小题满分10 分）选修4-5 不等式选讲设 a, b, c,d 均为正数，且abcd ，证明：（）若 abcd ，则abcd ；（）abcd 是 abcd 的充要条件参考答案1. a【解析】由已知得bx2x1 ，故 ab1,0，故选 a考点：集合的运算2. b2【解析】由已知得4a(a4)i4i ，所以 4 a20, a44 ，解得 a0 ，故选 b考点：复数的运算3. d【解析】由柱形图得，从2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选d考点：正、负相关14. b111【解析】设等比数列公比为q ， 则aa q 2a q 421 ，又因为 a3，所以 q4q 260 ，2解得 q2 ，所以 a3a5a7(a1a3a )q 242 ，故选 b5考点：等比数列通项公式和性质5. c【解析】由已知得f (2)1log 2 43，又lo2g1，2所1以2f (log12)2 log 212 12log 2 66 ，故f (2)f (log 2 12)9 ，故选 c考点：分段函数6. d【解析】由三视图得， 在正方体abcda1b1c1 d1 中，d1c1截去四面体aa1b1 d1 ，如图所示，设正方体棱长为a ，则 v11 a31 a 3 ，故剩余几何体体积a1b1为 a3a a1b1 d11 a 3326da53c，所以截去部分体积与剩余部分体66积的比值为1 ，故选 d5考点：三视图7. c【解析】由已知得 k321 ，ka2 73 ，所以 kkb1 ，所以 abcb ，ab143cb41abcb即abc 为 直 角 三 角 形 ， 其 外 接 圆 圆 心 为 (1,2) ， 半 径 为 5 ， 所 以 外 接 圆 方 程 为22( x1)( y2)25 ，令 x0 ，得 y262 ，所以mn46 ，故选 c考点：圆的方程8. b【解析】程序在执行过程中，a ， b 的值依次为a14 ， b18 ； b4 ； a10 ； a6 ；a2； b2 ，此时 ab2 程序结束，输出a 的值为 2，故选 b考点：程序框图9. c【解析】如图所示，当点c 位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥oabc 的体积最大，设球 o 的半径为 r ，此时vo abcvc aob11 r2r1 r336 ，故 r6 ，则球 o 的表面积为s4r2144，故选 c326考点：外接球表面积和椎体的体积coab10. b【 解 析 】 由 已 知 得 ， 当 点p在bc边 上 运 动 时 ， 即0x时 ，4p ap bt a2nx 4t ；a当nx点p 在 cd 边上运动时，即x3, x时，442papb(1tan x1)21(1tan x1)21 ，当x时， papb22 2 ；当点 p 在ad 边上运动时，即34x时，papbtan2 x4tan x，从点 p 的运动过程可以看出，轨迹关于直线x考点：函数的图象和性质11. dx2对称，且2y2f () 4f () ，且轨迹非线型，故选b2【解析】设双曲线方程为221(aab0, b0) ，如图所示，abbm ，abm1200 ，过点 m 作mnx 轴，垂足为 n ，在 rt bmn中， bna ，mn3a ，故点 m 的坐标为m (2a,3a ) ，代入双曲线方程得a2b 2a2c2 ，即c22a2 ，所以 e2 ，故选 d考点：双曲线的标准方程和简单几何性质12. a【 解 析 】 记 函 数g( x)f ( x)， 则xg (x)xf ( x )x2fx()， 因 为 当x0 时 ，x f (x)f(x)，0故当 x0 时， g ( x)0 ，所以g( x)在 (0,) 单调递减；又因为函数f ( x)( xr)是 奇 函 数 ， 故函 数g( x)是 偶 函 数 ， 所 以g( x)在 (,0) 单 调 递 减 ， 且g(1)g (1)0 当 0x1时，g( x)0 ，则f (x)0 ；当 x1时，g (x)0 ，则f ( x)0 ，综上所述，使得f ( x)0 成立的 x 的取值范围是(,1)(0,1) ，故选 a考点：导数的应用、函数的图象与性质13 12【解析】 因为向量ab 与 a2b 平行， 所以ab（k a2b），则k，1所以12 k,2考点：向量共线14 34 y2【解析】 画出可行域， 如图所示， 将目标函数变3形 为 yxz， 当 z 取 到 最 大 时 ， 直 线21yxz的纵截距最大， 故将直线尽可能地向b上平移到d (1, 1) ，则 zxy的最大值为3 dx2考点：线性规划243 2c1 o123123415 3【解析】试题分析： 由已知得 (1x) 414 x6x24 x34x4 ，故 ( ax)(1x)4的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，4ax3 ，x ，6 x3 ，x5 ，其系数之和为4a考点：二项式定理4a1+6+1=32，解得 a3 161 n【解析】由已知得an 1sn 1snsn 1sn ，两边同时除以sn 1111sn ，得，sn 1sn1故数列sn1snn是以1 为首项，1 为公差的等差数列，则11(n1)snn ，所以考点：等差数列和递推关系17. 【解析】（）s abd1 abad2sinbad ，s adc1 acad sin 2cad ，因为s abd2s adc ，badcad ，所以 ab2 ac 由正弦定理可得sinsinb ac1 c ab2（）因为理得s abd: s adcbd :dc ，所以 bd2 在abd 和adc 中，由余弦定ab2ad 2bd 22 adbdcosadb ，ac 2ad 2dc 22 addccosadc ab22 ac 23 ad 2bd 22 dc 26 由（）知ab2ac ，所以 ac1 18. 【解析】（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出， a 地区用户满意度评分的平均值高于b 地区用户满意度评分的平均值； a 地区用户满意度评分比较集中，b 地区用户满意度评分比较分散（）记c a1 表示事件：“ a 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；ca 2 表示事件：“ a 地区用户满意度等级为非常满意”；cb1 表示事件：“ b 地区用户满意度等级为不满意”；cb 2 表示事件：“ b 地区用户满意度等级为满意”则 ca1 与 cb1 独立，ca 2 与 cb 2 独立，cb1 与 cb 2 互斥，ccb1ca1cb 2ca2 p(c)p(cb1c a1cb 2ca2 )p(cb1ca1 )p(cb2ca 2 )p(cb1) p(c a1 )p(cb 2 )p(ca 2 ) 由所给数据得ca1 ，c a2 ，cb1 ，c b 2 发生的概率分别为1620410，2020， 8故 p(ca1 ) 20= 16 ，20p(ca2 )=4， p(c)=10 ， p(c) = 8，故 p(c )=101684+0.48 b1b 22020202020202019. 【解析】（）交线围成的正方形ehgf 如图：（ ） 作emab， 垂 足 为 m， 则a ma e 4 ，emaa8 ，因为 ehgfd 1fc111为正方形，所以ehefbc10 于是mheh 2em 26，所以 ah10 以a1eb1d 为坐标原点， da 的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系dxyz ，则gcdamhba(10, 0, 0)，h (10,10,0)，e (10, 4,8)，f (0,4,8)， fe(10,0,0)， he(0,6,8) 设 n( x,y, z) 是平面 ehgf 的法向量，nfe则nhe0,10x0,即0,6 y8z所 以 可 取 n0,(0, 4,3) 又 af(1 0 , 4 ,，8 故cosn, afnafnaf45 所以直线af 与平面所成角的正弦值为1545 15220. 【解析】（） 设直线l : ykxb ( k0, b0) ， a( x1 , y1 ) ， b(x2 , y2 ) ， m ( xm , y m ) 将ykxb代入9 x2ym得(k 29) x22kbxb2m20，故xx1x2m2kb，k 29ykxb9b于是直线 om 的斜率 kym9，即 kk9 所以直mm2k9omomxmk线 om 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值（）四边形oapb能为平行四边形因为直线 l 过点 ( m , m) ，所以 l 不过原点且与c 有两个交点的充要条件是3k0 ， k3 由（）得om 的方程为y9 x设点p 的横坐标为yxp 由9 x,k得k9 x2y 2m 2,k 2m 2kmmm(3k)x2p9k 2，即 xp813 k 2将点 (,m) 的坐标代入直线l 的方程得 b，933因此 xmmk(k 3(k 23) 四边形 oapb为平行四边形当且仅当线段ab 与线段 op 互相平分，9)即 x2 x于是kmpm3k 29mk(k23( k23) 解得 k19)47 ， k24 7 因为ki0, ki3 ， i1， 2 ，所以当 l的斜率为 47 或 47 时，四边形oapb为平行四边形21. 【解析】（）f (x)m(emx1)2 x 若 m0 ，则当 x(,0)时， emx10 ，f ( x)0 ；当 x(0,) 时， emx10 ，f (x)0 若 m0 ，则当 x(,0)时， emx10 ，f ( x)0 ；当 x(0,) 时， emx10 ，f (x)0 所以，f (x)在 (,0) 单调递减，在(0,) 单调递增（）由（）知，对任意的m ，f (x) 在 1,0 单调递减，在0,1 单调递增，故f (x) 在x0 处取得最小值所以对于任意x1, x21,1 ，f (x1)f (x2 )e1 的充要条件是：f (1)f (1)f (0)e1,即f (0)e1,emme mme1,e1, ， 设 函数g(t)ette1， 则tg (t)e当1 t0 时， g (t )0 ；当 t0 时， g (t)0 故g(t ) 在 (,0) 单调递减，在 (0,) 单调递增 又 g (1)01， g(1)e2e0 ，故当 t1,1 时， g (t)0 当m1,1 时，g( m)0 ， g (m)0 ，即式成立当m1时，由g(t ) 的单调性，g( m)0，即 emme1 ；当 m1时， g (m)0 ，即 e mme1 综上， m 的取值范围是1,122. 【解析】（） 由于abc 是等腰三角形，adbc ，所以 ad 是cab 的平分线